SUPERFICIE DEI SOLIDI

LA SUPERFICIE DEI SOLIDI

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Che cos'è una figura solida? Quante dimensioni ha?

Una figura solida è una figura che ha tre dimensioni (lunghezza, larghezza e altezza).

Quale di queste figure è tridimensionale? Quale è bidimensionale?

Le figure bidimensionali (o a due dimensioni) sono le figure che sono contenute in un piano (es. quadrato, cerchio, trapezio, ecc.). Le figure tridimensionali non possono essere contenute in un piano e richiedono quindi tre dimensioni per essere rappresentate (es. cubo, sfera, piramide, ecc.).

Esistono tantissimi tipi di solidi diversi! Per comodità possiamo classificarli utilizzando diversi criteri.

Come sono stati classificati questi solidi?

Classificazioni geometriche

Classificazioni geometriche

Classificazioni geometriche

Un'altra classificazione divide i solidi in poliedri (in cui le facce sono tutte dei poligoni) e solidi di rotazione (solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno a un asse di rotazione).

SOLIDI A DUE BASI

I solidi a due basi hanno due basi e una superficie laterale.

Le due basi sono parallele e congruenti tra loro. Se la superficie laterale è perpendicolare alle basi allora il solido è retto, altrimenti è obliquo.

Quali sono retti? Quali obliqui?

I prismi

I prismi sono solidi a due basi che hanno per basi due poligoni.

I prismi

I prismi possono avere diversi poligoni come basi.

I prismi

La superficie laterale dei prismi è formata da parallelogrammi, chiamate facce laterali.

I lati di questi poligoni si chiamano spigoli. (Attento a non confondere il significato di spigolo nel linguaggio di tutti i giorni con quello geometrico)

I prismi

L'altezza di un prisma è la distanza tra le due basi del prisma.

I prismi

Nei prismi obliqui sono parallelogrammi ma non rettangoli.

Nei prismi retti la superficie laterale è formata da rettangoli.

I prismi

Un prisma è regolare se è retto e il poligono di base è un poligono regolare.

prisma regolare a base quadrata (cubo)

I prismi

Il parallelepipedo rettangolo è un prisma in cui tutte le facce del solido (basi e facce laterali) sono rettangoli.

I prismi

Il cubo è un prisma in cui tutte le facce del solido (basi e facce laterali) sono quadrati. Tutti gli spigoli hanno quindi la stessa lunghezza.

Il cilindro

Il cilindro è un solido a due basi che ha per basi dei cerchi. L'altezza di un cilindro è la distanza tra le basi.

Dato che la circonferenza può essere pensata come un poligono avente infiniti lati, anche il cilindro può essere pensato come caso limite di prisma (aiuterà nelle formule di superficie e volume).

SOLIDI A PUNTA

I solidi a punta hanno una sola base e una superficie laterale.

vertice

La punta è chiamata vertice.

Le piramidi

Le piramidi sono solidi a punta che hanno per base un poligono.

La superficie laterale è formata da triangoli, chiamate facce laterali della piramide. L'altezza dei triangoli delle facce laterali è chiamata apotema (molto importante).

Le piramidi

Possono avere per base un qualsiasi poligono.

Le piramidi

Le piramidi regolari hanno per base un poligono regolare.

L'altezza di queste piramidi cade esattamente al centro della circonferenza inscritta nella base.

Le facce laterali della piramide regolare sono triangoli isosceli congruenti tra loro.

I coni

I coni sono solidi a punta che hanno per base un cerchio.

Un cono è retto se il vertice cade nel centro della circonferenza.

Nei coni retti si chiama apotema il segmento che unisce il vertice con un punto qualsiasi della circonferenza.

I coni

Dato che la circonferenza può essere pensata come un poligono con un infinito numero di lati, il cono può essere pensato come un caso limite di piramide.

disegnare i solidi

vediamo come disegnarli, sia a mano che con geogebra

sviluppo piano dei solidi

I solidi sono oggetti geometrici che si sviluppano in tre dimensioni. La loro superficie, se tagliata lungo alcuni spigoli, può essere stesa sul piano. Si ottiene lo sviluppo piano del solido. Il risultato è quello che otterremmo aprendo un solido di carta.

