S.R. PLANOS ACOTADOS: Abatimientos, distancias y ángulos

Departamento de IngenieríaÁrea de Expresión Gráfica en la Ingeniería

Sistema de Representación de Planos Acotados

Abatimientos, distancias y ángulos

Contenidos

Se tratarán los siguientes casos particulares:

Abatimientos

Distancias

Ángulos

Abatimientos

Vista 3D

¿Para qué un abatimiento?

• Los objetos contenidos en planos no paralelos al plano de referencia, se proyectarán mediante una proyección cilíndrica y ortogonal al plano de referencia. Por tanto, no conservarán su geometría. Por ejemplo, el cuadrado se proyectará como un rectángulo y la circunferencia como una elipse.

Vista Proyectada

Abatimientos

Vista 3D

Definición de abatimiento:

• Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza (línea intersección) de ambos.

Abatimientos

Vista 3D

Definición de abatimiento:

• Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza (línea intersección) de ambos.
• El eje de giro se llama charnela.

Abatimientos

Vista 3D

Definición de abatimiento:

• Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza (línea intersección) de ambos.
• El eje de giro se llama charnela. Sus puntos permanecen inmóviles.

Abatimientos

Vista 3D

Definición de abatimiento:

• Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza (línea intersección) de ambos.
• El eje de giro se llama charnela. Sus puntos permanecen inmóviles.
• El objetivo del abatimiento es apreciar la posición relativa real y las verdaderas magnitudes de los elementos contenidos en él.

Abatimientos

Vista 3D

Definición de abatimiento:

• Un plano P se abate sobre otro plano H cuando se hace coincidir el primero con el segundo girándolo alrededor de la traza (línea intersección) de ambos.
• El eje de giro se llama charnela. Sus puntos permanecen inmóviles.
• El objetivo del abatimiento es apreciar la posición relativa real y las verdaderas magnitudes de los elementos contenidos en él.
• Hay dos sentidos de giro en el abatimiento.

Abatimientos

Vista 3D

Abatimiento de un punto:

Abatimientos

Vista 3D

Abatimiento de un punto:

• Conocida la proyección del punto, debemos definir la charnela.

Abatimientos

Vista 3D

Abatimiento de un punto:

• Conocida la proyección del punto, debemos definir la charnela.
• Definimos el sentido de giro.

Abatimientos

Vista 3D

Abatimiento de un punto:

• Conocida la proyección del punto, debemos definir la charnela.
• Definimos el sentido de giro.
• Observamos el triángulo rectángulo que se forma entre el punto A, su proyección y el punto M que se encuentra en la perpendicular desde A a la charnela.

Abatimientos

Vista 3D

Abatimiento de un punto:

• Conocida la proyección del punto, debemos definir la charnela.
• Definimos el sentido de giro.
• Observamos el triángulo rectángulo que se forma entre el punto A, su proyección y el punto M que se encuentra en la perpendicular desde A a la charnela.
• La distancia d a la que se encuentra el punto abatido desde la charnela es la hipotenusa del triángulo descrito anteriormente. En este triángulo uno de los catetos es la distancia entre la charnela y la proyección del punto, y el otro cateto es la cota del punto respecto al plano sobre el que abatimos.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre el plano de cota 0.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre el plano de cota 0.
• Definimos la charnela.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre el plano de cota 0.
• Definimos la charnela.
• Trazamos una perpendicular desde el punto A a la charnela.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre el plano de cota 0.
• Definimos la charnela.
• Trazamos una perpendicular desde el punto A a la charnela.
• Construimos el triángulo rectángulo.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre el plano de cota 0.
• Definimos la charnela.
• Trazamos una perpendicular desde el punto A a la charnela.
• Construimos el triángulo rectángulo.
• Con el compás nos llevamos la distancia d a la perpendicular a la charnela, obteniendo las dos posibles posiciones del punto A en el abatimiento.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre un plano de cota dada, por ejemplo, la cota 100.

Abatimientos

Vista Proyectada

Abatimiento de un punto:

• Ejemplo de abatimiento sobre un plano de cota dada, por ejemplo, la cota 100.
• El procedimiento es igual. En este caso, el triángulo rectángulo se construye teniendo en cuenta la diferencia de cota entre el punto y el plano sobre el cual abatimos.

Abatimientos

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Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.
• Trasladamos la distancia entre el punto abatido y la charnela al plano de perfil.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.
• Trasladamos la distancia entre el punto abatido y la charnela al plano de perfil.
• De forma inmediata podemos obtener la posición de un punto en proyección, así como su cota.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.
• Trasladamos la distancia entre el punto abatido y la charnela al plano de perfil.
• De forma inmediata podemos obtener la posición de un punto en proyección, así como su cota.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.
• Trasladamos la distancia entre el punto abatido y la charnela al plano de perfil.
• De forma inmediata podemos obtener la posición de un punto en proyección, así como su cota.

