PM2 Progresión 1

Algunas particularidades del lenguaje matemático

PROGRESIÓN 1

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Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC Dr. Oscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. Alma Violeta García López, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional

Progresión

1:

Anotaciones didácticas:

En la vida cotidiana encontramos expresiones como “¡Oferta: 3x2 en todas las playeras!”, en el lenguaje utilizado en el enunciado de estas ofertas no tiene el mismo sentido que el que le damos en el contexto matemático, obsérvese por ejemplo que no tiene sentido hablar de la conmutatividad, ni de la cerradura de la operación. Es importante diferenciar el sujeto a quien nos referimos en nuestros enunciados: cuando decimos "María es una chica muy inteligente” y cuando decimos “María tiene 5 letras”, aunque parece que hablamos del mismo sujeto, realmente nos referimos a dos entidades distintas; tener claridad en esto es importante para el desarrollo del pensamiento algebraico.

Compara, considerando sus aprendizajes de trayectoria, el lenguaje natural con el lenguaje matemático para observar que este último requiere de precisión y rigurosidad.

OFERTA

3x2

Metas

M1: Describe situaciones o fenómenos empleando rigurosamente el lenguaje matematico y el lenguaje natural.

Categorías

C4: Interacción y lenguaje matemático.

Subcategorías

S1: Registro escrito, simbólico, algebraico e iconográfico.

Las progresiones de Pensamiento Matemático II pretenden desarrollar en el estudiantado el pensamiento aritmético, algebraico y geométrico. No hay que perder de vista que en el primer semestre nuestros estudiantes habrán trabajado algunos elementos del pensamiento probabilístico y estadístico con los cuales tuvieron oportunidad de reforzar algunos aprendizajes de trayectoria de Educación Básica referentes a cuestiones aritméticas, algebraicas y geométricas.

En este segundo semestre continuaremos favoreciendo el desarrollo del pensamiento matemático de las y los estudiantes y formalizaremos algunos aspectos empleados de manera no tan rigurosa en primer semestre dejándole al estudiantado algunas herramientas listas para su uso en el tercer semestre donde el tipo de pensamiento que querremos favorecer es el variacional. Se ha identificado que históricamente el estudiantado presenta dificultades para transitar entre la aritmética y el álgebra, las progresiones de aprendizaje de este semestre tratan, entre otras cosas, de hacer que este tránsito sea más terso. Para ello, ponen especial cuidado en lograr que las y los estudiantes tengan la suficiente claridad acerca del uso y la naturaleza del lenguaje matemático. Es por esto por lo que las progresiones de este semestre comienzan haciendo un análisis y una comparativa entre el lenguaje natural (que puede ser el español, alguna lengua originaria, el inglés, el lenguaje de señas, etc.) y el lenguaje propio de las matemáticas, el cual es un lenguaje riguroso que tiene puntos en común, pero también sus divergencias con los lenguajes naturales.

Pero ¿cómo comenzar a trabajar esta progresión con nuestros estudiantes?

¿Durante cuánto tiempo?

Creemos que esta progresión se puede abordar en un menor tiempo que otras, recuerda que, desde la autonomía didáctica, tú puedes dosificar el tiempo. Proponemos como primera actividad para el aula que en grupos recuperemos desde la experiencia de nuestros estudiantes algunos ejemplos de su cotidianidad del uso de expresiones numéricas y operaciones entre ellas. El motivo de esta recuperación es analizar y precisar conceptos que pudieran estar involucrados en ellas y que no necesariamente coincidan con los conceptos matemáticos que estaremos trabajando, lo cual pudiera ser potencialmente una dificultad cognitiva para nuestro estudiante.

Vamos a pensar que en clase de los ejemplos que se mencionaron fueron los siguientes:

• Las ofertas:

• Las llaves:

Los mecánicos usan llaves de ½, de ¼, etc.

He visto anuncios de 2x1 en el súper.

• Los pronósticos climatológicos:

Hay un 20% de probabilidad de llover en mi ciudad.

Pensemos en el primer caso y en cómo orientaríamos la discusión con los estudiantes.

Podríamos preguntarles también si es posible multiplicar dos objetos, por ejemplo, y para poner un poco de controversia en el salón: Las preguntas sobre la multiplicación de los automóviles ciertamente no tienen sentido. No podemos multiplicar objetos sino números. Observen que en el anuncio, a pesar de que se habla de una multiplicación, no es la multiplicación matemática. Tampoco tiene sentido pensar en que en las ofertas se tiene una propiedad que seguramente tus estudiantes conocen muy bien por experimentación: la conmutatividad del producto.

