Principios de Modelación parte 4

PRINCIPIOS DE MODELACIÓN MATEMÁTICA

M.I. Jiménez Ordóñez Dunia del Carmen Tecnológico de Monterrey Campus Querétaro Preparatoria

iGUALDAD, dESIGUALDAD E INTERVALOS

Comparaciones

iGUALDAD, dESIGUALDAD E INTERVALOS

Anota en la celda el símbolo correcto para que la expresión sea verdadera

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iGUALDAD, dESIGUALDAD E INTERVALOS

Enunciados que describen igualdad y desigualdad

Y se encuentra entre -12 a 28 X es neutro Y es negativo El cociente de x, y menos 10 es menor o identico a 3

trabajo de clase

Expresa los siguientes enunciados como igualdad o desigualdad utilizando los símbolos >, <, ≤, ≥, ≠, =

• El cociente de x, y es 22
• X no es negativo
• Z no es 12
• X no es menor que el doble de y
• Z no es mayor o idéntico que -31
• El negativo de z es 9

• El valor de y es más pequeño o exactamente 7

intervalo

Espacio en la recta numérica comprendido entre dos valores determinados

intervalos finitos

Intervalo abierto:

Intervalo cerrado:

INTERVALOS INFINITOS

Semiabierto por la derecha:

Semiabierto por la izquierda:

ejemplos

trabajo de clase

Función y relación

Una función es una regla de asociación entre dos conjuntos que relaciona a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Tipo de paleta Precio

8 16 24 32

fresa vainilla pistache nuez

Figuras No. de lados

2 3 4 5

A B

1 2 3

A B C D

C D

1 2 3 4 5

X Y Z W

F K

1 2 3

0 1 2 3

H J

R H J

1 2 3 4

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

Ecuación Lineal

ecuaciones

Expresiones algebráicas

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas

Conjunto de números y símbolos unidos mediante operaciones algebraicas

ecuación lineal

Propiedades de las ecuaciones

Una igualdad se mantiene cuando: 1: Se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad 2: Se multiplica o divide por un mismo número, diferente de cero, a ambos lados de la igualdad 3: Se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad 4: Se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad

ejemplo 1

Resolver para x las siguientes ecuaciones

ejemplo 2

Realiza los despejes que se te indican

Evaluación de Funciones

evaluar una función

Sustituir los valores conocidos de las incógnitas y realizar las operacionesNo olvides la jerarquía de operaciones

trabajo de clase

FUNCIÓN LINEAL

Es una función directamente proporcional, es decir, si la variable independiente incrementa la variable dependiente aumenta también

FUNCIÓN lineal

Por ello se conoce como función lineal Donde: -m es la pendiente -b es la desviación lineal con respecto al origen

Graficar una función lineal

Se necesitan al menos dos puntos 1) Ordenada al origen 2) Punto de la pendiente 3) Abscisa al origen

graficar una función lineal

De Gráfica a Función

Forma pendiente ordenada al origen

La función de la recta se encuentra siguiendo el proceso para graficar pero a la inversa

ejemplos

forma punto pendiente

Grficar una recta dado un punto y la pendiente

trabajo de clase

Graficar y escribir la ecuación de la recta en forma pendiente-ordenada al origen y en forma punto pendiente dados los siguientes datos:

Forma general de una función lineal

La forma General de la recta (Función lineal) es de la forma: Se obtiene mediante la forma Punto-pendiente

Forma Simétrica de una Función Lineal

ó forma canónica

Localiza las intersecciones con ambos ejes, por lo que es la más sencilla de graficar

ejemplo

Encontrar la forma simétrica delas siguientes funciones lineales:

trabajo de clase

Escribir la ecuación de la recta en forma general y forma simétrica que pasa por los puntos:

sistemas de ecuaciones lineales

sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

• También conocido como sistema lineal
• Es la asociación de dos o más ecuaciones lineales que presentan las mismas incógnitas
• Cada ecuación también se llama condición o restricción

Métodos de resolución para sistemas lineales

Métodos de resolución para sistemas lineales

Métodos de resolución para sistemas lineales

Método Gráfico

• Se deben graficar ambas líneas
• El punto donde se interceptan señala la solución, solo hay que interpretar las coordenadas

Métodos de soluciones para sistemas lineales de 2x2

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

PARALELAS

PERPENDICULARES

OBLICUAS

ejemplo 1

Verifica si las siguientes rectas con paralelas, perpendiculares u oblicuas:

ejemplo 2

Hallar la recta paralela a la recta y= 2x -3 que pase por el punto (-3, 1)

trabajo de clase

1) Encontrar una recta que pase por el punto P(5, -9), y que es perpendicular a la recta 4x -8y +9=02) Hallar una recta que pase por el punto (-3, 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, -5) y (4, 5)3) Verifica si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares u oblicuas:a) b)

Función Cuadrática

Características de la función cuadrática

Características de la función cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

función CUADRÁTICA

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ejemplo 1

Explica el comportamiento de las siguientes funciones y traza sus gráficas

ejemplo 2

Explica el comportamiento de la siguiente función y traza su gráfica

ejemplo 1 Metodo de factorización

Analiza la siguiente función y traza su gráfica

FORMA ESTÁNDAR O NORMAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

FORMA ESTÁNDAR O NORMAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

PASAR DE LA FORMA ESTÁNDAR A LA FORMA GENERAL

ejemplo 2

Dadas las siguientes funciones obtener:a) Su forma estándar b) la ecuación del eje de simetría c) Máximo o mínimo d) Concavidad

trabajo de clase

Dadas las siguientes funciones obtener:a) Su forma estándarb) La ecuación del eje de simetríac) Máximo o mínimo en yd) Concavidad

Momento de repasar

Momento de repasar

Momento de repasar

Momento de repasar

Momento de repasar

Momento de repasar

Pasar de forma Estándar a General

Pasos:

1. Ubicar el binomio cuadrado en la forma estándar2. Desarrollar el trinomio cuadrado perfecto 3. Multiplicar el trinomio por "a" en cada uno de sus términos (por ley distributiva) 4. Sumar Términos semejantes

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática obtener:a) Su forma General b) La concavidad c) Hacia dónde se desplaza la gráfica d) La intersección con el eje y

tRANSFORMACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

TRASLACIÓN DE UNA PARÁBOLA

TRASLACIÓN DE UNA PARÁBOLA

ejemplo 3

A partir de la parábola f(x) = x2 +2 determina que parábola es la representación de f(x) = (x-6)2 + 2

contracción y alargamiento de una parábola

Contracción y Alargamiento

Horizontal

Vertical

Involucra a toda la función dado que f(x) es y

Involucra únicamente los valores de x en la función

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática : a) Dilatar (alargar) verticalmente al doble b) Contraer verticalmente a la mitad c) Dilatar (alargar) horizontalmente al triple d) Contraer horizontalmente al triple

Reflexión de la función cuadrática

Horizontal

Vertical

Involucra a toda la función dado que f(x) es y

Involucra únicamente los valores de x en la función

La gráfica se reflejará en el eje y

La gráfica se reflejará en el eje x

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática : a) Obtener su reflexión vertical b) Obtener su reflexión horizontal

ejemplo 3

Dada la siguiente gráfica :a) Obtener su reflexión vertical b) Obtener su reflexión horizontal

Obtener función a partir de gráfico

Con un Vértice Exacto (h,k)

Usamos la forma estándar sustituyendo el vértice y un punto para obtener a

Obtener función a partir de gráfico

Con un Vértice Inexacto

Usamos la Forma General y dos puntos para tener un sistema de ecuaciones para obtener A y B

Función polinomial de grado 3 al 5

Características:

• Los coeficientes deben ser enteros
• Las variables deben tener exponentes enteros y positivos
• No pueden haber variables en el denominador

ejemplo 1

Gráfico de una función polinomial

Ceros de las Funciones Polinomiales

Los Ceros o intersecciones con el eje x, de una función polinomial f(x) son los números reales de x, para los que f(x)=0

ejemplo 1

Obtener los ceros de la siguiente función polinomial

trabajo de clase

Hallar las raíces de las siguientes funciones polinomiales:

