U5R2: Ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales

Ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales

Unidad 5: Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

Contenido de la presentación​

Ecuaciones diferenciales parciales lineales

Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden​

Propiedades de la solución de las ecuaciones diferenciales parciales

Ecuaciones diferenciales parciales no lineales

Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales

Objetivos de aprendizaje:​

Examinar​​

Las ecuaciones en derivadas parciales para comprender su aplicación en la vida cotidiana.

Calcular​

Ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales

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Conforme a lo descrito por Jiménez (2015), una EDP se llama lineal si esta es lineal respecto a la función buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario se llama no lineal.

Ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales

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En este sentido, Jiménez (2015) describe que la EDP lineal de primer orden obedece a la siguiente forma:

Donde P, Q , R y T son funciones de clase C , mientras que P y Q no se anulan simultáneamente.

Ecuaciones diferenciales parciales no lineales

EDP no lineales

La EDP anterior no es lineal pues aparece y el producto. Entonces:

Ecuaciones diferenciales parciales no lineales

EDP no lineales

Carmona y Filio (2011), indican que las EDP no lineales no cumplen las propiedades anteriores establecidas en las EDP lineales. Por otra parte, según Jiménez (2015), la siguiente EDP es no lineal:

EDP de segundo orden

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EDP de segundo orden

Según Moreno, Rodríguez y Romero (2001), la EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes X e Y en el caso general se expresa de la siguiente manera:

EDP de segundo orden​

Propiedades de la solución de las EDP

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Debido al carácter de linealidad del operador L los siguientes teoremas son válidos y representan las propiedades de las soluciones de las EDP homogéneas:

Teorema #2

Teorema #3

Teorema #1

Clasificación de la solución de las EDP

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Clasificación de ecuaciones

Hiperbólica

Una EDP lineal de 2do orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes se puede clasificar en uno de los tres tipos.

Parabólica

Elíptica

Solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

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Solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

Díaz, González y Sierra (2006), señalan que la solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales suele conseguirse empleando el método de separación de variables; siempre que dicha ecuación y sus condiciones de contorno sean lineales y homogéneas.

Método de desarrollo en autofunciones​

Otros métodos de solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

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Métodos de solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

Muchos problemas del área de la física y de la ingeniería en los que aparecen parámetros asintóticos son, en buena proporción, modelados por medio de ecuaciones diferenciales que resultan, en muchos casos, de tal complejidad, que su solución amerita reducirlos a problemas más sencillos, utilizando algún método de aproximación a la solución exacta de los mismos.

Método de aproximación asintótica​

Sierra, Díaz & González (2006)

Otros métodos de solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

Esquemas numéricos para derivadas parciales

El método utilizado en la solución de las EDP es diferencias finitas, que consiste en sustituir en la ecuación diferencial a resolver los esquemas de derivación numérica necesarias. Resulta entonces necesario disponer de esquemas numéricos para derivadas parciales.

Otros métodos de solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales

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Esquemas numéricos para derivadas parciales

La obtención de las mismas puede hacerse por varios caminos; se logra a través del polinomio de​ Taylor para la función f(x,y) o bien, a partir de las ecuaciones de derivación numéricas para la función y= f(x) respetando todas sus condiciones. Sea cual sea el camino elegido, deben hacerse un par de consideraciones:

Consideraciones​

Las derivadas parciales son utilizadas cuando en el modelo del fenómeno se requiere analizar el comportamiento de dos (o más) variables independientes, lo que hace que la abstracción sea más completa pero su solución más compleja. Los métodos analíticos suelen ser limitados (como separación de variables), a diferencia de los procesos numéricos que permiten una mayor versatilidad en el diseño del modelo.

Conclusiones

Referencias bibliográficas

Carmona Jover, I. y Filio López, E. (5.a ed.). (2011). Ecuaciones diferenciales. Pearson Educación.​ ​Cortés, J., González, M., Pinilla, V., Salazar, M. y Tovar, V. (2019). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. ​Ibarra, J. (2013). Matemáticas 5. Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill/Interamericana Editores. Jiménez, E. (2015). Ecuaciones en derivadas parciales: Una Introducción a la teoría clásica. [Tesis de grado no publicada]. Universidad del Bío-Bío. ​ ​ García, A y Reich, D. (2014). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. Ebook.​ ​ Moreno, F., Romero, S. y Rodríguez, I. (2001). Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Huelva.