Copia - PM2 Progresión 3

Traducciones al lenguaje matemático

Progresión 3

2023 © Todos los derechos reservados

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

3:

Progresión

Anotaciones didácticas:

Se sugiere emplear problemas como el siguiente, el cual fue tomado del libro “Álgebra recreativa” de Yakov Perelman: “Un caballo y un mulo caminaban juntos, el caballo se queja de su carga, el mulo le dice ¿de qué te quejas? Si yo tomara un saco de la tuya mi carga sería el doble de la tuya. En cambio, si te doy uno de mis sacos, tu carga se iguala a la mía, así que no tienes por qué quejarte pues yo llevo más sacos que tú. ¿Cuántos sacos lleva el caballo? ¿Cuántos sacos lleva el mulo?” Con este tipo de problemas se busca que el estudiantado domine con mayor sofisticación el uso del lenguaje algebraico.

Examina situaciones que puedan modelarse utilizando lenguaje algebraico y resuelve problemas en los que se requiere hacer una transliteración entre expresiones del lenguaje natural y expresiones del lenguaje simbólicodel algebra. C1M2: Analiza los resultados obtenidos al aplicar procedimientos algorítmicos propios del Pensamiento Matemático en la resolución de problemáticas teóricas y de su contexto. C3M2: Construye un modelo matemático, identificando las variables de interés, con la finalidad de explicar una situación o fenómeno y/o resolver un problema tanto teórico como de su entorno. C4M1: M1 Describe situaciones o fenómenos empleando rigurosamente el lenguaje matemático y el lenguaje natural.

Subcategorías

S1: - Elementos aritmético-algebraicos. - Uso de modelos. - Registro escrito, algebraico e iconográfico. S2: Negociación de significados. S3: Ambiente matemático comunicación.

Del lenguaje natural

al lenguaje algebraico

(y de regreso)

La frase modelos matemáticos puede remitir a ideas muy sofisticadas de cómo la ciencia explica el mundo mediante el lenguaje matemático. Esas ideas siempre surgen de una base muy sencilla que es la de distinguir variables y patrones sobre ellas. Muchas veces el lenguaje natural nos da directamente la pauta para matematizar situaciones cotidianas, tan cotidianas como el contexto de nuestros estudiantes nos permita. La traducción de situaciones al lenguaje matemático es una habilidad que requiere ser desarrollada, pues su gran dificultad radica en el reconocimiento e identificación de las variables necesarias para entender un fenómeno, y precisamente de ello trata esta progresión. Empecemos con un ejemplo sencillo para el aula. Imaginamos que podríamos agrupar a nuestros estudiantes en equipos para que trabajen el siguiente problema. Nuestra labor docente en este contexto es el de guiarlos y retroalimentar sus trabajos.

Multas

de tránsito

El reglamento de tránsito de la Ciudad de México establece para los conductores de vehículos motorizados que no deben utilizar teléfono celular o cualquier dispositivo de comunicación mientras el vehículo esté en movimiento, cualquier manipulación del mismo deberá hacerse con el vehículo detenido. La infracción por infringir esta regla consta de una multa de 30, 32 o 35 veces la Unidad de Medida y Actualización (UMA) vigente, tres puntos de penalización a la licencia para conducir y un punto de penalización a la matrícula vehicular. En principio, no tenemos necesidad de conocer qué significa una UMA para expresar algebraicamente que el costo monetario de la infracción, x, está en el rango de 30 UMA ≤ x ≤ 35 UMA. Actualmente, una Unidad de Medida y Actualización vigente, es de $103.74, por lo que la multa x en pesos mexicanos está entre los $3,112.2 ≤ x ≤ $3630.9

Un ejercicio clásico de traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico, nos pediría representar algebraicamente un número mayor o igual a treinta veces otro número U, y menor o igual a 35 veces U. Sin embargo, sugerimos plantear algunos ejercicios de traducción del lenguaje natural a lenguaje algebraico con un contexto interesante para que el estudiante aprecie el poder de la matemática en el mundo real. En la traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico es importante desarrollar la habilidad de reducir los enunciados a otros más simples para obtener poco a poco las ecuaciones requeridas.

Basado en un problema de The Moscow Puzzles de Boris A. Kordenmsky.

Una pequeña

historia

Un día, un joven y un anciano salieron del pueblo hacia la ciudad, uno a caballo y el otro en coche. Pronto se vio que si el joven hubiera avanzado ese día el triple, le hubiera faltado la mitad de distancia para llegar su destino que la distancia que en realidad le faltó por recorrer. Mientras que si el anciano hubiera recorrido la mitad de la distancia que hizo ese día, le hubiera quedado por recorrer el triple del camino que en verdad le faltó para llegar a la ciudad. Cuando el joven y el anciano al fin se vieron en la ciudad, quien iba montando a caballo se burló del otro porque le resultó irónico que yendo él en caballo el primer día él hubiera avanzado más que quien iba en coche. ¿Quién montaba el caballo?

