TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE.

INIZIO

ELENA MIGLIORE

LICEO SCIENTIFICO A.VOLTA

COS'E' UNA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA?

Una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca fra i punti del piano. Ogni punto o figura che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto il trasformato o l’immagine del punto o della figura di partenza. Tra tutte le trasformazioni geometriche ne esiste una particolare detta identità, la quale, a ogni punto del piano associa sé stesso.

Figura di riferimento.

Tale corrispondenza è biunivoca perché fissato il punto O, l'angolo alfa e il verso di rotazione, ad ogni punto P del piano corrisponde uno e un solo punto P' del piano stesso e viceversa.

Facendo ruotare la figura al punto A possiamo associare il punto A’ tale che OA sia congruente con OA’. Abbiamo creato una corrispondenza del piano con sé stesso.

Inoltre il punto A' è immagine di A, il segmento A'B' è immagine del segmento AB.

Poiché una trasformazione è una funzione biunivoca, esiste la sua inversa f-1 , che è ancora una trasformazione.

Si dice che una certa proprietà è un invariante di una trasformazione se, per ogni figura che gode di quella proprietà, anche la sua corrispondente gode della stessa proprietà.

Una trasformazione si dice involutoria se, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica.

Chiamiamo punto unito, retta unita o figura unita: un punto, una retta, una figura la quale trasformazione corrispondente è sé stesso/a.

DIVERSI TIPI DI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE.

4) Isometrie

1) Omeomorfismo

2) Trasformazione proiettiva, o proiettività

5) Omotetie

3) Trasformazione affine, o affinità

6) Similitudini

Omeomorfismo.

Trasformazione proiettiva.

Trasformazione affine.

Un omeomorfismo è una trasformazione che ha le seguenti proprietà:

• a curve chiuse corrispondono curve chiuse, a curve aperte corrispondono curve aperte;
• a curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi (i punti in cui le curve intersecano se stesse);
• se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti.

Un’affinità è una corrispondenza biunivoca tra due piani o tra punti dello stesso piano che trasforma rette in rette conservando il parallelismo.

Una trasformazione proiettiva, o proiettività, è una particolare trasformazione in cui le rette si trasformano in rette e i segmenti in segmenti. Possiamo dire che è invariante la rettilinearità.

Le isometrie.

Un'isometria è una trasformazione geometrica che conserva la distanza tra i punti. Due figure che si corrispondono in un'isometria sono congruenti. Viceversa, se due figure sono congruenti, esiste un'isometria o una composizione di isometrie che trasforma l'una nell'altra. Le isometrie godono anche delle seguenti proprietà: • trasformano rette in rette, segmenti in segmenti; • conservano il parallelismo; • trasformano rette incidenti in rette incidenti; • conservano l'ampiezza degli angoli.

Le isometrie che studieremo sono:

LA SIMMETRIA CENTRALE

LA TRASLAZIONE

La SIMMETRIA ASSIALE

La rotazione

Composizione di due isometrie.

La composizione di due isometrie dà origine a una nuova isometria. Tra le principali isometrie composte abbiamo le rototraslazioni, che si ottengono mediante composizione di una rotazione e di una traslazione. Un altro esempio di isometria composta è data dalle antitraslazioni, frutto della composizione tra una traslazione e una simmetria assiale.

Le omotetie.

Un’omotetia di centro C e rapporto k è una trasformazione dei punti del piano che (lascia fisso il punto C) trasforma un punto P nel punto P’ in modo che C, P e P’ siano allineati, e in modo che il rapporto tra P’C e PC sia uguale a k. Il punto C è detto centro dell’omotetia e k rapporto di omotetia. L’inversa di un0omotetia di entro C e rapporto k, è un omotetia di centro C e rapporto 1/k. Se k>0, P e P’ stanno sulla stessa semiretta di origine C e l’omotetia si dice diretta; se k<0, P e P’ stanno su due semirette opposte di origine C e l’omotetia si dice inversa.

Le similitudini.

La similitudine è una trasformazione geometrica che lascia inalterata l'ampiezza degli angoli della figura ma cambia le misure dei suoi lati, del perimetro e dell'area. I lati corrispondenti di due figure simili sono in rapporto costante definito con k:

• se k<1 allora la figura viene ridotta
• se k>1 allora la figura viene ingrandita
• se k=1 le figure sono congruenti (quindi la congruenza è una particolare similitudine)

Per un corretto calcolo del valore di k bisogna conoscere le misure di due lati corrispondenti nella trasformazione; bisogna fare il rapporto fra la misura del lato dopo la trasformazione e quella dello stesso lato prima della trasformazione.