Una primera pregunta que podemos hacerles es precisamente la siguiente:

¿A qué se refiere el anuncio del súper?

¿Cuánto vale un automóvil por un automóvil?... ¿Un automóvil cuadrado?

¿Qué cosas se están multiplicando?

Escuchemos sus respuestas, seguramente alguien dará el significado correcto de este anuncio: ¿Es ese significado el significado que usamos en matemáticas?

Te llevas dos artículos pagando solo uno.

A continuación, te presentamos una breve anécdota basada en un hecho real, que podrías compartir con tus estudiantes.

Fui al súper a surtir la despensa del mes y sucedió que mi pareja y yo vimos a mucha gente con carritos llenos de shampoos discutiendo con empleados del súper. Resultó ser que algún empleado del super puso una promoción de shampoo de manera incorrecta, la promoción decía:

Clic para ir al enlace

¿Ustedes notan el error?

La promoción invitaba a pagar solo dos shampoos y llevarse 99.

Mucha gente intentó “aprovechar” esa oportunidad para comprar cantidades exageradas de shampoo, incluso querían hablar a Profeco para que los ayudara en sus reclamaciones.

¡Cuánto dinero habrán perdido! Y solo por cambiar el orden de los números, no era 99×2 era 2×99.(observa que, en cualquier caso, el anuncio no se refiere al producto matemático).

Para el estudiantado:¿Qué hubieran hecho si ven esta promoción con todo y el error?¿Es correcto “aprovechar” la oferta?

Comenta Efraim Fischbein que una idea errónea muy difundida es que “la multiplicación hace las cosas grandes” y “la división las hace pequeñas”. Dicha idea, nos dice, se ha detectado tanto en estudiantes como en docentes. Pongamos los siguientes problemas: 1. De 1 quintal de trigo se obtienen 0.75 quintales de harina. ¿Cuánta harina se puede obtener de 15 quintales de trigo? 2. 1 kilogramo de detergente se usa para hacer 15 kilogramos de jabón. ¿Cuánto jabón se puede hacer con 0.75 kilogramos de detergente? Ambos problemas se presentaron a 628 estudiantes de 5°, 1° de secundaria y 3° de secundaria de 13 escuelas distintas en Pisa, Italia. Se le pedía a los estudiantes que en cada problema únicamente eligieran la operación que lo resolvería, sin hacer los cálculos. Fischbein comparte los siguientes porcentajes de respuestas correctas Problema 1: 79% (5°), 74% (1° de secundaria), 76% (3° de secundaria) Problema 2: 27% (5°), 18% (1° de secundaria), 35% (3° de secundaria)

Pero sigamos hablando de multiplicaciones. Ya hemos dicho que no podemos multiplicar dos objetos como un carro por otro carro y que las multiplicaciones que vemos en las ofertas del mercado no son las multiplicaciones que trabajamos en matemáticas, pero ¿qué significa entonces multiplicar dos números? Es posible que algunos de tus estudiantes tengan la intuición de que la multiplicación es una suma abreviada. Lo cual nos parece muy bien pero debemos tener cuidado con el concepto.

Vamos a revisar un ejemplo de Efraim Fischbein expuesto en su artículo The interaction between the formal, the algorihmic, and the intuitive components in a mathematical activity.

¿Qué operaciones habrías elegido tú?

¿Revisarías con tus estudiantes este ejemplo?

Dice Fischbein que para ambos problemas la solución consiste en multiplicar 15 x 0.75. Formalmente y proceduralmente la solución es la misma y nos pregunta entonces a qué se debe la diferencia en los resultados de su estudio.

Reproducimos a continuación su explicación:

Como uno puede observar al leer cuidadosamente los dos problemas, en el primero, el multiplicador es un número entero (15) mientras que en el segundo, el multiplicador es un decimal. Desde el punto de vista formal, esto no debería hacer ninguna diferencia: la multiplicación es una operación conmutativa. Pero intuitivamente las cosas se ven diferentes. Imaginemos que detrás de la operación de multiplicación se encuentra un modelo intuitivamente aceptable (y, de hecho, enseñado en clases): La multiplicación es una suma abreviada. El modelo es adecuado, pero solo si uno trabaja con números enteros. Tres por cinco, significa, en esta interpretación, 5 + 5 +5 = 15. Pero ¿qué significaría 0.75 por 5? Formalmente, “0.75 por 5” y “5 por 0.75” conducen al mismo resultado. Pero intuitivamente, no. 0.75 por 5 no tiene un significado intuitivo. No se puede representar en términos del modelo de la suma abreviada.