Abatimientos

Vista Proyectada

Restitución de formas planas abatidas:

• Se trata de obtener la posición en proyección de una determinada geometría contenida en un plano P a partir de su posición abatida. Para ello, es necesario conocer qué charnela se ha utilizado.
• En primer lugar, sabemos que los puntos en proyección se encontrarán en una perpendicular a la charnela.
• Es necesario recurrir a una vista de perfil del plano P.
• Trasladamos la distancia entre el punto abatido y la charnela al plano de perfil.
• De forma inmediata podemos obtener la posición de un punto en proyección, así como su cota.

Abatimientos

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Abatimientos

Vista 3D

Homología entre proyección y abatimiento:

• La figura representa la posición de una forma plana en el espacio, su proyección y su posición abatida.
• Entre la posición en el espacio y su proyección existe una relación de afinidad cuyos rayos homólogos son ortogonales al plano de proyección y cuyo eje de afinidad es la traza del plano P.
• También hay afinidad entre la forma plana en el espacio y su posición abatida.
• Hay una tercera afinidad entre la proyección de la forma plana y su posición abatida. En este caso, la traza del plano es el eje de afinidad y los rayos homólogos son rectas perpendiculares al mismo.

Abatimientos

Vista 3D

Homología entre proyección y abatimiento:

• La figura representa la posición de una forma plana en el espacio, su proyección y su posición abatida.
• Entre la posición en el espacio y su proyección existe una relación de afinidad cuyos rayos homólogos son ortogonales al plano de proyección y cuyo eje de afinidad es la traza del plano P.
• También hay afinidad entre la forma plana en el espacio y su posición abatida.
• Hay una tercera afinidad entre la proyección de la forma plana y su posición abatida. En este caso, la traza del plano es el eje de afinidad y los rayos homólogos son rectas perpendiculares al mismo.

• Esta relación de afinidad simplifica el proceso de abatimiento y restitución de forma considerable:
• Dos puntos homólogos están alineados según un rayo de homología.
• Dos rectas homólogas se cortan en un punto del eje de afinidad.

Abatimientos

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Distancias

Vista 3D

Distancia entre dos puntos:

• La distancia entre dos puntos del espacio viene determinada por la longitud del segmento que los une.
• Salvo que los dos puntos tengan la misma cota, la distancia entre las proyecciones de A y B no determinarán la verdadera magnitud de la distancia entre A y B.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre dos puntos:

• Para calcular esta distancia será preciso apreciar en verdadera magnitud el triángulo rectángulo definido en el espacio cuya hipotenusa es el segmento problema, el cateto horizontal es su proyección sobre el plano de comparación, y el cateto vertical es la diferencia de cotas entre los extremos del segmento.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre dos puntos:

• Para calcular esta distancia será preciso apreciar en verdadera magnitud el triángulo rectángulo definido en el espacio cuya hipotenusa es el segmento problema, el cateto horizontal es su proyección sobre el plano de comparación, y el cateto vertical es la diferencia de cotas entre los extremos del segmento.
• El abatimiento de este triángulo sobre un plano horizontal que tenga la cota de uno de los extremos del segmento, permite apreciar la verdadera magnitud del mismo y, por tanto, medir la hipotenusa que representa la distancia entre ambos puntos.

Distancias

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Distancias

Vista 3D

Distancia de un punto a una recta:

• Se trata de hallar la distancia mínima posible entre el punto A y la recta R.
• Para ello, trazaremos un plano perpendicular a R que pase por A.
• Hallaremos la intersección de ese plano con la recta R, obteniendo el punto B.
• La distancia buscada será la distancia entre los puntos A y B.

Distancias

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Distancias

Vista 3D

Distancia de un punto a un plano:

• Se trata de hallar la distancia mínima posible entre el punto A y el plano P.
• Para ello, trazaremos una recta perpendicular al plano P que pase por el punto A.
• Hallaremos la intersección de esta recta con el plano P, obteniendo el punto B.
• La distancia buscada será la distancia entre los puntos A y B.

Distancias

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Distancias

Vista 3D

Distancia entre rectas:

• La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan, se obtiene midiendo la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre rectas:

• La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan, se obtiene midiendo la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas.
• Para ello, por un punto cualquiera C de la recta S, hacemos una paralela a la recta R. Obtenemos R1.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre rectas:

• La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan, se obtiene midiendo la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas.
• Para ello, por un punto cualquiera C de la recta S, hacemos una paralela a la recta R. Obtenemos R1.
• Trazamos el plano P definido por las rectas S y R1.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre rectas:

• La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan, se obtiene midiendo la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas.
• Para ello, por un punto cualquiera C de la recta S, hacemos una paralela a la recta R. Obtenemos R1.
• Trazamos el plano P definido por las rectas S y R1.
• La solución buscada es la distancia D entre el plano P y un punto cualquiera A de la recta R.

Distancias

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Distancias

Vista 3D

Distancia de una recta a un plano:

• Para poder hallar esta distancia es necesario, en primer lugar, que la recta R y el plano P sean paralelos.

