PM2 Progresión 6 - DIDÁCTICAS

Una vuelta más en la espiral del conocimiento: recomendaciones didácticas para el trabajo con reales.

Progresión 6

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

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Progresión

Anotaciones didácticas:

En este punto las y los estudiantes cuentan con los aprendizajes de trayectoria obtenidos del trabajo que se hizo con este conjunto numérico en el razonamiento estadístico y probabilístico. Para que este estudio sea significativo. Es importante ir construyendo las propiedades de los reales sobre conocimientos previos, comenzando con números decimales positivos e ir construyendo sobre ellos hasta llegar a la presentación axiomática de los reales como un campo ordenado completo. Es recomendable emplear retos para introducir algunas propiedades interesantes de este conjunto numérico.

Revisa desde una perspectiva histórica al conjunto de los números reales, comenzando con la consideración de números decimales positivos hasta llegar a la presentación de la estructura de campo ordenado de los números reales. C1M3: Comprueba los procedimientos usados en la resolución de problemas utilizando diversos métodos, empleando recursos tecnológicos o la interacción con sus pares C2M1: Observa y obtiene información de una situación o fenómeno para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a entenderlo

Subcategorías

C1S1: Elementos aritmético-algebráicos C2S1: Capacidad para observar y conjeturar. C2S2: Pensamiento intuitivo.

Estimada maestra, estimado maestro:

A continuación hacemos algunas reflexiones, observaciones y algunas propuestas sobre la forma en que podemos trabajar con nuestros estudiantes los conceptos que tienen que ver con los números reales. En primer lugar debemos hacer la observación que entender todo lo que implica comprender y conocer a los números reales no es algo que se obtenga con la primera aproximación a ellos, cada vez que regresemos a observarlos y estudiarlos veremos que hay aspectos en los que no habíamos reparado, es como una espiral en la que cada vuelta estamos a mayor profundidad de comprensión de este conjunto, sus cualidades y sus operaciones. Es como si estuviéramos pasando varias veces por la misma colonia y cada vez que pasamos observamos algún detalle en el que no habíamos puesto atención. Sin pretender escribir sobre todos los recovecos que se tienen para poder conocer a este conjunto de números, ni siquiera poder ordenar de alguna manera los mismos, trataremos con este pequeño escrito mirar algunos de ellos, desde la didáctica que podemos seguir para trabajarlos con nuestros estudiantes.

Como primera observación hacemos la siguiente: Comprender las propiedades de las operaciones, como por ejemplo, la propiedad conmutativa de la suma: muchas veces queremos que nuestros estudiantes la tomen como un axioma, si fuéramos más formales y estuviéramos construyendo la matemática como ciencia deductiva, veríamos que tenemos dos formas de fundamentar el conjunto de números reales y su estructura, una a través de los axiomas de la teoría de Conjuntos y otra a través de los axiomas de la geometría euclidiana; en cualquiera de estos casos llegaríamos a definir la suma de reales y demostraríamos deductivamente esta propiedad. Una forma usual dada desde un desarrollo lógico también es escribir las proposiciones que tomamos como axiomas que tienen que ver con la estructura de campo. Queremos decir que para nuestros alumnos, así como para la mayoría de nosotros, la propiedad conmutativa de la suma la creemos por experimentación: la mayoría de nuestros estudiantes no están en un momento intelectual de comprender que es un axioma. Del mismo modo todas las otras propiedades de la suma y el producto que hacen que el conjunto de los números reales sea un campo.

Llevar a nuestros estudiantes a que consideren que el conjunto de los números reales es el conjunto de los números decimales y que solamente los números que llamamos decimales finitos, diferentes de cero, admiten dos representaciones decimales, consideramos que en la mayoría de los casos es comprensible por ellos, aunque no es fácil que comprendan que colas de nueves son iguales al decimal que aumenta uno en el primer dígito de su expresión que no es nueve.

De esta manera a cada número decimal le corresponde un número real, y a números decimales diferentes les corresponde un único número real, salvo las colas de nueve. Es posible observar con nuestros estudiantes que los decimales periódicos corresponden a los números racionales, es decir, números que admiten una representación como cociente de dos números enteros (denominador diferente de cero). Es importante revisar con ellos que la representación como cociente de enteros de un número racional no es única, de hecho, hay una infinidad de expresiones como cociente de enteros que representan al mismo número racional.

No nos ayuda lo que en muchas ocasiones se dice, a saber, que “dos fracciones son iguales si son la misma o son equivalentes”, pues se refieren simplemente a expresiones diferentes del mismo número racional. El concepto de igualdad es el mismo, dos números reales son iguales si y solo si son el mismo número, lo único que puede suceder es que puede cambiar la expresión del mismo.

Nota didáctica:

Los griegos creían que todos los números reales positivos eran, en términos actuales, números racionales. Ellos les llamaban de otra forma: conmensurables. En términos modernos, los griegos creían que con regla y compás, dada la unidad de longitud, se podían encontrar naturales n y m de tal manera que partiendo la unidad en n partes iguales y tomando m de ellas tendríamos cualquier longitud. Grande fue su sorpresa cuando vieron que eso no era posible con la longitud del segmento que correspondía a la diagonal de un cuadrado de longitud uno. Los pitagóricos guardaron este hecho como un secreto e incluso hay novelas que hablan de conjuras y asesinatos dentro de la comunidad pitagórica para resguardar este descubrimiento, ya que dicho hecho contravenía su concepción del mundo.

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En la actualidad sabemos que raíz de dos no es racional, si queremos probar esta afirmación lo que hacemos es probar que no se puede expresar como cociente de enteros.

