U4R2_Presentacion interactiva

La transformada inversa de Laplace, primer teorema de traslación, segundo teorema de traslación, convolución

Unidad 4: La transformada de Laplace​

Conoce el contenido de esta presentación interactiva:

Contenido de la presentación​

¿La transformada ​inversa de Laplace y sus propiedades

Primer y segundo teorema de traslación

Convolución​

Objetivos de aprendizaje:​

Aplicar la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones​ integro-diferenciales aplicadas a la ingeniería.​

La transformada inversa de Laplace, primer teorema de traslación, segundo teorema de traslación, convolución​

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La transformada inversa de Laplace se representa con el símbolo.

Cuya forma adopta la siguiente notación:

La transformada inversa de Laplace

Las propiedades de la transformada inversa de Laplace son: ​

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Linealidad

Traslación sobre S

Traslación sobre T

Derivada de la transformada

Transformada de una integral

Convolución

Las propiedades de la transformada inversa de Laplace son:

La transformada inversa de Laplace es un operador lineal, igual que la transformada misma.

Linealidad

Traslación sobre S

Traslación sobre T

Las propiedades de la transformada inversa de Laplace son:

La transformada inversa de Laplace es un operador lineal, igual que la transformada misma.

Derivada de la transformada

Transformada de una integral

Convolución

Primer teorema de traslación

Indica que el primer teorema de la traslación (conocido también como traslación sobre el eje S permitirá determinar la transformada de Laplace de funciones que están multiplicadas por una función exponencial sin evaluar ninguna integral.

Ibarra (2013)

Primer teorema de traslación (1er TT)

Demostración

Por definición,

De manera equivalente,

Luego,

Otra manera de escribir el primer teorema de traslación es:

Primer teorema de traslación

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El primer teorema de traslación se aplica cuando queremos determinar la transformada de f(t) Laplace de una función multiplicada por una función exponencial e at

s-a

Básicamente, se transforma solo la función f(t) y se “desplaza” el resultado a unidades a la derecha o a la izquierda; esto es, sustituimos la variable S por

Ejemplo

En la transformada obtenida para desplazarla a la derecha o sustituir por en la transformada obtenida para desplazarla a la izquierda. Al desplazar una transformada unidades hacia la derecha se escribe o . En cambio, un desplazamiento de una transformada unidades hacia la izquierda se escribe o bien

F(s)| s→s-a

F(s) | s-a

F(s)| s→s+a

F(s) | s+a

Segundo teorema de traslación

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Sugiere que antes de presentar el segundo teorema de traslación (conocido también como traslación sobre el eje T, conviene explorar la definición de la función escalón unitario: para a>0 se define la función de escalón unitario como la función escalonada.

Ibarra (2013)

Segundo teorema de traslación​​

Propiedades gráficas de la función escalón unitario

La función de escalón unitario toma el valor de cero para todos los valores de la variable independiente (t o n) antes del instante o punto cero, y toma el valor de uno a partir de ese punto en adelante. Donde su concepto, puede expresarse en la siguiente gráfica:

La función de escalón unitario. Fuente: Ibarra (2013).

Segundo teorema de traslación

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Para identificar las propiedades gráficas de la función escalón unitario se grafican las siguientes funciones:

Derivada de una transformada

La derivada de una transformada ofrece algunas propiedades interesantes para transformar una función, y es también una herramienta para determinar algunas transformadas inversas de Laplace.

