Matrices y determinantes
Academia formarium
EMPEZAR
ÍNDICE
1.Definición de matriz. tipos de matrices
2.oPERACIONES CON MATRICES
4.MATRIZ INVERSA
3.Determinante de una matriz
5.ECUACIONES MATRICIALES
dEfinición de matriz. tipos de matrices.
Definición de matriz.
Una matriz es el conjunto de números reales, que se disponen en m filas y n columnas, siendo su dimensión mxn
Tipos de matrices
Operaciones con matrices
suma de matrices
Es muy fácil sumar matrices. ¡Se hace elemento a elemento!
Ahora, con una matriz 3x3:
Vamos una matriz 2x3:
Operaciones con matrices
Multiplicación de un número por una matriz
Es super simple, ¡toda la matriz por ese número!
Operaciones con matrices
Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices, es algo más complicada, pero ¡ya veréis como no es para tanto!
Las multiplicaciones de matrices, solo se podrán realizar cuando el número de columnas de la primera matriz, coincida con el número de filas de la segunda matriz. Vamos a ver un par de ejemplos
determinante de una matriz
DETERMINANTE de una matriz
Viene dado por el símbolo | | (el mismo que usamos para el valor absoluto en caso de números o funciones.
Para que el determinante pueda ser NO NULO, la matriz DEBE SER CUADRADA
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 2x2
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 3x3
Método 1
1x10x4+3x(-1)x(-4)+2x0x0=52
-4x10x0+3x0x1+2x(-1)x4=-8
|A|=52-(-8)=60
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 3x3
Método 2
1x10x4+(-1)x3x(-4)+0x2x0=52
-4x10x0+0x3x1+4x2x(-1)=8
|A|=52-(-8)=60
determinante de una matriz
Definición y cálculo de la matriz adjunta.
RANGO DE UNA MATRIZ
¿qué es el rango de una matriz?
El rango de una matriz es el número de filas o columnas que son linealmente independientes.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
2. si una fila o columna está multiplicada por un número, dicho número sale del determinante.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
3. Si todas las filas o columnas de una matriz de orden n están multiplicadas por un número k, el determinante queda multiplicado por kN.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas, es igual al producto de los determinantes de dichas matrices:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
5.Si los elementos de una fila o columna de la matriz son todos 0 (elemento nulo), el determinante es 0:
Matriz 2x2
Matriz 3x3
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
6. Si en un determinante existe una suma (o resta) en una de las filas o columnas, el determinante se puede separar en dos, cada uno con un sumando, manteniendo las demas filas y columnas intactas :
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
7. SI en una matriz cuadrada, permutamos dos filas o columnas, el determinante cambia de signo por cada permutación realizada :
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
8. SI en una matriz cuadrada, tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es 0:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
9. SI en una matriz cuadrada, una fila o columna es combinación lineal de otras dos, el determinante es 0 :
F2=F1-2F3
(2 4 8)-2(1 4 0)=(2 4 8)-(2 8 0)= (0 -4 8)
Matriz inversa
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA MATRIZ INVERSA
1. La matriz debe ser cuadrada. Esto no implica, que si es cuadrada, exista inversa. 2. El determinante debe ser distinto de 0.
Matriz inversa
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Matriz inversa
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA a partir de la matriz adjunta.
Ecuaciones matriciales
¿Qué es una ecuación matricial?
Son ecuaciones que involucran matrices
AX=B+C
AX+C=Bt
XB-2C=A+Ct
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Sabías que?
Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos deben ser igual, por lo que: a=7 ; b=4 ; c=-8 ; d=-3 ; f=-5
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
Vamos a practicar un poco
¿De qué dimensión son las matrices siguientes?
3x5
2x3
3x3
De la matriz siguiente, indica cuales son los elementos:
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
La matriz traspuesta tiene dos propiedades importantes:
La traspuesta de una suma de matrices, es igual a la suma de matrices traspuestas.
La traspuesta de una multiplicación, es igual a la multiplicación de las matrices traspuestas, en el orden contrario. Además, si una matriz coincide con su traspuesta, se le llama simétrica. En caso de que coincida, pero con signo contrario, se le llama antisimétrica.
Ejemplo de resolución de ecuaciones matriciales
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¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Alba Rincón Castro
Created on September 3, 2023
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Matrices y determinantes
Academia formarium
EMPEZAR
ÍNDICE
1.Definición de matriz. tipos de matrices
2.oPERACIONES CON MATRICES
4.MATRIZ INVERSA
3.Determinante de una matriz
5.ECUACIONES MATRICIALES
dEfinición de matriz. tipos de matrices.