Presentación axiomática

También es muy importante tener en mente que el número cero y los números negativos no aparecen en la historia hasta muchos años después. Hay que considerar que llegar a las proposiciones que tomamos como axiomas para describir la estructura de los números reales, sus operaciones y el orden tomó muchos años de trabajo de la humanidad, el primer trabajo con una teoría axiomático-deductiva está en el libro de los elementos de Euclides, que aunque tiene sus detalles, es una obra titánica que resulta del intento de construir la matemática como una ciencia axiomático-deductiva, dando inicio a un pensamiento lógico-formal que es la base de nuestra matemática como ciencia, es decir, es la forma en que la matemática actualmente valida sus proposiciones.

La prueba de que raíz de dos no es racional la hacemos usualmente por contradicción. Suponemos que puede expresarse como cociente de dos enteros primos entre sí y llegamos a la contradicción de que estos números deben ser necesariamente pares usando propiedades de la divisibilidad. Demostrar, por ejemplo, que raíz de dos no es racional tratando de exhibir que su expresión decimal no es periódica es algo que yo no he visto, y debe ser muy difícil de hacer, pues observen que, por decir algo, el período puede iniciarse después de tres millones de cifras decimales y el período puede ser de longitud, digamos dos millones.

Nota matemática:

La matemática no es una ciencia experimental como la física, ni tampoco valida sus verdades como lo hacen las ciencias sociales. Sin embargo, no debemos confundir la presentación axiomático-deductiva con la presentación didáctica de la matemática, pues detrás de la presentación axiomático-deductiva hay siglos y siglos de desarrollo que no podemos esperar que nuestros estudiantes adquieran rápidamente.

Nota:

Números decimales y la recta real

Como sabemos hay una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta. Ésta se obtiene, tomando arbitrariamente una unidad de longitud y un punto en la recta, el que queramos; a partir de ese punto al que llamamos el origen y al que asociaremos el número cero, elegimos una dirección, que será la dirección positiva y a partir del origen en esa dirección marcamos la distancia de nuestra unidad y a ese punto le corresponde el uno y así sucesivamente como ya sabemos.

Para orientar nuestra discusión (o más bien desorientarnos un poco nosotros, lo cual no está demás de vez en cuando), pensemos por ejemplo en la función f(x) = 1/x definida en el intervalo abierto (0,oo). Si observamos la imagen de la función en el intervalo (0,1) veremos que es la semirrecta (1, oo) en el eje de la Y´s, (de hecho, decimos que la gráfica es asintótica al eje de las Y´s) y que a cada punto del intervalo (0,1) le corresponde uno y solo un punto en el intervalo (1, oo) y cada punto de este intervalo es imagen de un solo punto en el intervalo (0,1), es decir, hay una correspondencia biunívoca entre el intervalo (0,1) y la semirrecta (1, oo). Además, en ese intervalo la función es continua y derivable, es decir, el intervalo (0,1) se estira sin romperse e incluso suavemente, y además, es claro que los puntos cercanos a uno se estiran menos que los cercanos a cero. En el intervalo abierto (0,1) hay la misma cantidad de puntos que en la semirrecta (1, oo):

¡¡Se estira lo necesario sin romperse!!

Clic para ir al enlace

¿Cómo te imaginas una

línea recta?

A veces algunos creen, falsamente, que es una sucesión de puntos. Observa que esto no es cierto, nuestra intuición en este caso y la gráfica que hacemos de la recta no nos ayuda, lo que pintamos como un cacho de la recta está realmente en dimensión tres o está con pixeles en la computadora, no es una recta, ni un segmento de ella. Si fuera una sucesión de puntos, por ejemplo, podríamos pensar en el punto que está inmediatamente antes del punto que le corresponde a uno, ¿cuál es? 0.9, NO; 0.99, NO, cero punto y un millón de nueves NO; cuál es, porque si ponemos cero punto nueve periódico ese es el número uno. El punto que está inmediatamente antes del punto que corresponde al 1 no existe, sí escribimos bien, no existe. Entre las consecuencias de esto, observa que hablamos de intervalos abiertos, si existiera ese punto, tomaríamos el número que le corresponde y cerraríamos los intervalos y no hubiera necesidad, como la hay, de hablar de intervalos abiertos y cerrados.

Racionales e irracionales

Imagina que tiene que pasar para que un número decimal sea periódico, como que esta situación es muy difícil que suceda si tomamos un número decimal al azar; de hecho hay muchos menos números racionales que irracionales. Claro esto que hemos dicho necesitaría una prueba que no incluimos aquí. El conjunto de los números racionales es numerable, mientras que el conjunto de los números irracionales no lo es (sí estamos comparando infinitos). En general no es fácil demostrar que un número real es racional o irracional, los ejemplos que damos son los fáciles, también decimos que el número π y el número e son irracionales pero las demostraciones de esto no son nada fáciles.

La suma y el producto de racionales son racionales, el conjunto de los números racionales forma un campo, algebraicamente igual que el campo de los reales. El complemento de los racionales a los reales son los números irracionales, y en este conjunto no están ni el cero ni el uno, es decir, no están los idénticos aditivo ni multiplicativo: el conjunto de los irracionales no forma un campo.

Para concluir este pequeño escrito planteamos algunas preguntas que pudiéramos hacer en nuestros grupos sobre este último punto: • En general si tienes un número racional y le sumas un número irracional, el número que obtienes ¿es racional?, ¿es Irracional?, ¿siempre, algunas veces sí y otras no? • ¿Habrá dos irracionales cuyo producto sea racional? • El producto de un número racional con un irracional nos dará… ¿un número racional?, ¿un irracional?, ¿siempre?, ¿tendremos algún ejemplo en que nos dé un racional?

Si tú como docente quieres profundizar más en el estudio de este conjunto tan interesante de números, te invitamos a descargar los siguientes PDF: (estos archivos se han utilizado en otros cursos que hemos impartido en años anteriores)

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