S.R. PLANOS ACOTADOS: Intersecciones, paralelismo y perpendicularidad

Departamento de IngenieríaÁrea de Expresión Gráfica en la Ingeniería

Sistema de Representación de Planos Acotados

Intersecciones, paralelismo y perpendicularidad

Contenidos

Se tratarán los siguientes casos particulares:

Intersección entre planos

Intersección entre recta y plano

Paralelismo entre rectas

Paralelismo entre planos

Paralelismo entre recta y plano

Planos perpendiculares

Perpendicularidad entre recta y plano

Rectas perpendiculares

Intersecciones entre planos

Vista 3D

Definición de intersección:

• La intersección entre dos o más elementos situados en el espacio, se define como el lugar geométrico de todos los puntos que pertenecen simultáneamente a dichos elementos.
• La intersección de dos planos es una recta.

Intersecciones entre planos

Vista 3D

Procedimiento:

• La recta intersección entre dos planos se halla uniendo los puntos de corte de horizontales de plano de igual cota.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 1:

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 1:

• En primer lugar, prolongaremos dos de sus horizontales de plano hasta que se corten.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 1:

• En primer lugar, prolongaremos dos de sus horizontales de plano hasta que se corten.
• Uniendo esos puntos de corte obtenemos la recta intersección.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 1:

• En primer lugar, prolongaremos dos de sus horizontales de plano hasta que se corten.
• Uniendo esos puntos de corte obtenemos la recta intersección.
• Podemos comprobar que el procedimiento es independiente de la cota de las horizontales que se elijan.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 2:

• En este caso, uno de los planos es horizontal

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 2:

• En este caso, uno de los planos es horizontal.
• Si uno de los planos es horizontal, la recta intersección será una horizontal del otro plano, con cota igual al primero.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 3:

• En este caso, uno de los planos es vertical.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 3:

• En este caso, uno de los planos es vertical.
• Si uno de los planos es vertical, la recta intersección coincide con la traza del plano vertical.

Intersecciones entre planos

Vista 3D

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.
• Método 2: Utilizando un plano auxiliar cualquiera.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.
• Método 2: Utilizando un plano auxiliar cualquiera.
• Método 3: Haciendo uso de planos de perfil paralelos a la línea de máxima pendiente.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.
• Método 2: Utilizando un plano auxiliar cualquiera.
• Método 3: Haciendo uso de planos de perfil paralelos a la línea de máxima pendiente.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.
• Método 2: Utilizando un plano auxiliar cualquiera.
• Método 3: Haciendo uso de planos de perfil paralelos a la línea de máxima pendiente.

Intersecciones entre planos

Vista Proyectada

Ejemplo 4:

• En este caso, las horizontales de ambos planos son paralelas.
• Método 1: Uniendo dos parejas puntos, cada una de ellas con la misma cota, mediante sendas rectas.
• Método 2: Utilizando un plano auxiliar cualquiera.
• Método 3: Haciendo uso de planos de perfil paralelos a la línea de máxima pendiente.

Intersecciones entre planos

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Intersecciones entre recta y plano

Vista 3D

Procedimiento:

Intersecciones entre recta y plano

Vista 3D

Procedimiento:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.

Intersecciones entre recta y plano

Vista 3D

Procedimiento:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.
• Se halla la intersección del plano W con el plano P. Obtenemos la recta intersección S.

Intersecciones entre recta y plano

Vista 3D

Procedimiento:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.
• Se halla la intersección del plano W con el plano P. Obtenemos la recta intersección S.
• El punto de corte de las recta R y S (punto I) es la intersección entre la recta R y el plano P.

Intersecciones entre recta y plano

Vista Proyectada

Ejemplo:

Intersecciones entre recta y plano

Vista Proyectada

Ejemplo:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.

Intersecciones entre recta y plano

Vista Proyectada

Ejemplo:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.
• Se halla la intersección del plano W con el plano P. Obtenemos la recta intersección S.

Intersecciones entre recta y plano

Vista Proyectada

Ejemplo:

• Se traza un plano auxiliar, W, que contenga a la recta R.
• Se halla la intersección del plano W con el plano P. Obtenemos la recta intersección S.
• El punto de corte de las recta R y S (punto I) es la intersección entre la recta R y el plano P.

Intersección entre recta y plano

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Paralelismo entre rectas

Vista 3D

Definición de paralelismo:

• Dos rectas son paralelas cuando mantienen una distancia constante entre sí.
• Dos rectas paralelas nunca se cortan.
• Dos rectas paralelas no tienen puntos en común.
• Dos rectas paralelas forman el mismo ángulo con el plano horizontal.

