Infografía Cálculo Multivariable

CÁLCULO MULTIVARIABLE

Integrales dobles con coordenadas polares

CAMPOS VECTORIALES

El cálculo multivariable es un campo crucial de las matemáticas que se enfoca en funciones con múltiples variables.

FORMULA

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Integrales triples

INTEGRALES DE LINEA

Optimización

MÉTODO DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

Multiplicaciones de lagrange

CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS

EJEMPLO

Integración multiple

MÉTODO DE COORDENADAS ESFÉRICAS

Bibliografía

Integrales dobles en regiones generales

EJEMPLO

TORRES DIEGO - PRADA MARCO - LUNA MIGUEL - AFANADOR DARWING

Integral de línea de un campo vectorial

Integral de línea de un campo escalar

Ecuacion (6.8)

Cálculo de la integral de línea escalar

Integramos a lo largo de una curva a través de un campo vectorial.

F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

EJEMPLO

Evaluar una integral de línea vectorial

EJEMPLO

Evaluar una integral de línea

Integración Múltiple

La integración múltiple es una herramienta esencial en cálculo multivariable que nos permite calcular áreas, volúmenes y valores promedio en regiones bidimensionales y tridimensionales. La integral doble, denotada como ∬, se emplea para encontrar áreas bajo curvas en un plano, volúmenes entre superficies en el espacio tridimensional y calcular valores promedio de funciones en áreas bidimensionales. Por otro lado, la integral triple, denotada como ∭, se utiliza para calcular volúmenes bajo superficies en el espacio tridimensional y promedios de funciones en regiones tridimensionales. En ambos casos, la técnica implica dividir la región en elementos pequeños, aplicar la integración a cada elemento y sumarlos o integrarlos a lo largo de la región de interés. La integración múltiple es fundamental en física, ingeniería, estadísticas y muchas otras disciplinas para resolver problemas en tres dimensiones, desde calcular masas y centros de masa hasta determinar probabilidades y momentos de inercia en formas complejas.

El método de coordenadas esféricas es otra técnica importante para resolver integrales triples en cálculo y física. Se utiliza cuando se trabaja con problemas que tienen simetría esférica, como esferas, conos tridimensionales y otros objetos con simetría radial. A continuación, se describen los pasos para resolver integrales triples utilizando coordenadas esféricas: Coordenadas Esféricas: En lugar de utilizar coordenadas cartesianas (x, y, z), empleamos coordenadas esféricas, que consisten en tres variables: ρ (radio), θ (ángulo polar), y φ (ángulo azimutal). La relación entre coordenadas cartesianas y esféricas es la siguiente: x = ρ * sin(φ) * cos(θ) y = ρ * sin(φ) * sin(θ) z = ρ * cos(φ) Elementos Diferenciales: El elemento diferencial de volumen (dV) en coordenadas esféricas se calcula de la siguiente manera: dV = ρ² * sin(φ) * dρ * dθ * dφ Donde: dρ es un pequeño cambio en el radio. dθ es un pequeño cambio en el ángulo polar. dφ es un pequeño cambio en el ángulo azimutal. Límites de Integración: Para definir los límites de integración en coordenadas esféricas, debes tener en cuenta la geometría del problema. Los límites para ρ, θ y φ deben reflejar la región del espacio que estás considerando. Estos límites se establecen en función de las características específicas de tu problema.

El método de coordenadas cilíndricas es una técnica útil para resolver integrales triples en problemas de cálculo y física que involucran simetría axial, como cilindros o conos. Se basa en la idea de usar un sistema de coordenadas que sea más apropiado para la geometría del problema en cuestión. Aquí tienes un resumen del método de coordenadas cilíndricas para integrales triples: Coordenadas Cilíndricas: En lugar de utilizar coordenadas cartesianas (x, y, z), utilizamos coordenadas cilíndricas, que consisten en tres variables: r (radio), θ (ángulo polar), y z (altura). La relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas es la siguiente: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) z = z Elementos Diferenciales: Para realizar integrales triples en coordenadas cilíndricas, necesitamos expresar el elemento diferencial de volumen (dV) en términos de las coordenadas cilíndricas. Se puede calcular como: dV = r * dr * dθ * dz Donde: dr es un pequeño cambio en el radio. dθ es un pequeño cambio en el ángulo polar. dz es un pequeño cambio en la altura. Límites de Integración: Para definir los límites de integración, es importante comprender la geometría del problema. Los límites para r, θ y z deben reflejar la región del espacio que estás considerando. Estos límites se establecen en función de las características de tu problema específico.

EJEMPLO

Llamamos a F (x, y) un campo vectorial conservativo si satisface cualquiera de las siguientes tres propiedades: Circulación cerrada: La integral de línea de ese campo vectorial alrededor de una trayectoria cerrada siempre da como resultado cero. Sea C una trayectoria cerrada que comienza en A y termina en A, y sea C la misma trayectoria recorrida en el sentido opuesto. Es decir, C y C pasan por los mismos puntos en el espacio, pero, cuando las parametrizas, las recorres en el sentido contrario.

Demostrar que un campo vectorial F es conservativo al encontrar una función potencial f. Para ello, se define f(x, y) como la integral de línea de F a lo largo de una trayectoria desde un punto fijo X hasta (x, y). La prueba se basa en la independencia de la trayectoria de F. Además, se demuestra que ∇f = F, y se utiliza un disco centrado en (x, y) contenido en el dominio D. La prueba involucra dos piezas de la trayectoria, C1 y C2, donde C1 es una trayectoria dentro de D de X a (a, y), y C2 es un segmento de línea horizontal de (a, y) a (x, y).

