T1: Fundamentos básicos de Ing Econom

Ingeniería Económica

Tema 1

Fundamentos básicos de Ingeniería Económica

2023

Tema 1: Fundamentos Básicos de Ingeniería Económica

4.1. Factor de pago único

4.1. Factor de gradiente

1. Concepto de Ing. Económica

2. Interés simple e interés compuesto

4.2. Factor valor presente

4.2. Factor múltiple

3. Equivalencia y diagrama de flujo

4.3. Facto valor futuro

4. Factores de interés y su empleo

4.4. Factor de serie uniforme

Definiciones

Definición de Ingeniería Económica

Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existen alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito defi nido. Las técnicas matemáticas simplifican la evaluación económica de las alternativas.

Para llegar a la escuela, tomamos la “mejor” ruta. ¿Mejor, cómo? ¿Es la más segura, la más corta, más rápida, más barata, bonita...? En función del criterio o combinación de criterios para definir lo mejor, se elige una ruta diferente. En el análisis económico, las unidades financieras por lo general son la base tangible para la evaluación.

Diariamente utilizamos criterios para elegir entre varias alternativas.

- Entonces, cuando existen varias maneras de alcanzar los objetivos establecidos, se escoge la alternativa que tenga el costo más bajo o el ingreso más alto.

Los pasos de un estudio de ingeniería económica son los siguientes:

1. Identificación y comprensión del problema; definición del objetivo del proyecto.
2. Recopilación de información relevante, datos disponibles y definición de soluciones viables.
3. Hacer estimaciones realistas de los flujos de efectivo.
4. Identificación de una medida económica del criterio de valor para la toma de decisiones.
5. Evaluación de cada opción; considerar factores no económicos; aplicar un análisis de sensibilidad.
6. Elección de la mejor opción.
7. Implementación de la solución y vigilar los resultados.

Definiciones

Los números que se emplean en la ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que suceda. Dichas estimaciones y la decisión correspondiente por lo general involucran los siguienes elementos esenciales:

• Los flujos de entrada de efectivo son las recepciones, ganancias, ingresos y ahorros generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más indica un flujo de entra.
• Los flujos de salida de efectivo son los costos, desembolsos, gastos e impuestos ocasionados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo negativo o menos indica un flujo de salida de efectivo.

Flujos de efectivo

Tasas de interés (relacionadas con el valor del dinero)

Tiempo en que transcurren los flujos

Definiciones

Alternativas

Medición del beneficio económico

Valor del dinero en el tiempo

Son las soluciones viables del problema, independientes entre sí, que cumplen con los objetivos.Las mejores estimaciones de los parámetros también forman parte de la alternativa.

La medición de la rentabilidad es el aspecto principal para elegir la mejor alternativa. Sin embargo, siempre existen factores no económicos o intangibles que deben tomarse en cuenta porque pueden alterar la decisión.

El valor del dinero en el tiempo explica el cambio en el tiempo de la cantidad de dinero de los fondos que se poseen (invierten) o se deben (prestan).

Definiciones

El criterio para elegir una alternativa en la ingeniería económica para un conjunto específico de estimaciones se denomina medida de valor. Las medidas desarrolladas y usadas en este libro son las siguientes:

Tasa de retorno

Valor Presente (VP)

Beneficio/Costo

Valor Futuro (VF)

Costo Capitalizado

Valor Anual (VA)

Etc.

Interés pagado e interés ganado. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

Interés simple y compuesto

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.

Interés

El interés puede definirse como el costo de tener dinero disponible para su uso.

• Es compuesto siempre que el cobro de éste por cualquier periodo de interés (por ejemplo, un año) se base en la cantidad principal que resta más cualquier cargo por intereses acumulados hasta el comienzo de ese periodo
• Consiste en añadir al capital y a los intereses que ha ganado éste anteriormente los nuevos intereses. De esta forma, el rendimiento es sobre el capital inicial así como también sobre los intereses que se han producido. Es decir, se van acumulando los intereses obtenidos que generarán más intereses.

• Es simple si el interés total que se obtiene o se cobra es una proporción lineal de la cantidad inicial del préstamo (principal), la tasa de interés y el número de periodos de interés por los que se hizo el préstamo.
• Así el interés generado o pagado por un capital, invertido o prestado, será igual en todos los períodos en los que el capital se invierta o se pida prestado.

+ Info

Simbología para Ingeniería Económica

Número de períodos

Tasa de interés (%)

Tiempo

PCapital o Principal

Es el número de veces que se aplica la tasa de interés a un capital.

Es un porcentaje que se aplica sobre una cantidad de dinero prestada o depositada.

Tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

Monto original invesrtido o prestado

PARA INTERÉS SIMPLE

Es un porcentaje que se aplica sobre una cantidad de dinero prestada o depositada.

F = P(1 + ni)Valor Futurode un Capital

La cantidad de interés que se acumula en un capital a lo largo de varios períodos.