Trata de resolver este problema.

Tratemos de resolver este problema. Recuerda que nuestra meta es determinar quién de los dos personajes montaba a caballo, si el joven o el anciano. Pero no podemos hacerlo directamente pues el planteamiento no nos da esa información, lo que sí nos dice es que quién iba montando a caballo avanzó más el primer día que quien iba en coche. Así que ahora nuestra meta será determinar quién de los dos avanzó más el primer día, con ello sabremos quién iba a caballo. Pero nos enfrentamos a otro problema: no sabemos ni cuánto avanzó el joven el primer día ni tampoco cuánto avanzó el anciano el prime día. Si lo supiéramos no tendríamos ningún problema que resolver. Como no conocemos dichas distancias vamos a denotarlas con algunas letras que nos recuerden tanto al joven como al anciano, ¿por qué con algunas letras? Simplemente para ahorrarnos el estar escribiendo a cada rato “la distancia que recorrió el primer día el joven” y “la distancia que recorrió el primer día el anciano”. Si te das cuenta muchas de las convenciones que adoptamos en matemáticas se debe a que somos unas personas que buscan evitarse molestias tediosas como estar escribiendo frases largas a cada rato, eso sí, somos personas que buscamos trabajar el mínimo, pero con inteligencia.

Así que denotemos por J a “la distancia que recorrió el primer día el joven”. la denotamos por J porque la J nos recuerda al joven. Y denotemos por A a “la distancia que recorrió el primer día el anciano”. Bien pudiéramos elegir otras letra como x e y o las letras que queramos, pero busquemos alguna elección más o menos significativa. Hasta ahora lo único que hemos hecho es determinar nuestra meta (saber quién avanzó más el primer día); y denotar con letras las distancias recorridas tanto por el joven como por el anciano. Estamos como quien dice, apenas preparando el terreno para tratar de resolver el problema. No podemos conocer J ni A directamente, así que busquemos algunas relaciones que guarden entre sí para ver si con esa información podemos determinar si J es mayor que A o A es mayor que J.

¿Qué sabemos sobre J? Lo que sabemos es que si el joven hubiera avanzado ese día el triple, le hubiera faltado la mitad de distancia para llegar su destino que la distancia que en realidad le faltó por recorrer.

¿Qué podemos

extraer de aquí?

Apoyémonos de un esquema:

Hemos representado con una línea recta el camino entre el Pueblo y la Ciudad, esto no necesariamente es así, pero como no nos interesa del todo la forma que tiene el camino, con esta representación nos basta. Es posible que para otros estudios nos interese comprender la curvatura del camino o la variación de la altitud en el camino del Pueblo a la Ciudad o bien la flora o la fauna que lo circunda, en tales estudios nuestra representación sería claramente deficiente. Como solo nos interesa comprender mejor la distancia recorrida tanto por el joven como por el anciano, la representación gráfica presentada nos funciona.

El enunciado que hemos citado más arriba sobre la distancia J recorrida por el joven puede darnos algo más de información. Dicho enunciado habla del camino que le hubiera faltado por recorrer. Se nos puede ocurrir denotar dicha distancia con una letra y observar si de allí podemos extraer más información que nos ayude a resolver el problema:

Pudiéramos intentar hacer lo mismo con la distancia A que recorrió el anciano:

Hay que observar dos cosas importantes: primero los gráficos que presentamos son solo una representación de apoyo, no podemos deducir de las marcas que hemos puesto si el joven o el anciano avanzó más, por eso incluso nos cuidamos mucho de poner las marcas de lo que recorrieron cada uno en un mismo esquema, porque esto podría confundir. Por otro lado, un error común entre nuestros estudiantes es denotar con la misma letra ambas distancias, es decir, denotar con la misma letra tanto a la distancia que le faltó al joven como la distancia que le faltó al anciano, esto no es correcto pues estaríamos diciendo que ambas personas recorrieron la misma distancia, lo que sería hacer suposiciones extras (en lenguaje coloquial: “sería hacer chisme”).

Este es un intento que nos puede servir para resolver el problema, no estamos haciendo nada que esté fundamentalmente prohibido. Nosotros, cuando construimos un modelo matemático -como lo estamos haciendo ahora- determinamos las variables a las que debemos ponerles atención, nosotros elegimos las variables que nos convienen. Puedes intentar seguir por la ruta que hemos planteado y quizás te topes con pared como nosotros mismos lo hicimos, pero queríamos compartirte este intento porque podría ser uno como el que te comparta un estudiante. Observa que es importante lograr una retroalimentación adecuada: insistimos, no se ha realizado nada prohibido en el intento anterior de construir un modelo que nos ayude a resolver el problema, los razonamientos están bien, pero la vía que se propone no vemos cómo nos podría llevar a la solución, así que hagamos otra cosa.

