CALCULO VECTORIAL

calculo vectorial

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Representacion de vectores en 3D

Índice

CONCEEPTO DE VECTOR

VECTOR EN EL ESPACIO

CARACTERISTICAS DEL VECTOR(direccion,magnitud, y semtido)

VECTORES EQUIVALENTES

VECTORES OPUESTOS

VECTORES EQUIPOLENTES

VECTORES EN EL ESPACIO- RELACIÓN ENTRE LOS VECTORES Y SUS COORDENADAS

VECTORES PROPORCIONALES

Índice

PROBAR GRAFICAMENTE 𝜶𝒖⃗ = (𝜶𝒖𝟏, 𝜶𝒖𝟐)= 𝜶𝒖𝟏 𝒊̂+ 𝜶𝒖𝟐 𝒋̂

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS NORMAS DE 𝒖⃗ y 𝜶𝒖⃗⃗⃗⃗⃗ ?

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS DIRECCIONES DE 𝒖⃗ y 𝜶𝒖⃗⃗⃗⃗⃗ ?

COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES 𝒊̂,𝒋̂, 𝒌̂

COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA DE QUE DOS VECTORES SON ORTOGONALES

QUE CARACTERÍSTICA TIENEN DOS VECTORES ORTOGONALES

COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA DE QUE DOS VECTORES SON PARALELOS

QUE CARACTERÍSTICA TIENEN DOS VECTORES PARALELOS

Índice

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO

DEFINICIÓN ALGEBRAICA DE UN VECTOR EN 3D (REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA)

NORMA DE UN VECTOR (CÁLCULO)

DIRECCIÓN DE UN VECTOR (CÁLCULO)

VECTOR NULO

VECTOR UNITARIO

REGLA DE LA MANO DERECHA APLICADA A LOS VECTORES

OPERACIONES CON VECTORES

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS NORMAS DE LOS VECTORES 𝒖⃗ , 𝒗⃗ y 𝒖⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗𝒗⃗ ?

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS DIRECCIONES DE LOS VECTORES 𝒖⃗ , 𝒗⃗ y 𝒖⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗𝒗⃗ ?

Concepto de vector

Se le conoce como vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido.

CARACTERISTICAS

Los vectores tienen 3 caracteristicas principales las cuales son Magnitud, Direccion, y Sentido.

DIRECCION

MAGNITUD Y/O MODULO

DIRECCION

La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal.

a magnitud de un vector es el valor que indica el desplazamiento, fuerza, aceleración o velocidad de un vector. Visto desde un grafico, la magnitud de un vector es la longitud que hay entre las dos puntas del vector.

El sentido de un vector esta declardado por una flecha al final de la magnitud indicandonos hacia donde se dirige

EJEMPLO

Vector en el espacio

Para comenzar primero tenemos que saber que es un vector en el espacio: Un vector en el esspacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Asi como mostramos en el siguiente ejemplo:

vectores equipolentes

un vector equipolente, es cuando tiene el mismo módulo, dirección y sentido. Las condiciones de equipolencia, permiten clasificar las magnitudes vectoriales en tres clases o categorías.

vectores equivalentes

Dos vectores son equivalentes si en cada uno de ellos produce exactamente el mismo efecto en este aspecto Los vectores iguales no son necesariamente equivalentes

vectores opuestos

se dice que un vector es opuesto a otro cuando cuenta con su misma magnitud pero aparece a 180º,De tal modo, el vector no solo es opuesto al otro, sino que también es su negativo.

Vector Núlo

Es el vector de coordenadas (0,0). Son aquellos que tienen por módulo cero (0) y no se les puede asignar dirección ni sentido. El extremo y el origen de estos vectores yacen en un mismo punto.

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Vectores Proporcionales

Se dice que un vector es proporcional a otro cuando se ha conseguido a partir del vector inicial

VECTOR UNITARIO

Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de 1 unidad y se utiliza comúnmente en matemáticas y física para describir la dirección de un vector sin tener en cuenta su longitud.

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Datos relevantes

Dirección

Componentes

Magnitud constante

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Un vector unitario se utiliza para indicar la dirección de un vector más largo. No importa cuán largo o corto sea el vector al que se refie re, el vector unitario siempre apunta en la misma dirección.

La magnitud de un vector unitario siempre es igual a 1, lo que significa que su longitud es fija y no cambia.