Ceros de la función polinomial

Determina cuales de los siguientes binomios: (x+1), (x+2), (x-1), (x-2) son factores del siguiente polinomio

Ceros de la función polinomial

Hallar todos los ceros reales de la siguiente función:

Forma factorizada

1) Hallar la función polinomial f(x) de grado 5 que tiene los siguientes ceros: 0 (multiplicidad 2) , 8, -9 y 7 2) Hallar la función polinomial f(x) de grado 7 que tiene los siguientes ceros: 9 (multiplicidad 2), -13 (multiplicidad 3), 5, -8 y un coeficiente principal 4

Forma factorizada

3) Escribir la función polinomial de grado 7 que tenga como ceros: -1 (multiplicidad 2), 0 (multiplicidad 3), 2 y 5; y que pasa por el punto (1, 32)

Multiplicidad en los ceros de la función polinomial

Comportamiento de los extremos de una gráfica de función polinomial

Depende del grado de la función y el coeficiente principal

Comportamiento de los extremos de una gráfica de función polinomial

Inferir la gráfica de una función polinomial

Ejemplo: Coeficiente principal: Grado: Extremos: Ceros o intersecciones:

Inferir la gráfica de una función polinomial

Graficar una Función Polinomial

Ubicar los ceros y evaluar puntos cercanos, incluyendo el corte en el eje y

Propiedades de una función dada su gráfica

El grado de una función es mayor o igual al número total de mínimos y máximos relativos

RangoDominio Intervalos Crecientes Intervalos Decrecientes Mínimos Relativos Máximos Relativos

Propiedades de una función dada su gráfica

RangoDominio Posible Grado de la Función Intervalos Crecientes Intervalos Decrecientes Mínimos Relativos Máximos Relativos

Ceros Racionales de una Función Polinomial

TRABAJO DE CLASE

1. Hallar todos los posibles ceros racionales2. Hallar los ceros reales, sabiendo que existe al menos un cero racional:

Modelado de Funciones Lineales

Pasos:

1. Ubicar la variable dependiente e independiente2. Encontrar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 3. Armar la función preferentemente de la forma: y= mx+b

Carlos gana $128.50 pesos de comisión por auto vendido.a) Calcula la función que representa su dinero obtenido mediante comisiones b) Identifica la variable dependiente e independiente c) Si le pagaron $1927.5, ¿Cuántos autos vendió?

Modelado de Funciones Lineales

Pasos:

1. Ubicar la variable dependiente e independiente2. Encontrar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 3. Armar la función preferentemente de la forma: y= mx+b

Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 euros por revisión, y 20 euros adicionales por cada hora que necesite para terminar la reparación. a) Escribe la ecuación que describe la relación entre su salario y el tiempo b) ¿Cuánto se pagaría si la reparación dura 3 horas? c) Si cobró 71 euros, ¿Cuánto tiempo duró la reparación?

MODELADO DE FUNCIONES LINEALES

Para modelar una función lineal mediante un conjunto de datos se utiliza la Regresión Lineal

MODELADO DE FUNCIONES polinomiales

Para modelar una función polinomial debemos ajustar el grado correspondiente para la forma del gráfico

¡sigue estudiando!

Conjunto Vacío

Ejemplo Reflexión Vertical

Resolución de ecuaciones

Ejemplo Reflexión Horizontal

IGUALDAD Y DESIGUALDAD

¿Cuál es una función polinomial?

Ejemplo Contracción y alargamiento Horizontal

Rocío sale en bicicleta desde la plaza hacia un parque cercano a una velocidad de 3 m/s. Sabiendo que la plaza está a 6 m de su casa: a) Hallar la función que define su comportamiento b) ¿A qué distancia estará al cabo de 10 s?

Reflexión

Horizontal

Vertical

Ejemplo Contracción y alargamiento Vertical

Ejemplos

Cantidad de productos y precio a pagar Tiempo recorrido y distancia recorrida

Hallar todos los ceros reales de la siguiente función, sabiendo que existe al menos un cero racional

Contracción y alargamiento

Horizontal

Vertical