Hasta aquí las palabras de Fischbein. Esta idea preconcebida de que la multiplicación hace las cosas más grandes la tenemos también culturalmente arraigada cuando por ejemplo, y sin pretender favorecer a ningún credo, en la Biblia se habla de la multiplicación de los panes y en la política de multiplicar esfuerzos. La visión que circunda en la cotidianidad y en la comunidad de ciertos conceptos matemáticos puede causar dificultades cognitivas a nuestros estudiantes, es un trabajo propio de los grandes observadores que son las y los docentes encontrar estos obstáculos epistemológicos para poder dar una retroalimentación que ayude a nuestros estudiantes a superarlos.

No solamente es el uso correcto del lenguaje matemático y la clara conceptualización de sus objetos, también es importante que el estudiantado desarrolle un manejo adecuado de su lengua natural, en este caso, asumiremos que del español. Este es un buen momento para trabajar la transversalidad. A continuación planteamos un problema clásico de ortografía que podrías llevar al aula para hacer la reflexión de la importancia del lenguaje, es el problema de las 3 bellas damas.

¿Qué otros ejemplos encuentras tú?

Recuperado de: https://juanberpor.wordpress.com/2011/10/28/tres-bellas-que-bellas-son-uso-de-los-signos-de-puntuacion/

Tres bellas

Tres hermanas casaderas, Soledad, Julia e Irene, conocieron a un joven y apuesto caballero, licenciado en letras y las tres se enamoraron de él. Pero el caballero no se atrevía a decir de cuál de las tres hermanas estaba enamorado. Como no se declaraba a ninguna, las tres hermanas le rogaron que dijera claramente a cuál de las tres amaba. El joven caballero escribió en un poema sus sentimientos, aunque «olvidó» consignar los signos de puntuación, y pidió a las tres hermanas que cada una de ellas añadiese los signos de puntuación que considerase oportunos. La décima era la siguiente:

Tres bellas que bellas son me han exigido las tres que diga de ellas cual es la que ama mi corazón si obedecer es razón digo que amo a Soledad no a Julia cuya bondad persona humana no tiene no aspira mi amor a Irene que no es poca su beldad Soledad leyó la carta: Tres bellas, ¡qué bellas son!, me han exigido las tres que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón. Si obedecer es razón, digo que amo a Soledad; no a Julia, cuya bondad persona humana no tiene; no aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad.

Julia en cambio: Tres bellas, ¡qué bellas son!, me han exigido las tres que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón. Si obedecer es razón, ¿Digo que amo a Soledad? No. A Julia, cuya bondad persona humana no tiene. No aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad. Dijo Irene: Tres bellas, ¡qué bellas son!, me han exigido las tres que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón. Si obedecer es razón, ¿Digo que amo a Soledad? No. ¿A Julia, cuya bondad persona humana no tiene? No. Aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad.

Así pues persistía la duda, por lo que tuvieron que rogar de nuevo al joven que les desvelara quién era la dueña de su corazón. Cuando recibieron de nuevo el poema del caballero con los signos de puntuación las tres se sorprendieron:

Tres bellas, ¡qué bellas son!, me han exigido las tres que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón. Si obedecer es razón, ¿Digo que amo a Soledad? No. ¿A Julia, cuya bondad persona humana no tiene? No. ¿Aspira mi amor a Irene? ¡Qué!… ¡No!… Es poca su beldad.

Como decíamos al principio, en este semestre estaremos trabajando muchas cuestiones lingüísticas que harán que nuestro estudiante transite de mejor manera entre la aritmética y el álgebra. Para terminar citaremos al lógico matemático Stephen Cole Kleene:

Quien dude de las ventajas de los símbolos (en su adecuado lugar) es invitado a resolver la ecuación x2 + 3x – 2 = 0 completando el cuadrado (como se enseña en la preparatoria), pero haciendo todo el trabajo con palabras. Podemos empezar enunciando la ecuación con palabras: El cuadrado de una incógnita, incrementado tres veces por dicha incógnita, disminuido por dos es igual a cero. Quien dude de una elección apropiada de simbolismo matemático como un factor importante en el desarrollo de la matemática y la ciencia es invitado a multiplicar 416 por 144, pero haciendo todas las manipulaciones en numerales romanos. El problema, sería entonces, multiplica CDXVI por CXLIV.

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