Definición de matriz.
Una matriz es el conjunto de números reales, que se disponen en m filas y n columnas, siendo su dimensión mxn
Tipos de matrices
Operaciones con matrices
suma de matrices
Es muy fácil sumar matrices. ¡Se hace elemento a elemento!
Ahora, con una matriz 3x3:
Vamos una matriz 2x3:
Operaciones con matrices
Multiplicación de un número por una matriz
Es super simple, ¡toda la matriz por ese número!
Operaciones con matrices
Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices, es algo más complicada, pero ¡ya veréis como no es para tanto!
Las multiplicaciones de matrices, solo se podrán realizar cuando el número de columnas de la primera matriz, coincida con el número de filas de la segunda matriz. Vamos a ver un par de ejemplos
determinante de una matriz
DETERMINANTE de una matriz
Viene dado por el símbolo | | (el mismo que usamos para el valor absoluto en caso de números o funciones.
Para que el determinante pueda ser NO NULO, la matriz DEBE SER CUADRADA
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 2x2
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 3x3
Método 1
1x10x4+3x(-1)x(-4)+2x0x0=52
-4x10x0+3x0x1+2x(-1)x4=-8
|A|=52-(-8)=60
determinante de una matriz
cálculo del determinante de una matriz 3x3
Método 2
1x10x4+(-1)x3x(-4)+0x2x0=52
-4x10x0+0x3x1+4x2x(-1)=8
|A|=52-(-8)=60
determinante de una matriz
Definición y cálculo de la matriz adjunta.
RANGO DE UNA MATRIZ
¿qué es el rango de una matriz?
El rango de una matriz es el número de filas o columnas que son linealmente independientes.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
2. si una fila o columna está multiplicada por un número, dicho número sale del determinante.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
3. Si todas las filas o columnas de una matriz de orden n están multiplicadas por un número k, el determinante queda multiplicado por kN.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas, es igual al producto de los determinantes de dichas matrices:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
5.Si los elementos de una fila o columna de la matriz son todos 0 (elemento nulo), el determinante es 0:
Matriz 2x2
Matriz 3x3
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
6. Si en un determinante existe una suma (o resta) en una de las filas o columnas, el determinante se puede separar en dos, cada uno con un sumando, manteniendo las demas filas y columnas intactas :
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
7. SI en una matriz cuadrada, permutamos dos filas o columnas, el determinante cambia de signo por cada permutación realizada :
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
8. SI en una matriz cuadrada, tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es 0:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
9. SI en una matriz cuadrada, una fila o columna es combinación lineal de otras dos, el determinante es 0 :
F2=F1-2F3
(2 4 8)-2(1 4 0)=(2 4 8)-(2 8 0)= (0 -4 8)
Matriz inversa
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA MATRIZ INVERSA
1. La matriz debe ser cuadrada. Esto no implica, que si es cuadrada, exista inversa. 2. El determinante debe ser distinto de 0.
Matriz inversa
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Matriz inversa
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA a partir de la matriz adjunta.
Ecuaciones matriciales
¿Qué es una ecuación matricial?
Son ecuaciones que involucran matrices
AX=B+C
AX+C=Bt
XB-2C=A+Ct
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Sabías que?
Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos deben ser igual, por lo que: a=7 ; b=4 ; c=-8 ; d=-3 ; f=-5
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
Vamos a practicar un poco
¿De qué dimensión son las matrices siguientes?
3x5
2x3
3x3
De la matriz siguiente, indica cuales son los elementos:
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
La matriz traspuesta tiene dos propiedades importantes: La traspuesta de una suma de matrices, es igual a la suma de matrices traspuestas. La traspuesta de una multiplicación, es igual a la multiplicación de las matrices traspuestas, en el orden contrario. Además, si una matriz coincide con su traspuesta, se le llama simétrica. En caso de que coincida, pero con signo contrario, se le llama antisimétrica.
Ejemplo de resolución de ecuaciones matriciales
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¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
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Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Esta matriz puede tener rango 3, 2 o 1. Para saber el rango, vamos a calcular el determinante.
Como |A| es distinto de 0, el rg(A)=3
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?
Como el determinante de la matriz 3x3, nos ha salido 0, significa que el rango puede ser o 2 o 1. Si somos capaces de encontrar un menor, cuyo determinante sea diferente de 0, automáticamente, el rango de la matriz será 2. Si todos los determinantes de los menores complementarios, son 0, el rango será 1.
Como hemos encontrado un determinante de 2x2, diferente de 0, el rango de la matriz A es 2: Rg(A)=2.