Los vectores unitarios a menudo se expresan en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas específico.

OPERACIONES CON VECTORES

Las operaciones con vectores son manipulaciones matemáticas que se realizan sobre vectores, que son cantidades que tienen magnitud (longitud) y dirección en un espacio. Estas operaciones son fundamentales en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas.

Suma de Vectores

La suma de vectores es una operación que combina dos o más vectores para obtener un vector resultante llamado la suma vectorial. Se realiza sumando componente por componente en el mismo orden para cada vector. El resultado es un vector que representa la combinación de las magnitudes y direcciones de los vectores originales.

Resta de Vectores

La resta de vectores implica encontrar la diferencia entre dos vectores. Similar a la suma, se resta componente por componente. La resta de vectores puede utilizarse para calcular distancias, velocidades relativas, entre otros.

Producto Escalar

El producto escalar, también conocido como producto punto, es una operación entre dos vectores que produce un número real (escalar). Se realiza multiplicando componente por componente y luego sumando los productos resultantes. El resultado es un número que representa la proyección de un vector sobre otro y puede utilizarse para calcular ángulos, trabajo, potencia, etc.

Producto Vectorial

El producto vectorial, también conocido como producto cruz, es una operación entre dos vectores que produce un nuevo vector. El resultado es perpendicular al plano definido por los vectores originales y su magnitud está relacionada con el área de un paralelogramo formado por los vectores originales. El producto vectorial se utiliza en mecánica, electromagnetismo y otros campos para calcular momentos, fuerzas electromagnéticas, entre otros.

REGLA DE LA MANO DERECHA APLICADA A LOS VECTORES

La regla de la mano derecha es una regla utilizada en física y matemáticas para determinar la dirección de un vector resultante que se obtiene mediante una operación vectorial, como el producto cruz (producto vectorial). Esta regla es útil cuando se trabaja en un espacio tridimensional y se necesita encontrar la dirección del vector resultante de la operación.

Diseño de Motores Eléctricos

Diseño de Antenas

aplican la regla de la mano derecha para determinar la dirección de rotación del motor y la dirección de la corriente en los conductores.

se utiliza la regla de la mano derecha para determinar la polarización de una antena. Al sostener la antena de manera que los dedos índice, medio y pulgar estén en ángulos rectos entre sí, puedes determinar la dirección del campo electromagnético radiado por la antena.

Análisis de Campos Magnéticos en Dispositivos Electrónicos

Modelado 3D en Gráficos por Computadora

La regla de la mano derecha se usa para definir sistemas de coordenadas tridimensionales, como el sistema de coordenadas de la cámara y el sistema de coordenadas del mundo.

Se aplica al analizar campos magnéticos en dispositivos como transformadores, motores eléctricos y bobinas.

Diseño de Controladores de Juegos

La regla de la mano derecha es una regla utilizada en física y matemáticas para determinar la dirección de un vector resultante que se obtiene mediante una operación vectorial, como el producto cruz (producto vectorial). Esta regla es útil cuando se trabaja en un espacio tridimensional y se necesita encontrar la dirección del vector resultante de la operación.

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS NORMAS DE LOS VECTORES ?

La relación entre las normas (magnitudes) de los vectores está relacionada con el Teorema del Paralelogramo y se expresa mediante la Desigualdad Triangular. Estas propiedades son fundamentales en geom etría vectorial y se aplican a vectores en espacios euclidianos.

La Desigualdad Triangular establece lo siguiente: Para cualquier par de vectores en un espacio euclidiano, la magnitud de la suma de los vectores siempre es menor o igual a la suma de las magnitudes de los vectores originales. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

Esto significa que la magnitud del vector resultante no puede ser mayor que la suma de las magnitudes de los vectores .

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS DIRECCIONESDE LOS VECTORES ?

los tres vectores se encuentran en el mismo plano y siguen una secuencia. Esta secuencia de vectores u , v y + u + v se puede ilustrar con el concepto de suma de vectores.

Vector u : Este es un vector con una dirección y una magnitud específicas. Imagina que apuntas en una dirección particular.

Vector u :Puedes pensar en v como si estuviera ubicado en algún lugar cerca de u .

Vector u + v : Su dirección y magnitud dependen de cómo se relacionan u y v.La dirección de u + v será tal que forme un ángulo con u y v , siguiendo la regla del paralelogramo o la ley del coseno, dependiendo de si trabajamos en un espacio euclidiano o tridimensional.

PROBAR GRAFICAMENTE 𝜶𝒖⃗⃗ = (𝜶𝒖𝟏, 𝜶𝒖𝟐)= 𝜶𝒖𝟏 𝒊̂ + 𝜶𝒖𝟐 𝒋̂

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS NORMAS DE 𝒖 y 𝜶⃗𝒖⃗ ?

Matemáticamente, esto se expresa como:

Es que la magnitud del vector resultante α u es igual al producto del valor absoluto de α y la magnitud de u .

En esta ecuación:||α u||:Es la magnitud del vector resultante αu . ∣α∣: es el valor absoluto de α, que es un número real positivo. ||u||es la magnitud del vector original u .

¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE LAS DIRECCIONES DE 𝒖 y 𝜶⃗𝒖⃗ ?

La relación entre las direcciones de un vector u y su múltiplo por un escalar α u es que ambos vectores tienen la misma dirección en el espacio.

Si u es un vector no nulo, entonces el vector α u tiene la misma dirección que u para cualquier valor escalar real α ≠ 0.

En términos de la dirección, esto significa que si trazas ambos vectores en un espacio tridimensional, se extienden en la misma línea o la misma dirección, incluso si tienen longitudes diferentes.

QUE CARACTERÍSTICA TIENEN DOS VECTORES ORTOGONALES

Ángulo de 90 grados

Producto escalar nulo

Independencia lineal

La característica más importante es que el ángulo entre los dos vectores es de exactamente 90 grados, lo que indica que son perpendiculares entre sí.

Dos vectores ortogonales son linealmente independientes. Esto significa que no se pueden expresar como una combinación lineal no trivial de uno de los vectores utilizando el otro vector.

El producto escalar entre dos vectores ortogonales es igual a cero.

Ejemplo

COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA DE QUE DOS VECTORES SON ORTOGONALES

Comprobar si el ángulo entre los vectores es de 90 grados: verifica si el ángulo entre los vectores es de 90 grados. Si el ángulo es de 90 grados, los vectores son ortogonales. Esto es una verificación visual.

Comprobar si el producto escalar es cero: Si el producto escalar es igual a cero, entonces los vectores son ortogonales. El producto escalar de dos vectores u y v se calcula de la siguiente manera:

u * v= |u| *|v|* cos(θ)

QUE CARACTERÍSTICA TIENEN DOS VECTORES PARALELOS

Dirección Idéntica

Independencia Lineal

Los dos vectores tienen la misma dirección en el espacio. Esto significa que si trazas líneas desde el origen hacia los extremos de ambos vectores, estas líneas seguirán la misma dirección.

Aunque dos vectores paralelos pueden tener longitudes diferentes, siguen siendo linealmente dependientes, lo que significa que uno de los vectores puede expresarse como un múltiplo del otro.

Mismos O Sentidos Opuestos

Producto Cruz Nulo

El producto cruz entre dos vectores paralelos es igual a cero.

Dos vectores paralelos pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos

u = ( 3 , 0 ), que apunta en la dirección positiva del eje x. v= ( 0 , 4 ), que apunta en la dirección positiva del eje y. Estos dos vectores son ortogonales porque forman un ángulo de 90 grados entre sí, y su producto escalar es u ⋅ v = ( 3 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4 ) = 0 u ⋅ v =(3)(0)+(0)(4)=0.

u = (1,0,0), que apunta en la dirección positiva del eje x. v= (0,0,1), que apunta en la dirección positiva del eje y. Estos dos vectores son ortogonales porque forman un ángulo de 90 grados entre sí, y su producto escalar es u ⋅ v =(1)(0)+(0)(0)+(0)(1)=0.

COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA DE QUE DOS VECTORES SON PARALELOS

Verificar si los vectores tienen la misma dirección

Verificar si el ángulo entre los vectores es 0 grados

Usar reglas geométricas

si tienes dos segmentos de recta en un plano y ambos tienen la misma pendiente, entonces los vectores son paralelos.

Verificar si los vectores tienen la misma dirección Si las líneas son paralelas, los vectores son paralelos.

Calcula el ángulo entre los dos vectores utilizando la función inversa del coseno y comprueba si el resultado es 0 grados. Si el ángulo es 0 grados, los vectores son paralelos.

θ = cos-1(u*v/|u||v|)

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