Proviamo a costruire diversi solidi e creare il loro sviluppo piano.

Fantastico Packaging

Obiettivo: Creare una confezione originale e accattivante per presentare un prodotto, valorizzandone l'aspetto estetico e funzionale. Cosa significa "Packaging"? Il packaging è l'involucro o contenitore di un prodotto, progettato per proteggerlo, conservarlo e renderlo visivamente attraente. Ha un ruolo fondamentale nel convincere le persone a scegliere un prodotto rispetto ad altri.

Fantastico Packaging

Attività proposta:Realizzare uno sviluppo piano (disegno tecnico in 2D) di una scatola che, una volta ritagliata e piegata, formerà un contenitore tridimensionale. Il progetto deve essere creativo e curato sia graficamente che strutturalmente. Suggerimenti per il progetto: ✅ Includere tutte le facce del solido nel disegno dello sviluppo piano. ✅ Considerare linguette e alette necessarie per chiudere e montare la scatola. ✅ Scegliere materiali e colori che rendano il packaging attraente. ✅ Prevedere spazi decorativi e abbellire il design in modo creativo. ✅ Verificare le proporzioni e le misure affinché il solido si chiuda correttamente.

superficie dei solidi a due basi

La superficie dei solidi a due basi

Maria vuole ricoprire un'enorme scatola con della carta regalo. Per sapere quanta carta regalo deve comprare ha bisogno di conoscere la superficie totale che dovrà incartare. Quale superficie dovrà considerare?

La superficie dei solidi a due basi

La superficie totale di un solido è data somma della superficie di base e della superficie laterale. NB: nei solidi a due basi, come lo dice il nome, le basi sono due!!! Non dimenticarlo!

superficie laterale

In generale, devo sempre ragionare su qual è l'area di base (da quali e quante facce è formata) e da qual è l'area laterale . Torniamo a Maria... come potrà calcolare la superficie della sua scatola di cartone?

Superficie di un prisma generico

L'area di base del prisma è l'area del poligono di base. Per l'area totale, dovrò moltiplicarla per due, dato che ho due basi. Per l'area laterale devo moltiplicare il perimetro per l'altezza.

Superficie di un cilindro

L'area di base è quella del cerchio di base.

La superficie laterale è un rettangolo: devo moltiplicare il perimetro per l'altezza. Il perimetro è la circonferenza!

Superficie di un cilindro

"srotolando" la superficie laterale di un solido a due basi ottengo sempre un rettangolo.

Devo ragionare in questo modo per qualsiasi solido a due basi:

• la superficie laterale è un rettangolo, le cui dimensioni sono perimetro del poligono di base e altezza del solido

• l'area di base è l'area del poligono/cerchio alla base del solido

• per l'area totale devo sommare la superficie laterale con 2 volte l'area della base, dato che le basi sono due.

Superficie di un solido a due basi

Disegna e calcola la superficie totale di:

• Un prisma a base quadrata con lo spigolo di base di 3 cm e l'altezza di 7 cm

• Un cilindro alto 13 cm con raggio di base di 6 cm

• Un prisma a base rettangolare con spigoli di base di 8 e 11 cm e altezza di 13 cm

• Un cilindro con raggio di base di 9 m e altezza di 20 m

SUPERFICIE DEI SOLIDI A PUNTA

Superficie dei solidi a punta

I solidi a punta hanno una sola base, quindi la superficie totale si calcolerà con la formula: Attenzione a non confondersi! L'area di base non va moltiplicata per due nei solidi a punta!

Superficie della piramide

Considera lo sviluppo piano di una piramide. Come posso calcolare l'area di base? e la superficie laterale?

Superficie della piramide

Devo sommare:

• l'area del poligono di base (un quadrato in questo caso) per trovare l'area di base della piramide.