Independencia del camino: La integral de línea de un campo vectorial conservativo entre dos puntos en su dominio es independiente del camino específico que se tome entre esos dos puntos. En otras palabras, solo depende de los puntos de inicio y finalización.

Función potencial: Un campo vectorial conservativo está asociado con una función escalar llamada "función potencial" o "energía potencial". La gradiente de esta función potencial es igual al campo vectorial.

OPTIMIZACIÓN

Métodos de optimización

La optimización es una disciplina matemática que se ocupa de encontrar el valor máximo o mínimo de una función objetivo, sujeto a una serie de restricciones.

Métodos gráficos: Estos métodos se utilizan para resolver problemas de optimización sin restricciones. Métodos de análisis: Estos métodos se utilizan para resolver problemas de optimización con restricciones. Métodos numéricos: Estos métodos se utilizan para resolver problemas de optimización que no se pueden resolver mediante métodos analíticos.

Tipos de problemas de optimización

Problemas de optimización sin restricciones: En estos problemas, no hay restricciones sobre el valor de las variables.Problemas de optimización con restricciones: En estos problemas, hay una o más restricciones que limitan el valor de las variables.

Multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange, una herramienta fundamental en el cálculo multivariable, permiten encontrar óptimos en funciones sujetas a restricciones. La ecuación de Lagrange, L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y)), es la clave de este proceso, donde L es la función de Lagrange, f(x, y) es la función que se busca optimizar, λ es el multiplicador de Lagrange y g(x, y) son las restricciones. Al derivar L respecto a x, y y λ, igualar las derivadas a cero y resolver el sistema resultante, podemos hallar los puntos críticos que dan lugar a la solución óptima. La interpretación del valor de λ nos indica cómo las restricciones afectan la solución óptima, siendo positivo si la restricción es activa en dicha solución. Este método tiene aplicaciones en economía, física, ingeniería y muchas otras disciplinas, donde se resuelven problemas de optimización bajo restricciones.

Las integrales dobles con coordenadas polares se utilizan para calcular la integral de una función de dos variables sobre una región en el plano que tiene forma polar.

Las integrales triples están basadas en el mismo principio de las integrales dobles, solamente que aquí ya no se habla necesariamente de regiones R en un plano, sino que se hablan de particiones interiores de D. Ahora lo que se hace es calcular un volumen que se encuentra delimitado por una región tridimensional, cabe mencionar que el diferencial tampoco sigue siendo dA sino que cambiar por un diferencial de volumen (dV) que, en coordenadas cartesianas, se encuentra expresado como dx dy dz. Una forma sencilla de empezar a comprender una integral triple, es recordar un prisma rectangular. Esto porque se puede decir que el diferencial de volumen es un diferencial de área (dx dy), el cuál, se está multiplicando por un diferencial en el eje z (dz), por ejemplo, que nos terminará dando el volumen del prisma. Es como calcular el volumen de una caja, multiplicas el largo por el ancho (área) y, posteriormente, por la profundidad.

Un campo vectorial F en R2 es una asignación de un vector bidimensional F(x,y) a cada punto (x,y) de un subconjunto D de R2. El subconjunto D es el dominio del campo vectorial. Un campo vectorial F en R3 es una asignación de un vector tridimensional F(x,y,z) a cada punto (x,y,z) de un subconjunto D de R3. El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.

EJEMPLO

Hallar un vector asociado a un punto dadoSupongamos que F(x,y)=(2y2+x−4)i+cos(x)j es un campo vectorial en R2. Observe que se trata de un ejemplo de campo vectorial continuo, ya que las dos funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado al punto (0,–1)?

Un campo vectorial en R2 puede representarse de dos formas equivalentes.

Utilizar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

SOLUCION

F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩.

Sustituya los valores puntuales de x y de y: F(0,1) = (2(–1)2+0−4)i + cos(0)j = –2i+j.

La segunda forma es utilizar los vectores unitarios normales:

F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j.

En esta infografía, exploraremos conceptos esenciales para comprender y analizar estas funciones, desde funciones multivariables hasta planos tangentes. Acompáñanos en este viaje matemático para descubrir los secretos detrás de las funciones con más de una variable.

1. Stewart, J. (2015). "Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas." Cengage Learning.
2. Adams, R. A., & Essex, C. (2010). "Cálculo: Una variable." Pearson Educación.
3. Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012). "Cálculo: Un enfoque a problemas." Limusa.
4. Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2012). "Cálculo vectorial." Addison-Wesley Iberoamericana.
5. Kreyszig, E. (2018). "Matemáticas avanzadas para ingeniería." Cengage Learning.
6. Strang, G. (2022, 24 marzo). 6.2 Integrales de línea - Cálculo volumen 3 | OpenStax. https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/6-2-integrales-de-linea
7. Strang, G. (2022c, marzo 24). 6.3 Campos vectoriales conservativos - Cálculo volumen 3 | OpenStax. https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/6-3-campos-vectoriales-conservativos

Las integrales dobles en regiones generales se utilizan para calcular la integral de una función de dos variables sobre una región en el plano que no tiene forma rectangular.

Aplicaciones Las integrales dobles en regiones generales se utilizan para calcular una amplia gama de cantidades, como: Áreas de regiones: La integral doble de una función constante f(x, y) = 1 sobre una región D es igual al área de la región D. Volúmenes de sólidos: La integral doble de una función f(x, y) = z sobre una región D es igual al volumen del sólido que se forma al rotar la región D alrededor del eje z. Momentos de inercia: La integral doble de una función f(x, y) = x^2 o y^2 sobre una región D es igual al momento de inercia del sólido que se forma al rotar la región D alrededor del eje x o y, respectivamente.