Paralelismo entre rectas

Vista proyectada

Condiciones de paralelismo:

• Las proyecciones de las dos rectas deben ser paralelas.
• Ambas rectas deben tener el mismo módulo.
• Ambas rectas deben aumentar o disminuir su cota en el mismo sentido.

Paralelismo entre rectas

Ejemplo: Trazar una recta paralela a otra dada por un punto de cota conocida

Paralelismo entre rectas

Ejemplo: Trazar una recta paralela a otra dada por un punto de cota conocida

Condiciones de paralelismo:

• Las proyecciones de las dos rectas deben ser paralelas.

Paralelismo entre rectas

Ejemplo: Trazar una recta paralela a otra dada por un punto de cota conocida

Condiciones de paralelismo:

• Las proyecciones de las dos rectas deben ser paralelas.
• Ambas rectas deben tener el mismo módulo.

Paralelismo entre rectas

Ejemplo: Trazar una recta paralela a otra dada por un punto de cota conocida

Condiciones de paralelismo:

• Las proyecciones de las dos rectas deben ser paralelas.
• Ambas rectas deben tener el mismo módulo.
• Ambas rectas deben aumentar o disminuir su cota en el mismo sentido.

Paralelismo entre rectas

Cuestionario

Paralelismo entre rectas

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Paralelismo entre planos

Vista 3D

Definición de paralelismo:

• Dos planos son paralelos cuando sus líneas de máxima pendiente también lo son.
• El problema de paralelismo entre planos se reduce al de paralelismo entre rectas.

Paralelismo entre planos

Ejemplo: Trazar un plano paralelo a otro dado por un punto de cota conocida

Paralelismo entre planos

Ejemplo: Trazar un plano paralelo a otro dado por un punto de cota conocida

Condiciones de paralelismo:

• Las proyecciones de las dos rectas de máxima pendiente deben ser paralelas.
• Ambas rectas deben tener el mismo módulo.
• Ambas rectas deben aumentar o disminuir su cota en el mismo sentido.

Paralelismo entre planos

Cuestionario

Paralelismo entre planos

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Paralelismo entre recta y plano

Vista 3D

Definición de paralelismo:

• Una recta es paralela a un plano cuando lo es a una recta cualquiera de dicho plano.

Paralelismo entre recta y plano

Vista proyectada

Definición de paralelismo:

• Una recta es paralela a un plano cuando lo es a una recta cualquiera de dicho plano.

Paralelismo entre recta y plano

Vista proyectada

Definición de paralelismo:

• Una recta es paralela a un plano cuando lo es a una recta cualquiera de dicho plano.

Paralelismo entre recta y plano

Vista proyectada

Definición de paralelismo:

• Una recta es paralela a un plano cuando lo es a una recta cualquiera de dicho plano.

Paralelismo entre recta y plano

Vista proyectada

Definición de paralelismo:

• Una recta es paralela a un plano cuando lo es a una recta cualquiera de dicho plano.
• Si iS=iR, entonces R es paralela a P.

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 1: Trazar una recta paralela a un plano por un punto de cota conocida

Proceso:

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 1: Trazar una recta paralela a un plano por un punto de cota conocida

Proceso:

• Trazar un plano Q que sea paralelo al plano P y que pase por el punto A.

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 1: Trazar una recta paralela a un plano por un punto de cota conocida

Proceso:

• Trazar un plano Q que sea paralelo al plano P y que pase por el punto A.
• Cualquier recta que pertenezca al plano Q y que pase por el punto A, por ejemplo la recta R, será una de las infinitas soluciones.

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 2: Trazar un plano paralelo a una recta por un punto de cota conocida

Proceso:

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 2: Trazar un plano paralelo a una recta por un punto de cota conocida

Proceso:

• Trazar una recta S que sea paralela a la recta R y que pase por el punto A.

Paralelismo entre recta y plano

Ejemplo 2: Trazar un plano paralelo a una recta por un punto de cota conocida

Proceso:

• Trazar una recta S que sea paralela a la recta R y que pase por el punto A.
• Cualquier plano que contenga a la recta S y que pase por el punto A, por ejemplo el plano P, será una de las infinitas soluciones.

Paralelismo entre planos

Cuestionario

Paralelismo entre recta y plano

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Perpendicularidad entre rectas

Vista 3D

Definición de perpendicularidad:

• Dos elementos situados en el espacio son perpendiculares siempre que el ángulo definido por ambos sea de 90º, independientemente del hecho de que se corten o no.

Perpendicularidad entre rectas

Vista proyectada

Definición de perpendicularidad:

• Dos elementos situados en el espacio son perpendiculares siempre que el ángulo definido por ambos sea de 90º, independientemente del hecho de que se corten o no.
• Las proyecciones de dos rectas perpendiculares en el espacio generalmente no son perpendiculares.

