presentacion yeifer hoyos

Unidad 1 - Fase 2 - Actividad matrices y solución de sistemas de ecuaciones

algebra lineal

yeifer hoyos palencia

univercidad nacional abierta y aditancia -unad

Empezar

#1

contenido

1 . qué es una matriz,.2 .estructura de una matriz 3. sus dimensiones (filas y columnas).

4.las operaciones básicas de matrices 5. cómo se realizan cada una de lasopereaciones basicas .

contenido

#2

propiedades importantes de las matrices

1.matriz identidad 2. las matrices inversas. 3. cómo se obtiene la matriz inversa 4. cómo se verifica si una matriz tiene inversa

los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: 1.método de sustitución. 2.método de eliminación 3. método de matrices .

¿QUe es una matriz?

Una matriz es un conjunto de números o expresiones, dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Se expresan dentro de paréntesis y en el interior encontramos números, mayoritariamente.Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal,

+ nfo

Estructura de una matriz

esto es, una matriz general, la cual contiene la siguiente estructura

Donde los elementos que la conforman son a= idnfica el coeficiente o elemento de la matriz, ( escalares o numeros reales ) i= 1,2,3 m indica el numero de la matriz j= 1,2,3 n indica el numero de columna de la matriz

f+ ino

Dimenciones de una matriz (filas, columnas)

Se llama dimensión de la matriz al número de filas por el de columnas y se representa como m × n. Si m = n se dice que la matriz es cuadrada y de orden n.

Ejemplo...

1) Dada la siguiente siguiente matriz A calcula su dimensión , su elemento 3,2 , su columna 2 y su fila 3 :

Operaciones basicas de matrices

las operaciones basicas de matrices son.

Divicion

Resta -

suma +

+ info

Multiplicacion x

La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.

suma

cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en:

1.Las matrices compartan la misma dimensión. 2.Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.

cuando restamos matrices nos vamos a fijar en:

RESTA-

1.Las matrices compartan la misma dimensión. 2.Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

MULTIPLICACION X

Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad. Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que:

Vídeo 1MMMM

Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos. Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

+ info

La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

Divicion

También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

propiedades importantes de las matrices

Matriz identidad

Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1). En otras palabras, una matriz identidad solo tiene unos (1) en la diagonal principal y todos los demás elementos de la matriz con ceros (0)

Matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1. Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular.

Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A, aplicando el método de Gauss, construimos, en primer lugar, la matriz ( A | I ), siendo I la matriz identidad del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme en la siguiente ( I | B ). La matriz B será la inversa de la matriz A, es decir: B = A-1.

calculo inversa de una matriz

+ info

B = A-1. Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son: a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero. b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

En las escena inferior izquierda se describe el proceso, paso a paso mediante un ejemplo, para calcular la inversa de una matriz de orden 3 aplicando el método de Gauss. Al pulsar sobre los botones de la parte inferior derecha se abren sendas escenas que permiten calcular la inversa de cualquier matriz de orden 2 o 3 por el método de Gauss, también con una descripción de los pasos realizados.

verificacion matriz inversa

Demostración: Si Ax = b y existe A-1, multiplicando por A-1 A-1Ax = A-1b ⇔ Ix = A-1b ⇔ x = A-1b

metodos para resolver sistemas de ecuacuiones lineales

1.método de sustitución. 2.método de eliminación 3. método de matrices .

Empezar

sistema de ecuaciones lineales

es un conjunto finito de ecuaciones lineales las cuales contienen a las mismas variables,o incongnitas y la solucion para variables de una de las ecuaciones deve ser las mismas para las restantes ecuaciones del conjunto, es desir la solucion deve ser simultanea para todas las ecuaciones un sistema de m ecuaciones lineales con n incongnitas o variables se representa de forma general como.

+ info

metodo de sustitucion

entonses, sustituimos x en la ecuacion (2) de forma que

escribimos unas de las variables,de cualquier ecuacion, en terminos de la otra y la sustituimos en la ecuacion restante , con esto obtenemos una ecuacion lineal de una sola variables, la eleccion de la ecuacion y la variable o incongnita es total mente arbitraria

ahora sustituyendo x en x tenemos

Metodo de eliminacion

Eliminamos cualquiera de las dos variables del sistema mediante operaciones , por ejemplo multiplicar las ecuaciones por un escalary sumar o restar ecuaciones. asi multiplicacmos la ecuacion (1) por a la eciacio (2) para obtener

Ahora restamos la ecuacion (4) de la ecuacion (3) y la ecuacion resultante la sustituimos por cualquiera de las dos anteriores.

Metodo de matrices

en esta seccion, utilizamos las matrices para resolver sistemas de ecuciones lineales, todo sistema de ecuaciones lineales puede ser representado matricial mente colocando los coeficientes de las ecuaciones del sistema ya sea como filas o como columnas en una matriz

matriz inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial: Si A- 1existe, es decir, si . es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por A-1 , para obtener que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes A y matriz de terminos independientes. B

Regla de cramer

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que A sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Ejemplo Consideremos el sistema de ecuaciones:

Cuando el sistema de ecuaciones

es:

Metodo de gaus

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican. Ejemplo

que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocuacion para obtener z :

z \, = \, 1 En la primera y segunda ecuación, sustituimos z por la solucion de la tercera ecuación ( 1 \to z ), para obtener:

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

metodo grafico

El método gráfico es relativamente sencillo y se aplica cuando los problemas de programación lineal tienen solamente dos variables pero sin importar la cantidad de restricciones. El método consiste graficar las restricciones, delimitar el área factible, encontrar los puntos de intersección alrededor del área factible, evaluar la función objetivo en los puntos alrededor del área factible y escoger la función de valor objetivo más grande si el problema es de maximizar o la función objetivo de menor valor, si la función es de minimizar. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. Como ya hemos dicho, el modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

ar

Referencias

Florencio, G. (2014), Algebra lineal: Serie Universitaria, Grupo Editorial Patria. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39423

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