PM2-Progresión 4-II

Relojes y criptografía

PROGRESIÓN 4 PARTE II

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

Las siguientes actividades prepararán el camino para que nuestros estudiantes comiencen a pensar en algunos aspectos interesantes de la criptografía. Pudiéramos iniciar estas sesiones platicando un poco sobre la experiencia de ellas y ellos con la seguridad informática.

Imaginemos un reloj convencional de 12 horas. Si la manecilla de dicho reloj está en el 3 y pasan 1576 horas, ¿en qué lugar quedará la manecilla del reloj?

Empecemos con una pregunta un poco más sencilla. Si en este momento son las 3 como se ve en la imagen, ¿qué hora sería después de 10 horas? Es fácil responder esta pregunta, todos lo hemos hecho alguna vez: la 1… observa que si partimos de las 3 de la tarde, será la 1 de la mañana, y que si partimos de las 3 de la mañana, será la 1 de la tarde. Pero para nuestros propósitos esto es irrelevante.

Después de 10 horas

Observa en el caso anterior que 3 + 10 = 13 que, incluso si pensamos en el formato horario de las 24 horas, corresponde a la 1 (aunque estaríamos pensando en la 1 de la tarde, y como hemos dicho esto ahora no nos interesa). Si empezamos a contar desde el 12 y vamos en el sentido de las manecillas del reloj, 13 horas después es darle una vuelta al reloj y una hora más.

Actividad. - Si la manecilla del reloj está en el 7, después de 20 horas ¿en qué lugar quedará la manecilla?

Actividad. - Si la manecilla del reloj está en el 3 y pasan 20 horas, ¿en qué lugar estará la manecilla del reloj? Podemos pensar que estamos en la hora 23 contada a partir de 12, observa que sería darle una vuelta entera al reloj y 11 horas más.

La pregunta anterior la podemos contestar como antes: como 20 + 7 = 27 debemos determinar en qué lugar estará la manecilla del reloj en la “hora 27” contando a partir del 12. Observa que tendríamos que dar en este caso 2 vueltas enteras y nos sobrarían 3 horas, por lo que estaríamos cayendo en la manecilla 3.

Actividad: ¿Puedes resolver la pregunta inicial?, es decir, si la manecilla de dicho reloj está en el 3 y pasan 1576 horas, ¿en qué lugar quedará la manecilla del reloj?

Ciertamente no tenemos contar a mano 3 horas + 1576 horas = 1579 horas a partir de las 12, pues sería muy tardado.

Pero seguramente, en este punto, podrás guiar a tus alumnos a pensar en cuántas vueltas enteras se le estaría dando al reloj si pensamos en contar 1579 horas a partir de las 12, las horas que restaran para completar las 1579 horas nos dará el lugar de las manecillas del reloj.

En primaria, puedes decirles, resolvíamos problemas más o menos de este estilo. ¿Qué operación aritmética utilizarías? La división: tenemos que dividir 1579 entre 12. Por lo que para saber en qué lugar del reloj convencional de 12 horas caería la manecilla si contamos 1579 horas a partir de las 12, tendríamos que darle 131 vueltas enteras al reloj y nos sobraría todavía movernos, a partir de las 12, 7 horas más. Esto es, la manecilla estará en las 7.

1579 = 131 ×12 + 7

Actividad (extra): Supongamos que comenzamos a las 3 de la mañana, ¿cómo le harías para determinar si después de 1576 horas serían las 7 de la mañana o la 7 de la tarde?

Una forma de hacerlo sería considerando un reloj de 24 horas y contar a partir del 24, 1579 horas… Otra forma sería considerar la paridad del cociente. Pero ahora que mencionamos relojes de 24 horas, ¿por qué no consideramos relojes con otro número de horas? A primera vista no sería muy útil en la realidad, pero tus estudiantes se sorprenderán al descubrir que estos “relojes” los utilizan los hackers. Pero antes continuemos un poco más con el reloj de 12 horas.

Tabla de suma del

reloj de 12 horas

Nada nos impide sumar horas que aparecen en el reloj utilizando estas ideas. Por ejemplo, si queremos sumar 7 + 6 en el reloj de 12 horas, nos da como resultado la hora 13, que, de acuerdo con nuestra discusión anterior corresponde a cuando la manecilla está en el número 1. Una bonita forma de verlo es: me coloco en la hora 7 y muevo la manecilla del reloj 6 horas, siguiendo el sentido convencional de las manecillas del reloj.

Así, tenemos fundamentalmente dos métodos: 1) Sumar las horas y luego dividir el resultado entre 12 y fijarnos en el residuo. O más intuitivamente, 2) Pararnos en el primer sumando y recorrer el número de horas del segundo sumando siguiendo el sentido convencional de las manecillas del reloj, donde caigamos es el resultado. Así, podemos decir que en el reloj de 12 horas, por ejemplo 7 + 6 = 1 A continuación te presentamos otras igualdades que son válidas para el reloj de 12 horas:

Actividad: Completa la siguiente tabla de suma.

12 + 7 = 7 12 + 9 = 9 11 + 4 = 3 6 + 6 = 12

Tabla del producto del

reloj de 12 horas

Actividad: Completa la siguiente tabla de producto.

Así como podemos sumar horas en el reloj de 12 horas, también podemos multiplicarlas. Recuerda que muchas veces pensamos en una multiplicación como una suma abreviada, es decir, si pensamos en 5x2= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Esto mismo podemos hacer en el reloj de 12 horas, haciendo uso de la tabla de sumar que ya construiste, por ejemplo 3x7 = 7 + 7 + 7 = 2 + 7 = 9.

Un reloj

Observa que si la manecilla de este nuevo reloj está en el 1, tal y como lo hacíamos antes, podemos preguntarnos por su ubicación después de pasadas 19 horas: estaríamos preguntándonos por la ubicación de la manecilla de este reloj después de pasadas 1 hora + 19 horas = 20 horas si comenzamos a contar desde que esté en la hora 6. Podemos hacer lo que antes: dividir 20 entre 6 y fijarnos en el residuo: Con lo que la manecilla estaría terminando en el 2. Igualmente, podríamos sumar y multiplicar las horas del reloj de 6 horas, así tendríamos por ejemplo que

de 6 horas

Fundamentalmente podemos considerar relojes de cualquier número natural n de horas, si n > 1. De hecho, los hackers hacen eso. Hagámoslo para el reloj de 6 horas.

20 = 6 ×3 + 2

6 + 5 = 5 5 + 5 = 4 5 + 3 = 8 6 x 2 = 6 6 x 3 = 6 5 x 2 = 4

• Cualquier cosa sumada con 6 es esa misma cosa. • Cualquier cosa multiplicada por 6 es igual a 6. • En la tabla de suma en cada columna aparecen todos los números del 1 al 6. • En la tabla de suma en cada renglón aparecen los números del 1 al 6. • Etc. Con esta actividad estaríamos trabajando un poco procesos de intuición y razonamiento, sobre todo la subcategoría Capacidad para observar e intuir. Aunque estamos claros que aquí es probable que las y los estudiantes necesiten un poco más de tu guía como docente.

Como estudio independiente podemos pedir a nuestros estudiantes que construyan las tablas de sumar y multiplicar del reloj de 6 horas, esta actividad favorece el desarrollo de la categoría procedural. Al día siguiente, pero esto es una actividad más complicada que nosotros como docentes deberíamos guiar con más cuidado y calma, es la siguiente: podríamos preguntar si observan algún patrón en las tablas. Algunos patrones interesantes son:

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