Geometria no euclidiana

Geometria no euclidiana

Definició de geometria

Cinquè postulat d'Euclides

Geometria hiperbòlica: Lobachevshi i Bolyai

Geometria el·líptica: Riemann

Tipus de geometries:

Geometria euclideana Geometria el·líptica Geometria hiperbólica Geometria riemanniana Geometría discreta / combinatòria Geometria sintètica Geometria analítica Geometria fractal ...

Què són les geometries?

Són una branca de les matemàtiques encarregada d'estudiar les propietats de les figures en el pla o en l'espai.

Conceptes importants:

• Axioma
• Postulat
• Punt
• Línia
• Pla

Conceptes importants en geomatria

• Axioma:

Proposició tant clara i evident que s'admet sense necessitat de demostració.

• Postulat.

Proposició que s'admet sense proves, serveix de base a raonaments, per fundar una demostració.

• Punt:

Allò que no té parts, no té cap dimensió.

• Línia:

Longitud sense amplada, té una dimensió.- Recta: successió d'infinits punts (tocant-se) amb una mateixa direcció.- Semirecta: part en que queda dividida una recta per un punt contingut en aquesta.

• Pla:

Conjunt infinit de punts i rectes que formen un "objecte" amb només dues dimensions.

Geometries no euclidianes

Són totes aquelles en què defereix algun postulat d'Euclides.

Tipus:

Les més destacades són la geometria hiperbòlica i la el·líptica (de curvatura constant), tot i que n'existeixen més.

Postulats d'Euclides

Postulats d'Euclides

Primer postulat:

Per dos punts diferents passa una recta.

Segon postulat:

Un segment rectilini pot ser sempre prolongat.

Tercer postulat:

Només hi ha una circumferència amb un centre i diàmetre donats.

Quart postulat:

Tots els angles rectes són iguals.

Cinquè postulat:

Si una recta talla dos rectes de tal manera que els angles interiors d'un mateix costat són menors que dos rectes, les dos linees rectes es trobaran en l'angle en el qual els angles són menors de dos rectes.

Cinquè postulat d'Euclides

"Si una recta talla dos rectes de tal manera que els angles interiors d'un mateix costat són menors que dos rectes, les dos línies rectes es trobaran en l'angle en el qual els angles són menors de dos rectes."

Que és equivalent a:1 - Per un punt exterior a una recta donada només es pot traçar una única paral·lela.2 - Dues rectes paral·leles guarden entre elles una distància constant i finita.

Geometria hiperbòlica

Bolyai

Lobachevski

Sobtè substituïnt el cinquè postulat d'euclides per:

"Donada una recta i un punt exterior a ella, hi ha infinites rectes que passen per aquest"

Conceptes:

La superfície de la geometria hiperbòlica s'anomena pseudoesfera;

Triangles; àrea, pitàgores i longituds. "La suma dels angles interiors d'un triangle és menor a dos rectes."

una tractriu girada al voltant d'una recta:

Funcions hiperbòliques

Rectes equidistants

Geometria el·líptica

Riemann

Sobtè substituïnt el cinquè postulat d'euclides per:

Conceptes:

"Donada una recta i un punt exterior a ella, no hi ha cap recta que passa per aquest"

Triangles esfèrics

La superfície de la geometria el·liptica és un el·lipsoide (la circumferància n'és un cas particular):

Circumferència màxima

...

Dubtes/preguntes?

Triangles hiperbòlics

Àrea

"L'àrea és proporcional al defecte dels angles"

Pitàgores

Angles

"Amb tres angles (amb A+B+C<180º) només es pot formar un triangle"

Funcions hiperbòliques

Sinus hiperbòlic:

Cosinus hiperbòlic:

Tangent hiperbòlica:

Cotangent hiperbòlica:

Secant hiperbòlica:

Cosecant hiperbòlica: