UNIDAD 3 Medidas de tendencia central y de dispersión.
Objetivo: Estimar las medidas de tendencia central y medidas de dispersión para la
interpretación de datos no agrupados y agrupados, a través de la aplicación de las
fórmulas correspondientes en la solución de problemas.
Medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados y no agrupados
Son medidas estadísticas que se usan para describir cómo se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda.
Media aritmética, geométrica y armónica.
MEDIA ARITMÉTICA
También denominada promedio, es la que se utiliza principalmente y se define como la suma de los valores de todas las observaciones divididas por el número total de datos. La expresión para calcular la media aritmética es:
El número de minutos que doce jóvenes estuvieron conectados en Facebook en un día determinado son los siguientes: 108, 94, 88,170,96,124,146,97, 135,166, 153 Y 162. Determinar su tiempo promedio.
ma= 108, 94, 88,170,96,124,146,97, 135,166, 153 162 12
ma= 1539/12 =128.258 minutos
Su interpretación geométrica es la siguiente: dado un segmento de longitud a + b que se use como diámetro de una circunferencia, entonces la media aritmética es su radio.
MEDIA GEOMÉTRICA
La media geométrica de un conjunto de n observaciones es la raíz enésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas:
Ejemplo. Un hotel situado en la Riviera Maya reportó su ocupación en los últimos 4 fines de semana: 81%, 100%, 74% y 80% . Determinar la media geométrica de la ocupación.
La interpretación gráfica de la media geométrica es la altura de un triángulo rectángulo, es decir ab, siendo a y b las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. En otras palabras, la longitud del segmento vertical es la media geométrica de las medidas de las longitudes de los dos segmentos horizontales
MEDIA ARMÓNICA
La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética. Esto es:
Ejemplo. El número de automóviles que un vendedor ha realizado en cinco meses son: 9, 4, 7, 11 y 8. Obtener la media armónica.
u interpretación geométrica es la siguiente: dado un segmento de longitud , la media armónica es la longitud a + b del cateto mayor de un triángulo rectángulo que mide y cuya hipotenusa es la media geométrica.
DATOS AGRUPADOS
Determina el promedio de los siguientes datos.
MEDIA GEOMÉTRICA
MEDIA ARMÓNICA
La Mediana
La mediana es el valor intermedio que se encuentra entre el conjunto de datos, una vez que estos están ordenados. Es importante precisar que un 50% de los datos esta por encima de la mediana y el otro 50% esta por debajo de la misma.
El símbolo de la mediana es Me, tanto para datos agrupados y no agrupados.
Formula de la Mediana para Datos no Agrupados
La formula que aplicaremos para el caso de la mediana en datos no agrupados, se divide tanto para una cantidad impar de datos como para una cantidad par. Para el caso de una muestra con una cantidad impar de datos la fórmula de la Mediana es :
Para el caso de una muestra con una cantidad par de datos la fórmula de la Mediana es :
Calculo de la Mediana para datos impares no agrupados
a) Se tiene una muestra de tamaño 7, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:
4, 7, 5, 6, 3, 2, 7
Lo primero que debemos hacer es ordenar los datos de manera creciente o decreciente.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 Luego aplicamos la fórmula de la mediana para datos impares no agrupados. Sabiendo que n que es el número total de datos es 7.
Finalmente hemos encontrado la mediana, que es el dato X4 o mejor dicho el dato que ocupa la cuarta posición que sería 5:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 7
Calculo de la Mediana para datos pares no agrupados
b) Se tiene una muestra de tamaño 8, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana:
12, 15, 14, 16, 11, 10, 10, 13
Solución:
Inicialmente ordenamos los datos de manera creciente o decreciente.
16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 10
Luego aplicamos la fórmula de la mediana para datos pares no agrupados, con n igual a 8 que es la cantidad total de datos. Como vemos usaremos los datos de la cuarta y quinta posición, que son 12 y 13 respectivamente.
Formula de la Mediana para Datos Agrupados
En el caso de que tengamos nuestros datos agrupados, la formula que debemos aplicar es la siguiente:
En donde i seria el intervalo con una frecuencia acumulada que supera el valor de n/2.
Li es el límite inferior del intervalo en donde la frecuencia acumulada supero el valor de n/2.
El valor de n es el total de datos de nuestra muestra.
Fi-1 es la frecuencia acumulada que está en el intervalo anterior a la mediana.
fi es la frecuencia absoluta en el intervalo de la mediana.
Y finalmente a, es la amplitud que tiene nuestro intervalo.
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
c) Tenemos la distribución de frecuencias de la cantidad de hogares que no tienen servicio de luz, en 212 municipios. Para ello el investigador no solicita hallar la mediana de dichos datos.
Solución:
Iniciamos determinando en que intervalo se encuentra la mediana, para ello debe cumplir que el valor de n/2 sea menor igual que la frecuencia absoluta acumulada (Fi):
En nuestro caso el intervalo de la mediana se encuentra en el primer intervalo en donde la frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a 106, por tanto el intervalo a usar es el que tiene la frecuencia absoluta acumulada como 150. El valor de 70 que es el anterior no nos sirve, ya que es menor que 106.