Sabemos que para transformar una función de la forma o una función escalonada, los teoremas de traslación son muy eficientes (Ibarra, 2013).

eat f (t)

Existe una manera más eficiente de transformar una función de la forma que la aplicación directa de la definición. Observemos, a continuación, la primera derivada de una transformada.

tnf (t)

La primera derivada de una transformada

Ahora, derivemos ambos miembros de la ecuación respecto de S :

Y como la integral es respecto a la variable t, escribimos:

De donde:

La primera derivada de una transformada

Revisemos unos ejemplos para demostrar la derivada de una transformada:

Ejemplo 1

Solución: identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de manera que, por el teorema anterior:

Aplica la transformada de la función evalúa

L{teat}

f(t) = teat

Ejemplo 2

Solución: identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de forma, aplicando el teorema anterior, tenemos la siguiente forma:

Efectúa la transformada de la función evalúa

f(t) = t cos bt

L{t cos bt}

Transformada de una derivada

Basados en Ibarra (2013), la transformada de Laplace es una herramienta muy útil para resolver problemas de valor inicial que involucran una ecuación diferencial con coeficientes constantes, dado que es posible transformar un problema de este tipo en un problema algebraico mucho más sencillo de resolver y la solución algebraica está directamente relacionada con la solución del problema original a través de la transformada inversa de Laplace.

Aprenderemos a transformar las primeras derivadas de una función para utilizar el resultado en la solución de problemas de valor inicial y, además, resolveremos ecuaciones integrales y ecuaciones integro-diferenciales.

Transformada de una derivada

Si F(t) es continua y de orden exponencial K en el intervalo es continua por partes en el intervalo y, además Cuya demostración, evaluando por definición la transformada se Laplace de es:

[o,∞), si f´(t)

[o,∞)

L{f(t)} = F(s), entonces: L{f´(t)} = sF(s)-f(0)

f´(t)

Transformada de una derivada

Convolución

La convolución de dos funciones es un concepto abstracto del análisis funcional y de la teoría de funciones útil en el estudio de algunas ramas de la física y las matemáticas, como estadística, teoría de la probabilidad, óptica, acústica y electrónica, entre otras.

La convolución es un operador matemático que asocia dos funciones f y g dadas una tercera función relacionada con la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.

Propiedades operativas de la convolución bajo la transformada de Laplace

La convolución de dos funciones en el dominio del tiempo se convierte en una simple multiplicación en el dominio de la transformada de Laplace.

Convolución de dos funciones

La convolución es conmutativa

Convolución de dos funciones

Considerando que la integral existe

f * g

Una vez descrita la ecuación de la convolución, veamos unos ejemplos relacionados a la convolución de dos funciones:

Esta propiedad es de gran utilidad en el análisis de sistemas lineales y la resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.

La convolución es conmutativa

F * G

Sean f(t) y g(t) dos funciones continuas por partes en el intervalo [ 0, ∞). Por definición, la convolucion está dada por:

F * G

Proponemos el cambio de variables T= t- u de manera que u = T y dt = - du. Además, si U= 0, entonces T= t; y si u = t entonces T= 0. De manera que:

F * G

Si procedemos a cambiar el orden de la integración, entonces:

De donde interpretamos: F * G = G * F es decir, la convolución es conmutativa Esta propiedad es fundamental en el análisis de sistemas lineales y en el procesamiento de señales.

La transformada de Laplace

Dada su naturaleza, la transformada de Laplace es una integral; por esta razón, la transformada hereda de manera directa muchas de las propiedades operativas, como la linealidad. Guardando un símil afín, las propiedades que no tienen la integral tampoco tienen la transformada. De manera precisa, así como no existe una fórmula para integrar de manera directa un producto de dos funciones como tal, tampoco existe una forma de transformar bajo Laplace un producto de funciones.

Finalmente, en este recorrido pudimos comprobar que la transformada de Laplace es una herramienta de gran utilidad para resolver problemas de valor inicial. De la misma forma en que reduce un problema de valor inicial a un problema de tipo algebraico, para el caso de un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, es posible obtener un sistema algebraico de ecuaciones cuya solución está relacionada directamente con la solución del sistema original mediante la transformada inversa de Laplace

Conclusiones

Referencias bibliográficas

Ҫengel, Y. y Palm III, W. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias. McGraw-Hill/Interamericana Editores. García, A. y Reich, D. (2014). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. Ibarra, J. (2013). Matemáticas 5. Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill/Interamericana Editores.