8.gaia.SOLIDO ZURRUNA: HIGIDURA eta DINAMIKA

8.gaia

SOLIDO ZURRUNAREN HIGIDURA OROKORRA ETA DINAMIKA

HASI

"Solido zurrunaren higidura orokorra eta dinamika" © 2025 by Maite Retegi Ormazabal is licensed under CC BY-NC-SA 4.0

AURKIBIDEA

01

SOLIDO ZURRUNAREN HIGIDURA OROKORRA

02

SoLido zurrunaren DINAMIKA

AURKIBIDEA

01.0. Sarrera

01.1 . Solido zurrunaren higidura orokorra

01.1.1. Abiaduraren kalkulua: abiadura erlatiboen metodoa eta koordenatu kartesiarrak

01.1 .2. Abiaduraren kalkulua: abiadura erlatiboen metodoa eta abiaduren triangelua

01.1.3. Azelerazioaren kalkulua: azelerazio erlatiboen metodoa eta osagai intrinsekoak

01.2. Aldiuneko biraketa-zentroa

01.2.1. Aldiuneko biraketa-zentroaren metodoa

01.3. Kontaktuan biratzen duten elementuak

01.3.1. Transmisio motak

01.3.2. Engranajeen bidezko transmisioa

AURKIBIDEA

02.1. Aldagai errotazionalak eta Indar baten momentua eta inertzia-momentua.

02.2 Errotazio dinamikaren oinarrizko ekuazioa.

02.3. Errotazio- energia zinetikoa.

02.4. Gorputz baten inertzia-momentuaren kalkulua.

02.5. Biraketa-erradioa.

02.6. Inertzia-momentuaren propietateak

02.7. Irudi lauen teorema.

Steiner-en teorema.

02.8. Errotazio-lana.

02.9. Partikula baten momentu angeluarra.

02.10.Newton-en bigarren legea partikularen errotazioari aplikatua.

02.11. Momentu-angeluarraren kontserbazioa. Indar zentralak.

02.12. Partikula-sistema baten momentu angeluarra.

02.13. Momentu angeluarraren kontserbazioa.

02.14. Errodadura.

01.0 Sarrera

Aurreko gaian partikula baten mugimenduari egin genion erreferentzia; orain, elkarrenganako posizio finkoak dituzten partikulen multzo bat aztertuko dugu. Horri solido zurrunaren higidura esaten zaio, eta planora edo planoarekin parekatu daitezkeen egoeretara mugatuko dugu.

01.1 Solido zurrunaren higidura orokorra

Solido zurrunaren higidura orokorra beste bi higidura-motaren batura dela kontsidera dezakegu:

BIRAKETA-HIGIDURA BAT

TRANSLAZIO-HIGIDURA BAT

ETA

lehenengo puntutik pasatzen den ardatz baten inguruan.

bere abiadura gorputzaren edozein punturena izanda

+info

+info

01.1.1. ABIADUREN KALKULUA: ABIADURA ERLATIBOEN METODOA ETA KOORDENATU KARTESIARRAK.

A puntuaren abiadura eta B puntuaren abiaduraren norabidea ezagutzen baditugu, B puntuaren abiadura eta AB elementuaren abiadura angeluarra kalkula ditzakegu abiadura erlatiboen ondoko adierazpena erabiliz:

3.PAUSOA

4.PAUSOA

2.PAUSOA

1.PAUSOA

01.1.2. ABIADUREN KALKULUA: ABIADURA ERLATIBOEN METODOA ETA ABIADUREN TRIANGELUA.

A puntuaren abiadura eta B puntuaren abiaduraren norabidea ezagutzen baditugu, B puntuaren abiadura eta AB elementuaren abiadura angeluarra kalkula ditzakegu abiadura erlatiboen ondoko adierazpena erabiliz:

3.PAUSOA

1.PAUSOA

2.PAUSOA

4.PAUSOA

01.1.3. AZELERAZIOEN KALKULUA: AZELERAZIO ERLATIBOEN METODOA ETA OSAGAI INTRINSEKOAK

A puntuaren abiadura eta azelerazioa ezagutzen baditugu, B puntuaren azelerazioa eta AB elementuaren azelerazio angeluarra kalkula ditzakegu, ondoren adierazten den azelerazio erlatiboen ekuazioa erabiliz:

3.PAUSOA

1.PAUSOA

2.PAUSOA

4.PAUSOA

01.2. ALDIUNEKO BIRAKETA-ZENTROA

Solido zurrunaren higidura orokorra, denborar ekin bere posizioa aldatuz doan ardatz baten inguruko errotazio segida baten moduan kontsidera daiteke. Ardatz horri aldiuneko biraketa-ardatza deritzo.Higidura plano batean egiten bada, biraketa-ardatzak plano hori ebakitzen duen puntuak aldiuneko biraketa-zentroa, Zb determinatzen du.