En este caso i=6, que es el número del intervalo a tener en cuenta. Por tanto, cada una de las variables que necesitamos son:
Finalmente, calculamos la mediana reemplazando cada uno de los datos hallados:
La Moda
La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en nuestro conjunto de datos. Es importante aclarar que un conjunto de datos puede presentar desde una moda, varias modas o ninguna. En un histograma de frecuencias absolutas, la moda es la barra más alta de nuestro gráfico.
El símbolo de la moda es Mo, tanto para datos agrupados y no agrupados.
Formula de la Moda para Datos no Agrupados
Para calcular la moda (Mo) en datos no agrupados simplemente miramos el dato que se repite con mayor frecuencia y esta será la moda.
Puede darse el caso de que tengamos dos o más modas, esto sucedería si dos o más datos se repitieron con mayor e igual frecuencia en nuestro muestra.
Calculo de la moda para datos no agrupados
a) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda. Solución:
En este caso Mo = 25, ya que es el dato que más repite. Se dice que es un caso unimodal.
b) Dada muestra con los siguientes valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda. Solución:
En este caso Mo= 20 Mo= 25, ya que estos dos valores son los que más se repiten, cada uno dos veces. Se dice entonces que es un caso bimodal.
c) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 20, 24, 25, 25, 26, 30 y 30, calcular la moda. Solución:
En este caso Mo= 20 M0= 25 y Mo=30, estos son los datos que más se repiten y con una frecuencia de dos veces cada uno. Se dice entonces que es un caso multimodal.
Formula de la Moda para Datos Agrupados
La formula que usaremos para el cálculo de la moda, en el caso de que tengamos datos agrupados será:
Li es el limite inferior del intervalo con mayor frecuencia absoluta. fi-1 es la frecuencia absoluta anterior a la de mayor frecuencia. fi+1 es la frecuencia absoluta del siguiente intervalo al de mayor frecuencia absoluta. a es la amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.
Calculo de la moda para datos agrupados
d) Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular lo moda para dicha muestra.
Solución:
En este caso estamos abordando un ejercicio con datos agrupados en intervalos, por ende debemos usar la formula para tal caso.
Por definición la moda para datos agrupados es:
Ahora procedemos a hallar cada valor independiente de nuestra formula y a calcular la Mo.
medidas de tendencia central
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Created on September 4, 2023
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UNIDAD 3 Medidas de tendencia central y de dispersión.
Objetivo: Estimar las medidas de tendencia central y medidas de dispersión para la interpretación de datos no agrupados y agrupados, a través de la aplicación de las fórmulas correspondientes en la solución de problemas.
Medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados y no agrupados
Son medidas estadísticas que se usan para describir cómo se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda.
Media aritmética, geométrica y armónica.
MEDIA ARITMÉTICA
También denominada promedio, es la que se utiliza principalmente y se define como la suma de los valores de todas las observaciones divididas por el número total de datos. La expresión para calcular la media aritmética es:
El número de minutos que doce jóvenes estuvieron conectados en Facebook en un día determinado son los siguientes: 108, 94, 88,170,96,124,146,97, 135,166, 153 Y 162. Determinar su tiempo promedio.
ma= 108, 94, 88,170,96,124,146,97, 135,166, 153 162 12
ma= 1539/12 =128.258 minutos
Su interpretación geométrica es la siguiente: dado un segmento de longitud a + b que se use como diámetro de una circunferencia, entonces la media aritmética es su radio.
MEDIA GEOMÉTRICA
La media geométrica de un conjunto de n observaciones es la raíz enésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas:
Ejemplo. Un hotel situado en la Riviera Maya reportó su ocupación en los últimos 4 fines de semana: 81%, 100%, 74% y 80% . Determinar la media geométrica de la ocupación.
La interpretación gráfica de la media geométrica es la altura de un triángulo rectángulo, es decir ab, siendo a y b las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. En otras palabras, la longitud del segmento vertical es la media geométrica de las medidas de las longitudes de los dos segmentos horizontales
MEDIA ARMÓNICA
La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética. Esto es:
Ejemplo. El número de automóviles que un vendedor ha realizado en cinco meses son: 9, 4, 7, 11 y 8. Obtener la media armónica.
u interpretación geométrica es la siguiente: dado un segmento de longitud , la media armónica es la longitud a + b del cateto mayor de un triángulo rectángulo que mide y cuya hipotenusa es la media geométrica.
DATOS AGRUPADOS
Determina el promedio de los siguientes datos.
MEDIA GEOMÉTRICA
MEDIA ARMÓNICA
La Mediana
La mediana es el valor intermedio que se encuentra entre el conjunto de datos, una vez que estos están ordenados. Es importante precisar que un 50% de los datos esta por encima de la mediana y el otro 50% esta por debajo de la misma.
El símbolo de la mediana es Me, tanto para datos agrupados y no agrupados.
