PM2 Progresión 7

Sobre proporciones y porcentajes

Progresión 7

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

7:

Progresión

Resuelve situaciones-problema significativas para el estudiantado que involucren el estudio de proporcionalidad tanto directa como inversa, así como también el estudio de porcentajes, empleando la estructura algebraica de los números reales. C2M3: Compara hechos, opiniones o afirmaciones para organizarlos en formas lógicas útiles en la solución de problemas y explicación de situaciones y fenómenos. C3M4: Construye y plantea posibles soluciones a Áreas de Conocimiento, Recursos Sociocognitivos, Recursos Socioempresariales y de su entorno, empleando técnicas y lenguaje matemático.

Subcategorías

S12: - Pensamiento intuitivo. S3: -Pensamiento formal. . S3: -Estrategias heurísticas y ejecución de procedimientos no rutinarios.

Así como en una pieza musical tenemos un motivo que se repite conformando un tema, así también ahora haremos con el trabajo de esta progresión empleando como motivo la arqueología y la antropología. Atendiendo a la gran diversidad cultural de México, estamos pensando en este curso que para el abordaje de la progresión pertenecemos a una comunidad con un gran peso histórico y arqueológico. Vamos a suponer que estamos en Palenque, Chiapas. No estamos diciendo que cuando vayas a trabajar esta progresión en clase debas hacerlo como lo haremos nosotros con este ejemplo. Tú podrás adaptar este planteamiento a tu contexto. Poniendo entre paréntesis la hipotética contextualización que proponemos, no queremos que pierdas de vista lo fundamental del ejemplo: la progresión maneja una serie de contenidos matemáticos como porcentajes y proporcionalidades, los estaremos revisando de tal forma que el estudiante verifique en contexto su aplicabilidad e importancia.

¿Tú cómo abordarías estos contenidos en clase?¿Cómo los contextualizarías para que tus estudiantes observen su importancia?

No hay que perder de vista que lo fundamental de la propuesta académica de Pensamiento Matemático dentro de este modelo pedagógico es el desarrollo de habilidades, las cuales están descritas y clasificadas con las categorías y subcategorías: en este caso estaremos trabajando las categorías de Procesos de intuición y razonamiento, así como también Solución de problemas y modelación. Las metas de aprendizaje nos orientan a nosotros como docentes a proponer actividades que observen el desarrollo de dichas metas. Pero empecemos con nuestro ejemplo. Planteamos llegar con las y los estudiantes a preguntarles sobre cómo piensan ellos que hayan vivido sus antepasados los mayas, ¿sería muy diferente la forma en que ellos vivían que la de nosotros?

Nota

Existe una progresión de aprendizaje del área de conocimiento de Humanidades I que precisamente nos invita a plantear esta interrogante a nuestros estudiantes para detonar una reflexión crítica. Esta consideración puede utilizarse como un punto de contacto y lograr un pequeño trabajo transversal.

¿Podemos saber qué comían los pueblos mayas? ¿Qué fuentes consultarías?

Solo estamos poniendo un ejemplo de las preguntas que podríamos plantear, pero vamos a quedarnos con ella para trabajar cierto contenido matemático.

Hay una tendencia en la antropología a plantearse este tipo de interrogantes, aquí te presentamos un artículo libre que habla de ello, la intención no es que lo revisemos en clase ni en este curso, quizá solo hojearlo para enterarnos de este tipo de estudios:

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Te compartimos el resumen de dicho artículo:

La alimentación es uno de los temas que recientemente ha merecido mayor atención en el medio antropológico. El trabajo aquí presentado propone una nueva forma de aproximarse al estudio de la alimentación en el pasado. Esto es a partir de un indicador que resulta invisible e intangible ya que se aprovecha la información proporcionada por los residuos químicos atrapados y preservados en los poros de materiales como los pisos y las cerámicas. Para poder interpretar esta información se hace necesario contar con datos de referencia acumulados a partir de estudios etnoarqueológicos y de experimentos en el laboratorio bajo condiciones controladas. El trabajo realizado en las últimas tres décadas permite ahora aproximarnos al estudio de los espacios arquitectónicos utilizados para preparar los alimentos, a la identificación de los recipientes utilizados para su almacenamiento o preparación y en ocasiones a la identificación de sustancias remanentes de los alimentos originales.