Aldiuneko biraketa-zentroa gorputzaren barruan edo kanpoan egon daiteke, eta bere posizioa aldatuz doa denborarekin.Solido zurrun baten aldiuneko biraketa zentroa ezaguturik, gorputzaren beste edozein puntuk aldiune horretan duen abiadura lor dezake.

+info

01.2.1. ALDIUNEKO BIRAKETA ZENTROAREN METODOA

A puntuaren abiadura eta B puntuaren abiaduraren norabidea ezagutzen baditugu, B puntuaren abiadura eta AB elementuaren abiadura angeluarra kalkula ditzakegu aldiuneko biraketa zentroa erabiliz:

3.PAUSOA

1.PAUSOA

2.PAUSOA

4.PAUSOA

01.3. Kontaktuan biratzen duten elementuak

Atal honetan poleak, gurpilak edo engranajeak aipatuko ditugu. Irudian ikus daitekeenez, ardatz finkoen inguruan biratzen duten eta irristatu gabe kontaktuan dauden bi gorputzetan bi zirkunferentzia tangente egon daitezkeela uste da, ukipen-puntuaren abiadura komuna izan dadin. Beraz, mugimendu erlatiborik ez dagoenez, esan dezakegu A gurpilaren eta B gurpilaren P puntuak abiadura bera duela (diferente solidoen kontaktuan dauden bi puntu horien arteko abiadura erlatiboa nulua da).

Bi ardatzen arteko biraketa transmisioa egiteko, gutxienez bi gurpil behar dira:-Transmisioan mugimendua eragiten duena (eragilea, sarrera, gidaria)-Transmisioan mugimendua hartzen duena (eragina, irteera, gidatua)

Gurpil bikote batean, indarra eragiten duenari eragilea deituko diogu; eta indarra hartzenduenari, eraginaTransmisio-erlazioa (i) gurpil eraginaren abiadura zati gurpil eragilearen abiadura da.i = transmisio-erlazioanB = gurpil eraginaren abiadura (bira/min)nA = gurpil eragilearen abiadura (bira/min)

Biraketa abiaduraren unitatea bira minutuko (bira/min) da. Hau da, minutu batean,gurpilaren ardatzak ematen duen bira kopurua.

01.3.1. TRANSMISIO MOTAK

Transmisio erreduzitzailea

Transmisio biderkatzailea

i <1

i >1

Transmisio konstantea

i =1

01.3.2.Engranajeen bidezko transmisioa

Engranajeak gurpil horztunak dira, eta uztartuta daudenean, batak besteari transmititzen dio mugimendua. Engranajeak zuzenak badira ardatz paraleloetan jartzen dira.Bi engranajeen arteko transmisioa gertatzeko, bi engranajeen hortzak egokitu behar dira. Horrela, sarrerako engranajearen hortzek, irteerako engranajearen hortzak bultzatzen dituzte, irteerako engranajea biratzeko.Irudian ikus daiteke bi engranajeak kontrako noranzkoan biratzen dutela, marruskadura-gurpilekin antza dutelako; hori bai, hortzak ez dira irristatzen eta indar handiagoa egin dezakete.

1.AdibideA

2.AdibideA

02.1.1 Aldagai errotazionalak

Translazioaren magnitude linealen baliokideak errotazioan direla ikusi dugu.

02.1.2. Indar baten momentua

Suposa dezagun mahai baten gainean irudiko erregela etzanda dagoela, eta bira arazi nahi dugula. Erregela honetan indar bakar bat aplikatzen ba dugu biraketa ezinezkoa da. Biraketa gerta dadin kontrako noranzkoa eta distantzia batez bananduta dauden bi indar behar ditugu. Hori indar-bikote bat da.

Biraketa egon dadin, indarraren aplikazio lerroa, ardatzetik distantzia jakin batera egon behar du; zenbat eta distantzia hori handiagoa izan, biraketa handiagoa izango da ere (aplikatutako indar berdin baterako). Indarraren aplikazio lerroa, posizio bektorearekiko paraleloa bada ez dago biraketarik (F3-ren kasua). Aplikazio-lerroak angelu jakin bat osatu behar du posizio-bektorearekiko. Guzti hori kontutan hartuta indar baten momentua honela definitzen da:

02.1.3. inertzia-momentua.