Formula de la Mediana para Datos no Agrupados
La formula que aplicaremos para el caso de la mediana en datos no agrupados, se divide tanto para una cantidad impar de datos como para una cantidad par. Para el caso de una muestra con una cantidad impar de datos la fórmula de la Mediana es :
Para el caso de una muestra con una cantidad par de datos la fórmula de la Mediana es :
Calculo de la Mediana para datos impares no agrupados
a) Se tiene una muestra de tamaño 7, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana: 4, 7, 5, 6, 3, 2, 7
Lo primero que debemos hacer es ordenar los datos de manera creciente o decreciente. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 Luego aplicamos la fórmula de la mediana para datos impares no agrupados. Sabiendo que n que es el número total de datos es 7.
Finalmente hemos encontrado la mediana, que es el dato X4 o mejor dicho el dato que ocupa la cuarta posición que sería 5: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7
Calculo de la Mediana para datos pares no agrupados
b) Se tiene una muestra de tamaño 8, en el que tenemos los siguientes valores y nos piden hallar la mediana: 12, 15, 14, 16, 11, 10, 10, 13
Solución: Inicialmente ordenamos los datos de manera creciente o decreciente. 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 10
Luego aplicamos la fórmula de la mediana para datos pares no agrupados, con n igual a 8 que es la cantidad total de datos. Como vemos usaremos los datos de la cuarta y quinta posición, que son 12 y 13 respectivamente.
Formula de la Mediana para Datos Agrupados
En el caso de que tengamos nuestros datos agrupados, la formula que debemos aplicar es la siguiente:
En donde i seria el intervalo con una frecuencia acumulada que supera el valor de n/2.
Li es el límite inferior del intervalo en donde la frecuencia acumulada supero el valor de n/2.
El valor de n es el total de datos de nuestra muestra.
Fi-1 es la frecuencia acumulada que está en el intervalo anterior a la mediana.
fi es la frecuencia absoluta en el intervalo de la mediana.
Y finalmente a, es la amplitud que tiene nuestro intervalo.
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
c) Tenemos la distribución de frecuencias de la cantidad de hogares que no tienen servicio de luz, en 212 municipios. Para ello el investigador no solicita hallar la mediana de dichos datos.
Solución: Iniciamos determinando en que intervalo se encuentra la mediana, para ello debe cumplir que el valor de n/2 sea menor igual que la frecuencia absoluta acumulada (Fi):
En nuestro caso el intervalo de la mediana se encuentra en el primer intervalo en donde la frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a 106, por tanto el intervalo a usar es el que tiene la frecuencia absoluta acumulada como 150. El valor de 70 que es el anterior no nos sirve, ya que es menor que 106.
En este caso i=6, que es el número del intervalo a tener en cuenta. Por tanto, cada una de las variables que necesitamos son:
Finalmente, calculamos la mediana reemplazando cada uno de los datos hallados:
La Moda
La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en nuestro conjunto de datos. Es importante aclarar que un conjunto de datos puede presentar desde una moda, varias modas o ninguna. En un histograma de frecuencias absolutas, la moda es la barra más alta de nuestro gráfico.
El símbolo de la moda es Mo, tanto para datos agrupados y no agrupados.
Formula de la Moda para Datos no Agrupados
Para calcular la moda (Mo) en datos no agrupados simplemente miramos el dato que se repite con mayor frecuencia y esta será la moda.
Puede darse el caso de que tengamos dos o más modas, esto sucedería si dos o más datos se repitieron con mayor e igual frecuencia en nuestro muestra.
Calculo de la moda para datos no agrupados
a) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda. Solución: En este caso Mo = 25, ya que es el dato que más repite. Se dice que es un caso unimodal.
b) Dada muestra con los siguientes valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30, calcular la moda. Solución: En este caso Mo= 20 Mo= 25, ya que estos dos valores son los que más se repiten, cada uno dos veces. Se dice entonces que es un caso bimodal.
c) Dada la muestra con los siguientes valores 20, 23, 20, 24, 25, 25, 26, 30 y 30, calcular la moda. Solución: En este caso Mo= 20 M0= 25 y Mo=30, estos son los datos que más se repiten y con una frecuencia de dos veces cada uno. Se dice entonces que es un caso multimodal.
Formula de la Moda para Datos Agrupados
La formula que usaremos para el cálculo de la moda, en el caso de que tengamos datos agrupados será:
Li es el limite inferior del intervalo con mayor frecuencia absoluta. fi-1 es la frecuencia absoluta anterior a la de mayor frecuencia. fi+1 es la frecuencia absoluta del siguiente intervalo al de mayor frecuencia absoluta. a es la amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.
Calculo de la moda para datos agrupados
d) Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular lo moda para dicha muestra.
Solución: En este caso estamos abordando un ejercicio con datos agrupados en intervalos, por ende debemos usar la formula para tal caso. Por definición la moda para datos agrupados es:
Ahora procedemos a hallar cada valor independiente de nuestra formula y a calcular la Mo.