UNA SIMILITUDINE E' QUINDI LA COMPOSIZIONE DI UN' OMOTETIA E UN'ISOMETRIA.

Grazie alle trasformazioni geometriche siamo in grado di realizzare i grafici delle funzioni.

Grafico traslato.

Funzione opposta.

Funzione simmetrica all'opposto.

Il grafico della funzione y=-f(-x) è il simmetrico rispetto all'origine di quello della funzione f(x). Si ottiene simmetrizzando il grafico della funzione f(x) prima rispetto all'asse y e poi rispetto all'asse x.

Il grafico della funzione y=f(x)+k si ootiene traslando con ampiezza k il grafico della funzione f(x):

• verso l'alto se k >0
• verso il basso se k<0

Il grafico della funzione y=-f(x) si ootiene simmetrizzzando rispetto all'asse x il grafico della funzione y=f(x).

CONCLUSIONI.

Mediante lo svolgimento di questo lavoro ho avuto l'occasione di conoscere meglio ciò che è alla base della molteplicità delle forme geometriche. Le diverse forme geometriche le troviamo davanti i nostri occhi quotidianamente e tutte o la maggior parte derivano da queste mutazioni geometriche che ci permettono inoltre di risolvere parte dei problemi geometrici. La geometria, come sappiamo, viene applicata in moltissimi campi ad esempio le trasformazioni geometriche sono state utilizzate fin dall'antichità nelle tecniche compositive musicali. Per appronfondire in che modo le trasformazioni geometriche si legano alla musica clicca sul seguente link: https://matematicavolta.files.wordpress.com/2014/07/geometricamente-musica-cappellini1.pdf

Bibliografia.

Per definire le traslazioni dobbiamo considerare un segmento orientato (o vettore) v, ossia un segmento su cui viene definito un verso di percorrenza. Preso un qualsiasi punto del piano P, una traslazione di vettore v associa al punto P il punto P' tale che il segmento PP' e il vettore siamo uguali.

(Per avere più informazioni sui vettori, posizionati sulla scritta verde.)

La traslazione gode delle seguenti proprietà:

• La traslazione nulla coincide con l'identità.
• La trasformazione inversa di tv è la traslazione

t-v, di vettore opposto.

• Una traslazione di vettore v diverso 0 non ha punti uniti.
• L'immagine di una retta r è una retta r' a essa parallela.

Una simmetria assiale rispetto ad una retta r è un’isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P’, simmetrico di P rispetto alla retta r. Le proprietà invarianti di una simmetria assiali sono quelle definite nell’isometria. Le simmetrie assiali non conservano invece le direzioni e l’orientamento delle figure. Tutti e soli i punti appartenenti all’asse di simmetria sono uniti. L’asse di simmetria è una retta unita. Tutte le rette perpendicolari all’asse di simmetria sono unite. I suoi punti non sono punti uniti.

Una simmetria centrale di centro O è un’isometria che associa a ogni punto P del piano il punto P’, simmetrico di P rispetto al punto O. Le proprietà invarianti di una simmetria centrale sono quelle definite nell’isometria. Le simmetrie centrali conservano inoltre:

• le direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela);
• l’orientamento delle figure;
• l’unico punto unito è il centro di simmetria.

Tutte le rette passanti per il centro di simmetria sono unite. Pero tali rette non sono formate da punti uniti.

Dati un angolo orientato a e un punto O del piano, detti rispettivamente angolo di rotazione e centro di rotazione, una rotazione associa a un punto P il punto P’ in modo tale che i segmenti OP e OP’ siano congruenti e che gli angolo a e POP’ abbiano la stessa ampiezza. Se l’angolo è positivo, la rotazione avviene in senso antiorario; se negativo in senso orario.

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Le proprieta della rotazione sono:

• La rotazione nulla ha centro qualsiasi e angolo nullo o multiplo di un angolo giro. Coincide con l'identità.
• La trasformazione inversa di una rotazione (o;a), di centro O e angolo a, è la rotazione r(o; -a), con lo stesso centro e angolo con uguale ampiezza ma orientato in senso opposto.
• Una rotazione diversa dall'identità ha come unico punto unito il centro O.