INFO Introducción a los determinantes

INFO Introducción a los Determinantes

Función determinante

¿Que es?

La determinante es una función escalar que puede extraerse al trabajar en matrices cuadradas, pues facilita el proceso para encontrar la solución. En adelante, cuando veas la abreviación det, se referirá a determinante.

Propiedades de los determinantes

¿Para qué sirve identificarlas?

Las propiedades de los determinantes hacen referencia a las reglas de operaciones de éstos, ya que destacan las particularidades que presentan los procedimientos.

Para el cálculo de los determinantes es importante analizar las operaciones que se realizan por fila. Por esta razón es sustancial reconocer las propiedades de los determinantes, a continuación se presentan seis:

1. Si dos filas o columnas de una matriz A son iguales entonces, el det(A) = 0. Por ejemplo:

2. Si una fila o columna es múltiplo de otra entonces el det(A) = 0. Por ejemplo: Sea:

3. Si en la matriz A se intercambian las filas o columnas, entonces, por cada intercambio el determinante se multiplica por un signo negativo. Por ejemplo: Sea:

4. Si la matriz tiene una fila o columna donde todos sus coeficientes son iguales a cero, entonces, el determinante es igual a 0. Por ejemplo: Sea:

5. En dos matrices con el mismo orden, el determinante del producto de estas matrices será igual al producto de sus determinantes, es decir, se cumple con la propiedad.

Sea:

6. En dos matrices con el mismo orden el determinante de la suma de estas matrices no es igual a la suma de sus determinantes, es decir:

Tomando las mismas matrices A y B de la propiedad anterior se tiene que:

Por lo tanto, se ha demostrado que se cumple la propiedad de:

El análisis de estas propiedades son de gran importancia debido a que antes de calcular el determinante de una matriz, si ésta contiene una fila o columna que sea múltiplo o que tenga coeficientes 0, el valor resultado del determinante será igual a 0 y no será necesario realizar operaciones.

Aplicaciones de los determinantes

Es importante destacar que cuando se pretende calcular el determinante de orden 3 × 3, éste se separa de tal manera que el coeficiente que se encuentra en medio de la fila 1 se convierte en negativo y al momento de separar se tendrá que calcular el resultado de los tres determinantes de orden 2 × 2.

Al despejar las dos funciones se obtiene que presentan en común el mismo denominador.

El denominador representa el resultado del determinante del sistema.

Donde los coeficientes del sistema de ecuaciones se pueden representar como una matriz A:

Entonces, el resultado del determinante del sistema de ecuaciones se representa como: