PM2 Progresión 2

La búsqueda de la expresión adecuada

PROGRESIÓN 2

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

2:

Progresión

Anotaciones didácticas:

Para dar más sentido a la introducción del lenguaje algebraico, fundamental para lograr un pensamiento algebraico, se sugiere mostrar que el quehacer algebraico consiste muchas veces en la búsqueda de la expresión adecuada al problema: Si un mecánico solicita una llave de ½ y su ayudante le pasa dos llaves de ¼, a pesar de que ¼ + ¼ = ½ no podemos decir que el ayudante cumpliera satisfactoriamente la consigna; de igual manera, si le pedimos a un estudiante que nos diga cuánto es la suma de los números tres y dos y él nos responde 3 + 2 o √25, aunque no teníamos en mente dicha respuesta el o la estudiante estaría respondiendo algo cierto: lo que debimos solicitarle fue la expresión simplificada de la suma de los números tres y dos.

Revisa algunos elementos de la sintaxis del lenguaje algebraico considerando que en el álgebra buscamos la expresión adecuada al problema que se pretende resolver (utilizamos la expresión simplificada, la expresión desarrollada de un número, la expresión factorizada, productos notables, según nos convenga). C1M1: Ejecuta cálculos y algoritmos para resolver problemas matemáticos, de las ciencias y de su entorno. C4M2: Socializa con sus pares sus conjeturas, descubrimientos o procesos en la solución de un problema tanto teórico como de su entorno.

Subcategorías de la categoría procedural

S1: Elementos aritmético-algebráicos

Esta progresión nos sirve para identificar algunos elementos fundamentales de la sintaxis algebraica, los cuáles serán aplicados fuertemente en problemas de palabra en la siguiente progresión. No olvides que el desarrollo de esta destreza con nuestros estudiantes se dará a lo largo de todas las progresiones, por lo que es importante tener en mente que con esta progresión no desahogaremos completamente el tema. Este es un recurso breve, pues solo pretendemos dar un par de ejemplos que nos indicarán algunos aspectos a los cuales debemos prestar atención. La parte más importante de este recurso consistirá en tu reflexión a partir de tu práctica docente. Te solicitaremos que nos compartas un breve escrito con algunos de los que tú consideras son los errores más comunes a la hora de que tus estudiantes hacen manipulaciones tanto aritméticas como algebraicas y qué haces tú para tratar de retroalimentarlos. Posteriormente, en un foro, te pediremos que compartas tus experiencias con tus colegas.

Empecemos con un problema para calentar. Vamos a suponer que estamos en una escuela veracruzana en la que existe una escalera de, digamos, unos dos metros y medio de altura que las y los estudiantes suben todos los días para tomar algunas clases en el primer piso de su escuela.

¿Has subido alguna vez el Pico de Orizaba?

El Pico de Orizaba, también conocido como Citlaltépetl, es la montaña más alta de México, mide 5,636 metros sobre el nivel del mar y protege ambientes de alta montaña con gran diversidad de flora y fauna. Fue decretada como área natural protegida el 4 de enero de 1937.

¿Sabes tú qué es un área natural protegida?

¿Qué más sabes acerca del Pico de Orizaba?

¿En tu comunidad existe alguna montaña o volcán cercano?

La información anterior ha sido recuperada de:

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Es probable que tus estudiantes no hayan subido jamás el Pico de Orizaba, sin embargo, se sorprenderían de saber que después de tanto ir a la escuela, a lo largo de todo ese tiempo, lo podrían haber hecho. Vamos a suponer que en promedio las y los estudiantes suben la escalera de su escuela unas 10 veces al día (resulta que el baño está en la planta baja, que en el receso y cuando abordan recursos socioemocionales bajan a hacer deporte a la cancha, que algunas clases las toman en la planta baja, etc.).

Si subimos alrededor de 10 veces al día la escalera estaremos teniendo un acumulado de 2.5 m ×10 = 25 m diarios. Ahora, no vamos todos los días de la semana a la escuela, sino solamente 5 días a la semana y cada semestre vamos en promedio 16 semanas a la escuela. Es decir, nuestros semestres son de aproximandamente 5 ×16 días.