Gorputz batek bere errotazio-egoera aldatzeko duen erresistentziari INERTZIA-MOMENTUA deituko diogu. Inertzia-momentua ardatzarekiko masa-distribuzioari lotua dago. Zenbat eta masaren proportzioa handiagoa izan ardatzarekiko haren inertzia-momentua handiagoa izango da.

INERTZIA-MOMENTUA gorputz batean eragiten duten momentuak eta hauek sortzen dituzten azelerazio angeluarren arteko zatidura konstantea da

02.2 Errotazio dinamikaren oinarrizko printzipioa

Gorputz batean eragiten duen momentu ordezkaria gorputzaren inertzia momentuaren eta azelerazio angeluarraren biderkaduraren berdina da. Gorputz baten inertzia-momentua, masa bezalaxe, berezko propietatea da, kanpo agenteekiko independentea. Azelerazio angeluarra momentuaren ondorio da. Beraz, momentua kanpo eragin bat da. Bi magnitude horien artean kausa-ondorio erlazio bat dago. Momentua kausa bat da eta azelerazio angeluarra kausa horren ondorioa.

2.Adib

1.Adib

02.3. Errotazio energia zinetikoa.

Biratzen ari den gorputz baten energia zinetikoa gorputza osatzen duten partikula guztien energia zinetikoen batura da.

3.Adib

02.4. INERTZIA-MOMENTUEN KALKULUA.

Sistema diskretu baten inertzia-momentua honela kalkulatzen da:

Solido jarraitu baten inertzia-momentua honela kalkulatzen da:

Solido edo sistema jarraitu baten kasuan partikulen kopurua infinitua da eta bakoitzaren masa dm. dm partikula infinitesimal bakoitzaren masa da.

4.Adib

02.5. BIRAKETA ERRADIOA.

Gorputz baten biraketa erradioa ardatzarekiko distantzia determinatu bat da, non gorputzaren masa osoa puntu batean kokatuta dagoela pentsatzen badugu, puntuaren inertzia-momentuak gorputzarenarekin bat datorren.

5.Adib

6.Adib

02.6.Inertzia-momentuaren propietateak

Inertzia-momentuaren izaera batukorra: Inertzia-momentuaren definiziotik solido baten inertzia-momentua berau osatzen duten parteen inertzia-momentuen batura da.

Zilindroa zenbait disko infinitesimaletan deskonposatu ahal dugu: Emaitza hau logikoa da, bere masa-distribuzioa diskoarenarekin bat baitator. Zilindroa hutsa balitz bere inertzia-momentua eraztunarenarekin bat etorriko litzateke.

02.7.1. IRUDI LAUEN TEOREMA.

Teorema honen bitartez hainbat gorputz lauen inertzia-momentua kalkulatzen laguntzen digu.

Ix=Iy+Iz Gorputz lauarekiko perpendikularra den ardatzarekiko inertzia-momentua beste bi ardatzekikoen batura da

Suposa dezagun Y- Z planoan dagoen gorputz laua. Y eta Z ardatzekiko inertzia momentuak hauek dira: X ardatzarekiko inertzia momentua berriz, hauxe:

7.Adib

02.7.2. STEINER-EN TEOREMA

Gorputz baten MZ-tik pasatzen den ardatzarekiko inertzia-momentua:

Suposa dezagun aurreko ardatzarekiko paraleloa den beste Z’ ardatz bat. Guk Z’ ardatzarekiko inertzia-momentua kalkulatu nahi dugu. Gure ardatza MZ-tik pasatzen denez: yMZ = 0 izango da, beraz (*) terminoa nulua da.

8.Adib

9.Adib

Inertzia-momentuak

02.8. ERROTAZIO LANA

Translazio-dinamikan indar batek egindako lana honela definitzen dugu:

Gainera gorputzean egindako lana, translazio-energia zinetikoa bihurtzen dela ikusi genuen. (Indar bizien teorema).