Perpendicularidad entre rectas

Vista proyectada

Teorema de las tres perpendiculares:

• Cuando dos rectas en el espacio son perpendiculares y una de ellas es paralela al plano de proyección (o esté contenida en él), las proyecciones de las dos rectas serán perpendiculares.

Perpendicularidad entre rectas

Vista proyectada

Teorema de las tres perpendiculares:

• Cuando dos rectas en el espacio son perpendiculares y una de ellas es paralela al plano de proyección (o esté contenida en él), las proyecciones de las dos rectas serán perpendiculares.

Perpendicularidad entre rectas

Ejemplo 1: Trazar una recta que se corte y sea perpendicular a otra recta horizontal dada por un punto de cota conocida

Proceso:

Perpendicularidad entre rectas

Ejemplo 1: Trazar una recta que se corte y sea perpendicular a otra recta horizontal dada por un punto de cota conocida

Proceso:

• Al ser la recta S horizontal, la recta R se proyectará de forma perpendicular.
• El punto de corte de ambas rectas será el punto N(2), ya que la recta S es horizontal de cota 2.

Perpendicularidad entre rectas

Ejemplo 1: Trazar una recta que se corte y sea perpendicular a otra recta horizontal dada por un punto de cota conocida

Proceso:

• Al ser la recta S horizontal, la recta R se proyectará de forma perpendicular.
• El punto de corte de ambas rectas será el punto N(2), ya que la recta S es horizontal de cota 2.
• La recta R se graduará entre los puntos de cota conocida A y N.

Perpendicularidad entre rectas

Ejemplo 1: Trazar una recta que se corte y sea perpendicular a otra recta horizontal dada por un punto de cota conocida

Proceso:

• Al ser la recta S horizontal, la recta R se proyectará de forma perpendicular.
• El punto de corte de ambas rectas será el punto N(2), ya que la recta S es horizontal de cota 2.
• La recta R se graduará entre los puntos de cota conocida A y N.
• Cualquier otra recta T, paralela a R, también será perpendicular a S, independientemente de que no se corten.

Perpendicularidad entre rectas

Cuestionario

Perpendicularidad entre rectas

Vista 3D

Condición general:

• Para que dos rectas sean perpendiculares, una de ellas deberá estar contenida en un plano perpendicular a la otra.
• Por tanto, para dibujar una recta perpendicular a otra, es necesario trazar primero un plano perpendicular a la recta.

Perpendicularidad entre rectas

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Perpendicularidad entre planos

Vista 3D

Definición de perpendicularidad:

• Las trazas de dos planos que sean perpendiculares en el espacio no tienen por qué aparecer como perpendiculares en proyección.
• Para que un plano sea perpendicular a otro, basta con que contenga a una recta perpendicular al otro.
• Por tanto, para dibujar un plano perpendicular a otro, primero tendremos que dibujar una recta perpendicular al plano.

Perpendicularidad entre planos

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Perpendicularidad entre recta y plano

Vista 3D

• La recta R es perpendicular al plano P y, en este caso particular, pasa por la horizontal de cota 1 del plano.

Perpendicularidad entre recta y plano

Vista de perfil

Vista proyectada

CONDICIONES:

• El módulo del plano es el inverso del módulo de la recta.
• Las proyecciones de la línea de máxima pendiente del plano y de la recta son paralelas.
• Los sentidos de crecimiento de las cotas son opuestos.

Perpendicularidad entre recta y plano

Ejemplo: Trazar una recta perpendicular al plano P dado por un punto de cota conocida.

Proceso:

Perpendicularidad entre recta y plano

Ejemplo: Trazar una recta perpendicular al plano P dado por un punto de cota conocida.

Proceso:

• El módulo del plano es el inverso del módulo de la recta.

Perpendicularidad entre recta y plano

Ejemplo: Trazar una recta perpendicular al plano P dado por un punto de cota conocida.

Proceso:

• El módulo del plano es el inverso del módulo de la recta.
• Las proyecciones de la línea de máxima pendiente del plano y de la recta son paralelas.

Perpendicularidad entre recta y plano

Ejemplo: Trazar una recta perpendicular al plano P dado por un punto de cota conocida.

Proceso:

• El módulo del plano es el inverso del módulo de la recta.
• Las proyecciones de la línea de máxima pendiente del plano y de la recta son paralelas.
• Los sentidos de crecimiento de las cotas son opuestos.

Perpendicularidad entre recta y plano

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Bibliografía

¡Lección aprendida!