Distancias

Vista 3D

Distancia de una recta a un plano:

• Para poder hallar esta distancia es necesario, en primer lugar, que la recta R y el plano P sean paralelos.
• Para ello se trazará, por un punto cualquiera A de la recta R, una recta perpendicular al plano P, encontrando el punto B de intersección. La distancia D está definida por el segmento A-B.

Distancias

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Distancias

Vista 3D

Distancia entre planos:

• Para poder hallar esta distancia es necesario, en primer lugar, que ambos planos sean paralelos.

Distancias

Vista 3D

Distancia entre planos:

• Para poder hallar esta distancia es necesario, en primer lugar, que ambos planos sean paralelos.
• Para ello se trazará, por un punto cualquiera A de uno de los planos, una recta perpendicular al otro, encontrando el punto B de intersección. La distancia D está definida por el segmento A-B.

Distancias

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Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre rectas que se cortan:

• El ángulo formado en el espacio por dos elementos lineales o planos debe ser calculado mediante un procedimiento que permita ver dicho ángulo en verdadera magnitud.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre rectas que se cortan:

• El ángulo formado en el espacio por dos elementos lineales o planos debe ser calculado mediante un procedimiento que permita ver dicho ángulo en verdadera magnitud.
• Si dos rectas R y S se cortan en el espacio, se podrá calcular el ángulo que forman mediante el abatimiento del plano P que definen. El ángulo buscado (α) se puede medir tras el abatimiento (R) y (S).

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S se cortan en el punto I de cota 7.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S se cortan en el punto I de cota 7.
• Trazamos el plano P definido por ambas rectas.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S se cortan en el punto I de cota 7.
• Trazamos el plano P definido por ambas rectas.
• Abatimos el punto de corte entre las dos rectas. En este caso, el abatimiento se ha realizado sobre un plano de cota 5.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S se cortan en el punto I de cota 7.
• Trazamos el plano P definido por ambas rectas.
• Abatimos el punto de corte entre las dos rectas. En este caso, el abatimiento se ha realizado sobre un plano de cota 5.
• Puesto que los puntos de la charnela permanecen inmóviles en el abatimiento, es inmediato trazar las rectas R y S abatidas.
• Una vez realizado el abatimiento de las rectas, podemos medir el ángulo entre ellas en verdadera magnitud.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que no se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S no se cortan. Por tanto, se cruzan.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que no se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S no se cortan. Por tanto, se cruzan.
• Por un punto de una de las rectas, trazaremos una recta paralela a la otra.

Ángulos

Vista Proyectada

Ángulo entre rectas que no se cortan:

• Ejemplo:
• Las rectas R y S no se cortan. Por tanto, se cruzan.
• Por un punto de una de las rectas, trazaremos una recta paralela a la otra.
• El procedimiento se repite como en el caso anterior.

Ángulos

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Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 1:

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 1:
• Por un punto cualquiera A trazamos sendas perpendiculares a los planos P y Q.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 1:
• Por un punto cualquiera A trazamos sendas perpendiculares a los planos P y Q.
• Calculamos el ángulo β que forman ambas rectas.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 1:
• Por un punto cualquiera A trazamos sendas perpendiculares a los planos P y Q.
• Calculamos el ángulo β que forman ambas rectas.
• El ángulo α buscado es el suplementario de β, ya que la suma de los ángulos internos de un cuadrilatero es de 360º.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 2:

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 2:
• Calculamos la recta intersección entre ambos planos.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 2:
• Calculamos la recta intersección entre ambos planos.
• Por un punto A cualquiera de la recta intersección, trazamos un plano W perpendicular a la misma.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre planos:

• Método 2:
• Calculamos la recta intersección entre ambos planos.
• Por un punto A cualquiera de la recta intersección, trazamos un plano W perpendicular a la misma.
• Hallamos las intersecciones del plano W con los planos P y Q, obteniendo de forma inmediata el ángulo α buscado.

Ángulos

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Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre recta y plano horizontal:

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre recta y plano horizontal:

• El ángulo que forma una recta con el P. H. es el ángulo que forma con su proyección.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre recta y plano horizontal:

• El ángulo que forma una recta con el P. H. es el ángulo que forma con su proyección.
• Se obtiene directamente en verdadera magnitud en el triángulo rectángulo abatido formado por la recta, su proyección y la diferencia de cotas entre ambos puntos.

Ángulos

Vista 3D

Ángulo entre recta y plano oblicuo:

• El método más rápido para calcular el ángulo α que forman la recta R y el plano P, consiste en tomar un punto A cualquiera de R y trazar por él la recta S perpendicular al plano P. El ángulo β que forman las rectas R y S es el complementario de α, es decir, α=90-β.
• Otro método sería hallar el plano formado por R y S, después hallar la intersección de ese plano con P y medir directamente el ángulo α formado entre R y la recta intersección.

Ángulos

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Bibliografía

¡Lección aprendida!