INFO TEMA 5 Introduccion a los determinantes.

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Introduccion a los determinantes

Funcion determinante

La determinante es una funcion escalar que permite la extraccion al trabajar en matrices cuadradas, ya que facilita el proceso para encontrar la solicion. Una manera de abreviacion es: Det. Para referirse a determinante.

Por nombrar un ejemplo: se tiene un sistema de ecuaciones lineales con dos variables ó incógnitas x y y, con coeficientes c1, c2 y constantes a1, a2, b1 y b2, lo cual se representa:

Para obtener el valor de las variables x y y se debe utilizar el metodo de sustitucion, el cual consiste en despejar de la ecuacion, el valor de la variable y despues realizamos la sustitucion en la ecuacion, quedando de la siguiente manera:

Al despejar las dos funciones se obtiene que presentan el mismo denominador.

Es denominador, representa el resultado del determinante del sistema, quedando de esta manera:

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Funcion determinante

El coeficiente del sistema de ecuaciones se pueden representar como matriz A:

El resultado del determinante del sistema de ecuaciones se representa de la siguiente manera:

En este ejemplo se demuestra que el denominador es igual al determinante del sistema de ecuaciones. Esta formula se utiliza para resolver determinantes que contegan dos ecuaciones con dos incognitas o variables.La siguiente formula permite determinar el calculo de una matriz de tres ecuaciones con tres incognitas:

En esta formula se toman los coeficientes de la fila 1 y cada uno de ellos se multiplicara por el determiante que se obtiene al tapar la fila y columna correspondiente, por lo que:

Cuando se pretende calcular el determinante de orden 3x3, este lo separa de tal manera que el coeficiente que se encuenta en la fila 1, se convierte en negativo y al separar se tendra que calcular el resultado de los tres determinates de orden 2x2.

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propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes hacen referencia a las reglas de operaciones de estos, ya que destacan las particularidades que presentan los procediemeintos.

Para el calculo de los determinantes es importante analizar las operaciones que se realizan por fila. Por esta razon es sustancial reconocer las propiedades de los determinantes, a continuacion se presentan seis : 1- Si por dos filas o columnas de una matriz A son iguales entonces, el det.(A)=0. Por ejemplo:

2- Si una fila o columna es multiplo de otra entonces el det.(A)=0. Por ejemplo:

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propiedades de los determinantes

3- Si en la matriz A se intercambian las filas o columnas, entonces, por cada intercambio el determinante se multiplica por un signo negativo:Por ejemplo:

4- Si la matriz tiene una fila o columna donde todos sus coeficientes son iguales a cero, entonces, el determinante es igual a 0:Por ejemplo:

5- En dos matrices con el mismo orden, el det. del producto de estas matrices sera igual al producto de sus determinantes, es decir, se cumple con la propiedad:Por ejemplo:

Mientras que det(A)det(B) se presenta como:

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propiedades de los determinantes

6- En dos matrices con el mismo orden el determinante de la suma de estas matrices no es igual a la suma de sus determinantes, es decir:

Tomando en cuenta las matrices A y B de la propiedad anterior se tiene que:

Por lo tanto, se ha mostrado que se cumple la propiedad de:

El análisis de estas propiedades son de gran importancia debido a que antes de calcular el determinante de una matriz, si ésta contiene una fila o columna que sea múltiplo o que tenga coeficientes 0, el valor resultado del determinante será igual a 0 y no será necesario realizar operaciones.

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aplicaciones de los determinantes

El beneficio principal de los determinantes se pueden resolver diversas situaciones. Una de ellas es el calculo del area de un triangulo.

Para calcular el atea del triangulo, swe debe implementar la siguiente metodologia:1- Identificacion de los valores de las coordenadas 2- Sustituir en la funcioncion determinante. 3- Definir la matriz, como se indica en la imagen n° 4 4- Se calcula el valor det. 3x3, segregandolo de manera que el coeficiente que se ubbica en la fila 1 se convierta a negativo.

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aplicaciones de los determinantes

5- Al momento de separarse se calcula el resultado de los determinantes en orden 2x2

6- Al realizar las operaciones, se obtiene que el resultado del determinante (A) es igual a 9.

7- Para obtener el area del triandulo, se tiene que divirdir el determinate (A) entre 2. Dando como resultado: 4.5