LIMITES

LIMITES

Estrada Zambrano Diego Humberto MA41D

¿QUÉ ES?

Los límites en matemáticas describen cómo una función se comporta cuando su entrada se acerca a un valor específico. Representan el valor al que la función tiende cuando la entrada se acerca cada vez más a ese punto.

Lím x 🡪a f(x) = L

Aplicaciones

Propiedades

Límite de una constante por una función:

Regla del producto:

Límite de la raíz cuadrada:

Teorema del emparedado:

Regla de poder:

Límite único:

Operaciones algebraicas:

Regla de suma/diferencia:

Regla del cociente:

Regla constante:

Límite de un recíproco:

Limite Unico

Solo puede haber un límite para una función en cualquier punto dado. El límite de la función no existe si la función se aproxima a diferentes valores desde diferentes puntos.

Propiedades

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denomina álgebra de los límites.

Límite de la raíz cuadrada:

Estas propiedades nos brindan capacidades significativas para analizar funciones y abordar problemas matemáticos al permitirnos modificar y calcular límites de muchas maneras. Comprender estas propiedades es esencial para trabajar con límites de manera efectiva en cálculo y otras áreas de las matemáticas.

Regla de suma/diferencia:

Tengamos dos funciones u(x) y v(x). El límite de su suma o diferencia, es la suma o diferencia de sus límites individuales, respectivamente, siempre que sus límites existan a medida que x se acerca a ‘a’.

Definición

Tengamos una función f(x), el límite de f(x) en un cierto punto x cuando x tiende a ‘a’ se define como: Lím x 🡪a f(x) = L La declaración anterior indica que cuando x se acerca a ‘a’, los valores correspondientes de f(x) se acercan al valor límite ‘L’. Es sumamente importante tener en cuenta que el límite de una función solo considera el comportamiento de la función cercano al valor de ‘a’ y no es obviamente igual al valor de ‘a’ en sí.

Teorema del Emparedado

Si los límites de f(x) y h(x) existen y son iguales a L cuando x tiende a ‘a’ y si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de a (excepto posiblemente en a), entonces el límite de g(x) también existe y es igual a L. Cuando una función está «intercalada» entre otras dos funciones, esta propiedad se puede usar para demostrar el límite de la función.

Límite de un recíproco:

Sea u(x) una función. El límite de 1/u(x) cuando x se acerca a ‘a’ existe es equivalente al recíproco de ‘L’ siempre que el límite de la función u(x) existe cuando x se acerca a ‘a’ y eso es igual a L. Matemáticamente,

Regla del cociente:

Si u(x) y v(x) tienen límites cuando x tiende a ‘a’ y Lim x 🡪a v(x) ≠ 0, entonces el límite de su cociente es igual al cociente de sus límites.

Operaciones algebraicas:

Las operaciones algebraicas se pueden utilizar para combinar los límites de las funciones. Al evaluar los límites de las funciones individuales y usar las operaciones relacionadas, se puede determinar el límite de la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones.

Regla de poder:

El límite de [u(x)] n es el límite de f(x) elevado a la potencia de n para cualquier número real n donde el límite de una función f(x) existe cuando x tiende a a.

Límite de una constante por una función:

Tengamos una función u(x) y c es una constante. Entonces el límite de c * f(x) a medida que x se acerca a a es equivalente a c múltiplo de f (x) a medida que x se acerca a ‘a’ siempre que el límite de la función u(x) exista a medida que x se acerca a ‘a’. Matemáticamente,

Regla constante:

Si c es una constante, entonces el límite de c cuando x tiende a a es simplemente c. Matemáticamente,

Regla del producto:

Sean u(x) y v(x) dos funciones. El límite de su producto es el producto de sus límites siempre que sus límites existan a medida que x se acerca a ‘a’.

Aplicaciones

Cálculo de interés: Los límites son esenciales en la determinación de tasas de interés, especialmente en situaciones de interés compuesto, que son comunes en las finanzas y la inversión. Control de procesos: En la ingeniería de control, los límites se utilizan para establecer rangos de funcionamiento seguro y eficiente en sistemas automatizados.Análisis de algoritmos: Los límites ayudan a determinar la eficiencia y el rendimiento de los algoritmos, lo que es fundamental en la programación y la optimización de código.