INFOGAFRIA Algebra Lineal

Infografia de Algebra Lineal

RESUMEN

Generalidades de los sistemas de ecuaciones

Sistema de ecuaciones lineales (SEL)

En esta ecuacion se describe que el doble de un numero es igual a 30

Las ecuaciones representan una igualdad entre dos expresiones que contienen una o más variables, gracias a ellas se pueden representar diferentes situaciones. Por ejemplo:

2x=30

Con esta expresion se dice que la suma de dos numeros igual a 20

x+y=20

Es importante destacar que siempre habrá un signo de igualdad en una ecuación, ya que si este signo no existe, entonces, sólo habrá un término independiente, el cual podrá contener lo siguiente:

Por otro lado, existen diferentes tipos de ecuaciones, éstas se clasifican de acuerdo con la variable de mayor grado.

El Algebra Lineal

Ecuacion Lineal

Una ecuación lineal es una ecuación que tiene variables con grado igual a 1; además, no existen multiplicaciones entre las variables.

Se enfoca en estudiar solamente las situaciones en las que participan las ecuaciones de primer grado también llamadas ecuaciones lineales.

Sistema de ecuaciones lineales (SEL)

Es una colección de dos o más ecuaciones lineales que tienen las mismas variables.

Todas las ecuaciones que componen un SEL sirven para resolver un mismo problema. Puede decirse que cada ecuación lineal es un dato sobre la situación que se quiere resolver.

Si se tiene, por ejemplo:

Los coeficientes de las variables siguen siendo representados por: a11,a21,…,a1n,a21,a22,…,a2n,am1,…,amn. De igual manera sucede con el número de variables o incógnitas, los cuales siguen representándose a través de x1, x2, ..., xn.

los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener:

Las rectas NO son paralelas y se presenta un punto deinterseccion.

Las rectas son paralelas por lo que no hay un punto de interseccion.

Las rectas ocupan el mismo lugar y presentan infinidad de puntos de interseccion.

A las soluciones posibles de una ecuación se les puede clasificar de las siguientes dos formas:

Consistente

Cuando un sistema de ecuaciones tiene una solución o un número infinito de ellas.

Inconsistente

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución.

Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales (SEL)

Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) se puede representar de manera compacta a través de una matriz. ¿Que es?

Representa un arreglo rectangular que contiene filas y columnas que además permite escribir los valores de las variables de un SEL. Donde las filas son horizontales y las columnas verticales.

Ejemplo de organización en la matriz:

Si se agregan los coeficientes de cada variable en las columnas, se tiene una matriz que se le conoce como matriz coeficiente.

:La cual se presentaría de la siguiente forma:

En cambio, si se agregan los números que aparecen al otro lado de la igualdad, se tiene una matriz aumentada.

La cual es posible representar de dos formas diferentes:

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se representan de la siguiente manera:

Y se pueden clasificar de acuerdo al valor que toma la constante b, de dos formas:

a) Sistema de ecuaciones lineales homogéneo

Es un sistema en el cual los valores b1, b2, b2, …, bm = 0 son igual a 0. Este tipo de sistemas siempre tienen una solución que puede ser única o presentar infinidad de soluciones. Por ejemplo:

b) Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneo

Es un sistema en el cual los valores b1, b2, b2, …, bm ≠ 0 son diferentes a 0. En este tipo de sistemas la solución puede ser única o sin solución. Por ejemplo:

Métodos de eliminación de un sistema de ecuaciones

Eliminación de Gauss

El método de Gauss se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales, éste, además, es llamado de otra manera.

¿De que otra manera se le conoce ?

Como la eliminación de Gauss, ya que consiste en reducir las filas de una matriz aumentada, de tal manera que se obtenga una matriz escalonada por filas para despejar el valor de la última variable o incógnita.

Para aplicar esta eliminación se siguen cuatro pasos.

.Paso 1 Se escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.

Paso 2 Se resuelve la matriz aumentada. Para lograrlo se debe buscar que los valores de la diagonal sean igual a 1 y los valores que se encuentran debajo de ella sean todos 0.

Por lo que se procede a realizar lo siguiente:

:El número que aparece en la columna 1, fila 1 debe ser igual a 1, entonces, es preferible invertir el orden de la fila 1 con la fila 2 (respetando los coeficientes) para que esto suceda, quedaría de la siguiente manera:

El número que se encuentra en la columna 1, fila 2 debe ser igual a 0. Para lograrlo se debe buscar un número tal que al multiplicarlo por la fila 1 y sumarlo con la fila 2 dé como resultado 0. ¿Cuál será este número?

El número indicado para este caso es el -2 por lo que este multiplica por la fila 1 y el resultado se suma con la fila 2. Este proceso quedaria como se presenta acontinuacion.

Asimismo, el número de la columna 2, fila 2 debe ser igual a 1, entonces se debe buscar un número tal que su producto dé como resultado 1.

El numero necesario en este caso es el -1, por lo que se multiplica de manera directa la fila 2 con este.

Por lo tanto, la forma de la matriz escalonada que se obtuvo es:

Paso 3 Escribir la matriz escalonada en un sistema de ecuaciones lineales.

Se sustituye el valor de y = -2 en la otra ecuación con el fin de obtener el valor de la variable x.

Paso 4 Se comprueban los valores de las variables en el sistema de ecuaciones lineal. Para comprobar que esto se cumpla se sustituyen los valores en el sistema original.

Por lo tanto, se cumple que x = 1, y = -2.

El proceso de eliminación de Gauss también puede usarse para resolver un sistema con tres ecuaciones lineales como el siguiente:

Para ello se siguen cuatro pasos, los cuales se detallarán a continuación.

Paso 1 Primero se escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.

Paso 2 Se resuelve la matriz aumentada.

Para que el valor de la fila 1, columna 1 sea igual a 1, se multiplica la fila 1 por el valor de -1.

Después se hará 0 el valor de la fila 3, columna 1 y para lograrlo se multiplica la fila 1 con -1 y el resultado se sumará a la tercera fila obteniendo:.

Posteriormente el valor de la fila 3, columna 2 se hará 0 y para lograrlo se multiplica la fila 2 con 1 y el resultado se sumará a la tercera fila obteniendo:

Para finalizar se buscará hacer 1 el valor de la fila 3, columna 3. Entonces se procede a multiplicar la fila 3 de manera directa con el valor de ¼.

Paso 3 Escribir la matriz escalonada por renglones en un sistema de ecuaciones lineales.

Se sustituye el valor de la variable x3 en las demás ecuaciones.

Paso 4 Se comprueban los valores de las variables en el sistema de ecuaciones lineal.

.Por lo tanto, se cumple que:

Eliminación de Gauss-Jordan

Este método consiste en reducir una matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por coeficientes.

Es importante destacar que si se resuelve una matriz aumentada por la eliminación de Gauss o Gauss-Jordan, la notación matricial quedaría de la siguiente manera:

Los valores que se encuentran debajo de la diagonal son igual a 0, mientras que en la eliminación de Gauss-Jordan los valores por arriba y debajo de la diagonal son todos 0.

• Signo puede ser positivo (+) o negativo (-) y aparece en un lado del coeficiente.
• Exponente indica el numero de veces que se usa la variable en una multiplicacion.
• Coeficiente es el numero que aparace junto a la variable.
• Varible es la letra del abecedario que representa un numero que no se conoce.