Modu berean errotazioan indar baten momentuak egindako lana, honela definituko dugu:

Eta lan hau, gorputzean errotazio-energia zinetikoa bihurtzen dela esan dezakegu

02.9. Partikula baten momentu-angeluarra

Biratzen duten gauzek (dela planeta bat Eguzkiaren inguruan, elektroi bat nukleoaren inguruan edo soka baten muturrean biratzen duen harria) biratzen jarraitzen dute zerbaitek geldiarazten dituen arte. Objektu birakari batek errotazioko inertzia du. Biratzen duten objektuek momentu angeluarra edo higidura angeluarraren kantitatea dute. Objektu birakaria geldiarazteko zerbait hori indarraren momentua da.

Partikula baten momentu angeluarrak errotazioan, momentu linealak translazioan jokatzen duen paper berdina jokatzen du. Suposa dezagun higidura zirkularra duen eta XY planoan mugitzen den partikula bat, bere posizio-bektorea r , abiadura v eta masa m direlarik. Partikula honen L momentu-angeluarra honela definitzen dugu:

02.10. Newton-en bigarren legea partikularen errotazioari aplikatuA

Beraz translazioan indarrak partikularen momentu lineala aldatzen duen bezala, momentuak partikularen momentu angeluarra aldatzen du. Ikus dezakegunez, partikulan eragiten duen momentu-ordezkariak, bere momentu angeluarraren aldakuntzaren azkartasunarekin bat dator. Partikula baten (edo partikula-sistema baten) momentu lineala aldatzeko kanpo indar bat behar den bezalaxe, objektu baten momentu angeluarra aldatzeko kanpo momentu bat behar da. Newton-en bigarren legea partikularen errotazioari aplikatua, honela defini dezakegu

Puntu baten (edo puntu-sistema baten) momentu angeluarra konstante mantentzen da bere gain kanpo momentu ez orekatu batek eragin ezean.

Kasu horretan geldirik dago edo higidura zirkular uniformez mugitzen da.

02.11. Momentu angeluarraren kontserbazio-legea. Indar zentralak

Partikula batean eragiten duen momentua nulua ba da, orduan bere momentu angeluarra konstante mantenduko da. Hori, bi kasutan gerta daiteke: 1) r edo F nuluak izatea. 2) r eta F paraleloak izatea. Indar hauei indar zentralak deritze.

Adibidez gorputz bat beste baten inguruan biratzen duenean: Ilargia Lurraren inguruan edo Lurra Eguzkiaren inguruan edo elektroi bat nukleoaren inguruan. Kasu honetan Ilargiaren r posizio-bektorea eta Fg, indar grabitatorioa paraleloak dira.

02.12. Partikula-sistema baten momentu angeluarra

Partikula-sistema batentzat errotazio dinamikaren oinarrizko ekuazioa honela idatz dezakegu:

Partikula-sistema baten momentu angeluarra bera osatzen duen, partikula guztien momentu angeluarren batura da. Suposa dezagun Z ardatzaren inguruan abiadura ω angeluarraz biratzen ari den solido bat.

02.13. Momentu angeluarraren kontserbazio-legea

Honako hau Newton-en errotazio dinamikaren legea da

Gorputza geldirik dago edo abiadura angeluar konstantez errotatzen du.

Eta hau da hain zuzen ere momentu angeluarraren kontserbazioren printzipioa.

Gorputz batean kanpo-momentu ez orekatu batek eragin ezean, momentu angeluarra konstante mantentzen da. Horrek esan nahi du I  kantitatea konstante mantentzen dela

11.Adib

MAGNITUDE LINEALAK MAGNITUDE ANGELUARRAK

02.14. ERRODADURA

Errodadura aurreko bi higiduren konbinazioa da. MZ-ren in inguruko errotazio higidura gehi gurpilaren labainketa hutsa. Bi higidura horien efektu konbinatua desberdina goiko eta beheko partean. Goian bi higidurak batu egiten dira noranzko berean gertatzen baitira.Beheko partean errotazioak labainketaren kontrako noranzkoa du eta, horregatik higidurak elkar kendu egiten dira. Horregatik goiko partea azkarrago higitzen da behekoa baino. Une infinitesimal batean zoruarekin ukipenean dagoen ertzeko puntua geldirik dago.

Irudiak errodaduraren azalpena lagundu nahi du:

• Ezkerreko irudiak MZ-ren inguruko errotazio higidura erakusten digu. Gurpilaren abiadura angeluarra ω bada, ertzeko puntu guztien abiadura lineala berdina da: R·ω

• Erdiko irudiak gurpilaren labainketa hutsa erakusten digu. Puntu guztien abiadura lineala berdina da.

+info1

+info3

+info2

FISIKA-KIMIKA MINTEGIA