IDEA

En plenaria proponemos el siguiente problema: Un grupo de antropólogos lleva un recipiente con 12 litros de una mezcla de agua con hidróxido de amonio, 4 de esos 12 litros son de hidróxido de amonio. Lo primero que queremos preguntarle es por la concentración de amoniaco en dicho recipiente, ¿se podrá utilizar para la determinación de ácidos grasos? Revisando los trabajos de nuestros estudiantes, podemos determinar si es prudente revisar con ellas y ellos frente a pizarrón algunos elementos básicos del cálculo de porcentajes, si el grupo presenta dificultades podríamos abrir un breve paréntesis para hacerlo. Escuchemos a las y los estudiantes, deben llegar, como tú bien sabes a que la concentración de amoniaco es del (100/3)%, que es mayor a 25%. Por lo cual no podría utilizarse dicha mezcla. Pero no todo está perdido, procedamos a preguntar por cómo remediaríamos esta situación?

La idea es revisar y analizar residuos en pisos arqueológicos y diversas cerámicas, para hacerlo muchas veces los arqueólogos necesitan emplear sustancias químicas que enriquezcan contenidos de sustancias orgánicas alojados en dichos recipientes que, de otra manera, serían casi imperceptibles para el análisis. De hecho, para la determinación de ácidos grasos arqueólogos y antropólogos utilizan el hidróxido de amonio diluido con agua (una concentración de 25% de hidróxido de amonio). Si la concentración no es la correcta, el método para analizar los ácidos grasos puede simplemente no arrojar una lectura adecuada o bien dañar el material. ¿Qué otras aplicaciones conoces que se tiene el hidróxido de amonio (amoniaco)?

Observa como dijimos (100/3)% porque el resultado es aproximadamente 33.33%

¿A alguno se le ocurrió echarle un poco más de agua a la mezcla? ¿Qué tanta? ¿Por tanteo?

Podríamos explorar por tanteo y observar que el pensamiento algebraico que hemos ido desarrollando hasta este punto puede venir a nuestro rescate. No demos la respuesta, dejemos trabajar a las y los estudiantes por sí solos y revisemos en plenaria sus resultados. Tú bien sabes que una respuesta correcta es la siguiente: Denotemos por x la cantidad de agua que debemos agregar a los 12 litros de la mezcla de tal forma que la mezcla resultante sea tal que la concentración de hidróxido de amonio (amoniaco) sea del 25%. Probablemente no aparezca esta respuesta tal cual entre nuestros estudiantes pero nuestra guía debe orientar a nuestros estudiantes a través de nuestras retroalimentaciones hacia ella.

¿Qué relación conocemos que nos ayude a determinar el valor de x?

Con la operación de agregar agua a la mezcla original no estaremos cambiando la cantidad de amoniaco que hay en la mezcla, solo su concentración, pero los 4 litros originales seguirán siendo los 4 litros que tengamos al finalizar el proceso, es decir

El 25% de (12 + x) = 4

Pero saliendo de nuestra pequeña digresión,

¿Cómo calculamos el 25% de (12 + x)?

Quizá aquí sea un buen momento para preguntarle a tus estudiantes cosas como • Vas a una librería, todo tiene el 10% de descuento. Decides comprar dos libros de $325 y $414, respectivamente. ¿Te conviene que en la tienda te hagan el 10% de descuento por separado y luego te cobren o que al total le hagan el 10% de descuento? Es muy interesante plantear preguntas como la anterior y armar un pequeño debate en donde se defiendan las posibles respuestas. Al final, en tu retroalimentación en plenaria, puedes dar la respuesta correcta.

El 25 % de (12 + x) es igual a 3 + .25 x De donde, 3 + .25 x = 4 Y por lo tanto .25 x = 1 Y x = 4 ¿Qué quiere decir que x = 4?

Quiere decir que tenemos que agregar 4 litros de agua a la mezcla original para que la nueva mezcla sea tal que la concentración de hidróxido de amonio sea del 25%.