¿Después de cuánto tiempo de subir esa escalera habrían acumulado un ascenso de al menos la altura del Pico de Orizaba?

La pregunta se responde fácilmente, veamos.

Vamos a hacer unas cuentas mentalmente aprovechando algunas propiedades de los números enteros que después de tanto tiempo en la escuela algunas de ellas resultarán familiares. Nótese que estas propiedades, si hiciéramos un desarrollo deductivo, bien podrían ser consideradas axiomas: la propiedad distributiva, la propiedad asociativa, la conmutatividad, etc. Pero no pretendemos hacer aquí un desarrollo axiomático, la mejor forma de aprender estas propiedades no es recitándolas, sino empleándolas, es más significativo. Por lo demás, bien podríamos, si partiéramos desde los axiomas de conjuntos, demostrar estas propiedades, cosa que tampoco nos interesa hacer por el momento.

Es decir, pasamos en la escuela durante un semestre, aproximadamente 80 días de nuestras vidas. Durante cada uno de estos días subiremos un acumulado de 25 m, por lo que en un semestre habremos acumulado una altura de

80×25=10×(8×(20+5)) =10×(160+40) = 10 ×200 = 2000

Es decir durante un semestre habremos, de tanto subir dicha escalera, acumulado una altura de aproximadamente 2000 metros. De las cuentas anteriores, observa cómo, para una manipulación más fácil, expresamos a 25 como 20 + 5 y empleamos tanto la asociatividad del producto como la distributividad. Por lo que en tres semestres se habrán subido un acumulado de 6000 metros, es decir que en poco menos de 3 semestres, de tanto subir aquella escalera un estudiante habría podido subir una vez el Pico de Orizaba (claro que no es así de fácil, hay que considerar el esfuerzo por el cambio de altura, etc.)

Observa que

5×16=5×(10+6)=5×10+5×6 = 50 + 30 = 80

(esto es una aplicación de la propiedad distributiva).

En el ejemplo anterior, para realizar cálculos mentales que queremos favorecer en nuestros estudiantes empleamos atajos sustentados en algunas identidades. Observa cómo las propiedades que utilizamos valen para todos los números enteros (de hecho para todos los números reales). Si denotamos por a,b,c a tres números enteros cualesquiera tenemos que

Y está muy bien, pero se sorprenden cuando les decimos que, por ejemplo, para calcular 232 pueden emplear dicha identidad… exclaman: ¡¿Cómo también funciona para números y no solo para letras?!

Observa que

232=(20+3)2=202+2*20*3+32=400+120+9=529

a(b+c)=ab+ac

En el ejemplo anterior, la expresión de 23 que nos sirvió para hacer las cuentas fue la de 23 = 20 + 3 Pensamos ahora en que queremos elevar 992. Podríamos hacer 992=(90+9)2 y está muy bien. Pero puede ser más fácil si pensamos en 99 como 99 = 100 – 1, pues

Esta es la propiedad distributiva, una de las propiedades que ocupamos más arriba. Una expresión como la de arriba, en la que aparece el signo de igual (“=”) que es verdadera sin importar los números involucrados es llamada una identidad. Hay que tener claridad para poder distinguirlas de las ecuaciones.

992=(100-1)2=1002-2*100*1+(-1)2 = 10,000 - 200 +1 =9,801

Descarga el siguiente PDF para leer al respecto.

Observa cómo en la manipulación algebraica lo que nos va guiando es la búsqueda de la expresión adecuada para resolver el problema o el ejercicio.

Muchas veces enseñamos cosas como elevar un binomio al cuadrado, los estudiantes memorizan la identidad

(a+b)2=a2+2ab+b2

No podemos negar que hay una serie de errores comunes en estas manipulaciones aritméticas y algebraicas, los siguientes problemas tienen como objetivo identificar algunas de ellas. Continúa en la siguiente actividad.

Continua con el siguiente recurso