• l'area di uno dei triangoli che formano le facce esterne moltiplicata per il numero dei lati del poligono di base (tutti i triangoli sono congruenti).

Come trovo l'area del triangolo?

Superficie della piramide

apotema

Ho bisogno di conoscere l'apotema della piramide, ovvero l'altezza del triangolo delle facce laterali. A questo punto posso proseguire in due modi.

Superficie della piramide

La superficie laterale è metà dell'area del "rettangolone".

Cos'è la base del "rettangolone"? E l'altezza?

Superficie della piramide

apotema

perimetro del poligono di base

Superficie della piramide

Area triangolo: (bxh)/2

Superficie del cono

apotema

apotema

Come calcolo l'area di base e la superficie laterale?

Superficie del cono

apotema

L'area di base è l'area del cerchio di base. La superficie laterale posso pensarla come un "triangolone curvo".

Superficie laterale del cono

apotema

La base di questo triangolone è la circonferenza della base. L'altezza del triangolone è l'apotema. Sostituiamo i nostri valori nella formula.

Superficie del cono

Nei solidi a punta la base è una sola!

Superficie di un solido a punta

IL TEOREMA DI PITAGORA APPLICATO AI SOLIDI

Calcola la superficie laterale di un cono in cui:

• il raggio del cerchio di base è di 12 cm
• l'altezza del cono è di 35 cm.

Iniziamo sempre dal disegno! Cosa mi serve conoscere per calcolare la superficie laterale?

Per la superficie laterale ho bisogno di trovare l'apotema! Come posso trovarlo???

Altezza del cono, raggio e altezza formano un triangolo rettangolo di cui l'apotema è l'ipotenusa! Posso dunque applicare il teorema di Pitagora per trovare ciascuno dei tre!

Calcola la superficie laterale di un cono in cui:

• il raggio del cerchio di base è di 12 cm
• l'altezza del cono è di 35 cm.

Calcola la superficie laterale di un cono in cui:

• il raggio del cerchio di base è di 12 cm
• l'altezza del cono è di 35 cm.

Ora che conosco l'apotema posso applicare la formula:

Calcola l'area di base di una piramide a base quadrata in cui:

• l'altezza della piramide è di 55 cm.
• l'apotema è di 73 cm.

Iniziamo sempre dal disegno! Cosa mi serve conoscere per calcolare l'area di base?

Per calcolare l'area di base ho bisogno di conoscere la lunghezza del lato. Osserva: possiamo individuare un triangolo rettangolo? A cosa corrispondono i cateti e l'ipotenusa?

In una piramide a base quadrata l'apotema, l'altezza e il raggio della circonferenza inscritta formano un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa è l'apotema. NB: il raggio corrisponde a metà del lato del quadrato!

Calcola l'area di base di una piramide a base quadrata in cui:

• l'altezza della piramide è di 55 cm.
• l'apotema è di 73 cm.

Uso Pitagora per trovare il raggio (la metà del lato).

Calcola l'area di base di una piramide a base quadrata in cui:

• l'altezza della piramide è di 55 cm.
• l'apotema è di 73 cm.

Il lato è il doppio del raggio.

Attenzione! E se invece dell'apotema ci dessero come dato la misura dello spigolo laterale della piramide a base quadrata??? Applicando Pitagora, cosa troverei?

Lo spigolo laterale, l'altezza della piramide e la metà della diagonale del quadrato formano un triangolo rettangolo, in cui lo spigolo è l'ipotenusa! Come troverei poi il lato del quadrato?

Anche il lato del quadrato possiamo calcolarlo applicando il teorema di Pitagora! Abituati a cercare ed individuare triangoli rettangoli ovunque possibile. Possono sempre essere utili!

E ricorda: NON memorizzare formule inutili!Abituati ad arrivarci ragionando!

progetta e costruisci una confezione di cartONCINO, partendo dal suo sviluppo piano. CALCOLA la SUPERFICIE TOTALE.

non dimenticare di decorarla

FINE

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