En plenaria también podemos decirles a nuestros estudiantes que podemos verificar el resultado. Bien podemos regresar sobre nuestro camino y ver cada una de las operaciones que realizamos, pero es muy probable que si ya cometimos un error en ese camino, lo volvamos a cometer y no nos salte a la vista. Así que una buena estrategia siempre será buscar otro camino para verificar la respuesta que ya tenemos. En este caso es muy fácil. Tenemos una mezcla de 16 litros de hidróxido de amonio diluido con agua (recuerda que le hemos agregado los 4 litros a la mezcla original de 12 litros). Recuerda también que tanto en la mezcla original como en la mezcla resultante tenemos 4 litros de hidróxido de amonio (en la mezcla original estaba a una concentración aproximada del 33.33%). Veamos cuál es la concentración del hidróxido de amonio en esta última mezcla: 4 litros de un total de 16 litros son el 25% de la mezcla, que es precisamente lo que queríamos. Ahora nuestros amigos arqueólogos y antropólogos podrán usar su mezcla para determinar que ácidos grasos se encuentran en las cerámicas que han hallado en el sitio arqueológico de Palenque y con ello tener un poco más de información acerca de los posibles alimentos que comían los mayas en aquella época.

Pequeño problema: nuestros arqueologos no cuentan con un recipiente de 16 litros, solo tiene un recipiente de 6 litros. Evidentemente no quieren regar el material porque incluso pueden salir un poco heridos con el hidroxido de amonio. Volver a casa por otro recipiente no es opción. ¿Qué harías?

Una opción es vertir, digamos 4 litros de la concentración original en la cubeta de 6 litros e identificar cuánta agua le tendríamos que agregar a estos 4 litros, de tal forma que podamos transportar la mezcla y no se riegue y la mezcla tenga la concentración correcta. Verás, anteriormente hemos resuelto el problema teóricamente, pero en la vida real pasan cosas como estas. Una forma de resolverlo es pensar en proporciones. Si le tuvimos que agregar 4 litros a la mezcla de 12 litros, ¿cuántos litros tendremos que agregar a la mezcla de 4 litros? "12 es a 4 como 4 es a x" Aquí es pertienente que revises el trabajo de tus estudiantes para determinar si recuerdan proporciones directas. Resolviendo sabemos que tenemos que agregar x=4/3 de litros de agua a nuestra mezcla de 4 litros. Observa -es importante- que 4 + 4/3 < 6 y que por lo tanto nuestra nueva mezcla no se derramará de nuestro recipiente de 6 litros.

Nuestra nueva mezcla es de 4 + 4/3 litros = 16/3 litros. Pero no sabemos cuántos litros hay allí de amoniaco. Pero es fácil determinarlo: Si en 12 litros de la mezcla original hay 4 litros de amoniaco, ¿cuántos litros de amoniaco hay en 4 litros de la mezcla original? Otra vez, proporciones. La respuesta es 4/3 de litros de amoniaco. Ahora es muy fácil verificar que no nos hemos equivocado: observa que 4/3 de litros de amoniaco son el 25% de 16/3 de litros de mezcla.

Pero esto no se acaba aquí. Vamos a presentar a continuación un problema que trabaja proporcionalidad directa y que se le presentó a nuestros amigos arqueólogos cuando encontraron un húmero en el sitio que estaban trabajando aquella vez en Palenque. Hay una serie de proporciones que guardan los huesos de nuestro cuerpo con respecto a nuestra estatura. En el siguiente enlace podrás leer un poco sobre esto, aunque es necesario investigar más al respecto.

Enlace

Básicamente tenemos la siguiente fórmula para determinar la estatura de una persona una vez que conocemos la longitud de su húmero: Estatura = 3.08 x Longitud del húmero + 70.45 +/- 4.05 Donde el "+/-" nos da la estatura máxima y la estatura mínima, respectivamente. Ojo: la fórmula anterior funciona para hombres caucásicos (habría que hacer los ajustes pertinentes para que funcione para este problema: te invitamos a investigar un poco más al respecto).

En aquella ocasión nuestros amigos se encontraron con el húmero de un varón. El húmero tenía una longitud de 34.2 cm. Encuentra la estatura máxima y estatura mínima de dicho sujeto aplicando la fórmula anterior.

NOTA: Para trabajar esta progresión progresión pudimos también haber considerado algunas cuestiones arquitectónicas, cosa que haremos en realidad, pero en la progresión 9, cuando volvamos -en esta espiral del conocimiento- a la revisión de proporcionalidades cuando estudiemos semejanza de figuras geométricas planas.

Da clic aquí para ir Leer el PDF "Las matemáticas, la proporción y el cuerpo humano" del Dr. Luis Felipe Malacara

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