Es un poco la experiencia y la guía que tú le des a tus estudiantes lo que los ayudará a desarrollar en la habilidad de determinar qué elementos de problema se eligen mirar para poder resolver el problema. En este modelo que te presentamos lo que nos dificulta la solución es la proliferación de incógnitas: y “el camino que le faltó recorrer al anciano” y x “el camino que le faltó recorrer al joven”, además no tenemos una relación clara que las vincule.

¿Qué otra cosa se nos puede ocurrir? La expresión “se me prendió el foco” se refiere a cuando se nos ocurren ideas que nos ayudan a resolver problemas, cuando encontramos a qué prestarle atención, esa llave que abre la puerta y nos deja salir del atolladero en el que estábamos. Suele suceder que después de que se nos prende el foco el planteamiento del problema se vuelve claro y hasta trivial y decimos cosas como “¡ah, cómo no se me había ocurrido antes si estuvo frente a mis narices todo el tiempo! Pues bien lo que se nos ocurrió cuando se nos prendió el foco fue prestarle atención a algo que siempre estuvo allí, frente a nuestras narices, pero que lo manteníamos relegado a un segundo plano: la distancia entre el pueblo y la ciudad, la cual denotaremos con una letra que nos haga recordar que nos referimos a dicha distancia, nosotros hemos elegido la letra D. Tenemos los siguientes apoyos gráficos, pero recuerda otra vez que de ellos no podemos extraer mucha información, porque solo son una guía: debemos buscar analizar las relaciones intrínsecas de los objetos de nuestro estudio, en este caso debemos observar cómo se relacionan J, A y D.

Observa que en este modelo, a diferencia del que tratamos de construir previamente, solo aparecen tres incógnitas y no cuatro, además con un poco de esfuerzo podremos ver que éstas tienen una más clara relación entre sí que las anteriores. Esto es una mejora sustancial.

Volvamos al enunciado antes citado: si el joven hubiera avanzado ese día el triple, le hubiera faltado la mitad de distancia para llegar su destino que la distancia que en realidad le faltó por recorrer. ¿Cómo relacionamos J y D de tal forma que una igualdad describa el párrafo anterior? La hipótesis de que el joven recorrió el triple es asumir que recorrió una distancia de 3J. Ahora bien, en caso de que hubiera recorrido dicha distancia, ¿cuánto le hubiera faltado para terminar su recorrido? Aquí es donde entre la distancia D entre el pueblo y la ciudad, pues en caso de que hubiera recorrido el triple, le hubiera faltado D - 3J para llegar a la ciudad. En tal caso, nos dice el enunciado, lo que le hubiera faltado por recorrer (D - 3J) sería la mitad de lo que en realidad le faltó por recorrer para llegar a la ciudad, es decir 1/2(D - J). Esto último nos da la siguiente igualdad: D - 3J = 1/2(D - J)

La igualdad anterior podemos trabajarla un poco, según lo visto en la progresión 2, para concluir que D = 5J ¿Qué nos dice esta igualdad? Observa que la igualdad anterior no nos dice ni cuánto es la distancia del pueblo a la ciudad ni tampoco cuál es la distancia que recorrió el joven el primer día. Sin embargo sí nos da nueva información, nos dice que la distancia total entre el pueblo y la ciudad es 5 veces la distancia que recorrió el joven o, en otras palabras, que el joven recorrió un 1/5 de la distancia total. Esto último lo podemos expresar como J = 1/5 * D.

Antes de pasar a la siguiente página, realiza un razonamiento análogo para que puedas obtener alguna información sobre la distancia que recorrió el anciano el primer día.

Seguramente del análisis que hiciste del enunciado: Si el anciano hubiera recorrido la mitad de la distancia que hizo ese día, le hubiera quedado por recorrer el triple del camino que en verdad le faltó para llegar a la ciudad. Pudiste concluir la siguiente igualdad: D - 1/2A = 3(D - A) De la cual puedes concluir que A = 4/5 * D Como 4/5 > 1/5, podemos concluir que fue el anciano quien recorrió una mayor distancia y que, por lo tanto, fue quien iba a caballo.

Observa que con los datos que nos dan no podemos conocer ni a D, ni a J ni a A. Sin embargo, sí sabemos que A es mayor que J y con esta información podemos resolver nuestro problema. Si nos preguntran por la distancia del pueblo a la ciudad nosotros deberíamos responder que nos faltan datos para poder calcular dicha distancia.

Observa que con este problema tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Puedes analizar cuántas ecuaciones lineales con tres incógnitas necesitas para que la solución pudiera ser única. Adicionalmente, puedes pensar en cuáles son las posibilidades del conjunto solución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incóngnitas: puede ser vacío, constar de un punto, ser una recta o bien ser un plano.

Nota matemática

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