I = n*P*i I = F - P

interés para "n" períodos

Es una cantidad que se paga o cobra por el uso o prestamo de una cantidad de dinero durante un períodos del tiempo definido.

p = P*i

interés para un período

Ejercicios de práctica

Introducción a interés simple

¿Cuanto dinero tendré después de dar prestado $700,000 al 3% simple mensual durante medio año?

Calcular el interés simple que produce un capital de $850,000 en 7 meses al 4% mensual

Datos disponiblesP = n = i =

Datos disponiblesP = n = i =

Información solicitada IF = ¿?

Información solicitada I = ¿?

solución

solución

F = P(1+ni) F = 700,000(1+.03*6) F = 700,000(1.18) F = $826,000

F =¿? P= $700,000 t= medio año 6 meses i= 3% mensual

I=¿? P= $850,000 t= 7 meses i= 4% mensual

I = P*n*i I = 850,000*7*.04 I = $238,000

Ejercicios de práctica

Introducción a interés simple

Calcule la cantidad que se ha debido depositar hace cuatro años para tener $ 5,000 hoy a una tasa del 8% anual, calcule también los intereses que se generaron.

Datos disponibles

solución

F = n = i =

F = P(1+ni) 5,000 = P(1+4*0.08)5000 = P*1.32 P = 5000/1.32 =$ 3,787.87

Información solicitada P = ¿?

¿Cual es el interés generado?

I = 5,000-3,787.87 = 1,212.13 O también I = 3,787.87*4*.08 = 1,212.13

Simbología para Ingeniería Económica

Número de períodos

Tasa de interés (%)

Tiempo

Para interés compuesto

Valor Futuro

PCapital

I = F - P

interés para "n" períodos

Representación del interés simple

Ejemplo: Cierta persona deposita hoy $ 9,000.00 en una cuenta de inversión con una tasa de interés de 15 % anual. ¿Cuánto podrá retirar dentro de cuatro años? Calcule el resultado como interés simple.

período

Representación del interés compuesto

Ejemplo: Cierta persona deposita hoy $ 9,000.00 en una cuenta de inversión con una tasa de interés de 15 % anual. ¿Cuánto podrá retirar dentro de cuatro años? Calcule el resultado como interés compuesto.

período

Uso cotidiano de la Ingeniería Económica

Una persona quiere adquirir una TV cuyo costo de contado es de $12,000 pero al no tener esa cantidad, solicita un plan de compra a crédito a meses. El vendedor le ofrecer pagar seis mensualidades iguales, la primera se haría al final del primer mes después de la compra; asimismo, y le informa que el interés que cobra la tienda es de 3% mensual.

¿A CUANTO ASCENDERÁN LOS PAGOS, PARA QUE PUEDA CONSIDERARSE UN TRATO JUSTO?

Interés = $12000 x 0.03 x 6 meses = $2160 Si la deuda inicial es de $12,000 + $2 160 de interés, el total es de $14 160, que dividido entre 6 meses da como resultado una mensualidad de $2360.

Según el cálculo, cada mes se estarían debiendo $12,000 que no es correcto

Deuda total de $12,000 dividida entre seis meses = $2000 al mes, sobre lo que se cobraría interés de 3% mensual; Así, el interés mensual es de $2000 x 0.03 = $60, y el pago mensual es de $2000 + 60 = $2060.

Considera que desde el primer mes se deben sólo $2,000, lo cual es falso

Interés = $12000 x 0.03 x 6 meses = $2160 Si la deuda inicial es de $12,000 + $2 160 de interés, el total es de $14 160, que dividido entre 6meses da como resultado una mensualidad de $2360.

La deuda total de $12 000 dividida entre seis meses = $2000 al mes, sobre el que se cobraría el interés de 3% mensual; Así, el interés mensual es de $2000 x 0.03 = $60, y el pago mensual es de $2000 + 60 = $2060.

VS

Según el cálculo, cada mes se estarían debiendo $12,000 que no es correcto

Considera que desde el primer mes se deben sólo $2,000, lo cual es falso

Ejercicios de práctica

Adeudo año 1: 100, 000 + 10, 000 (0.1) = 100, 000 (1+0.1) = 100, 000 (1.1) Adeudo año 2: 100, 000 (1.1) + [100, 000 (1.1)](0.1) = 100, 000 [1.1 + [(1.1)(0.1)] = 100, 000 [1.1 (1 + 0.1)] = 100, 000 [1.1 (1.1)] = 100, 000 (1.1)2

Introducción a interés compuesto

Una compañía dpide un préstamo de $100 000 con un interés de 10% compuesto anual, cuyo principal y todos los intereses los pagará después de tres años. Calcule el interés anual, adeudo total después de tres años y el monto total que se adeuda en cada año.

Datos disponiblesP = n = i =

solución

F = P (1 + i)n

Interés, año 1: 100 000(0.10) = $10 000 Adeudo total, año 1: 100 000 + 10 000 = $110 000 Interés, año 2: 110 000(0.10) = $11 000 Adeudo total, año 2: 110 000 + 11 000 = $121 000 Interés, año 3: 121 000(0.10) = $12 100 Adeudo total, año 3: 121 000 + 12 100 = $133 100

Año 1: $100 000(1.10)1 = $110 000 Año 2: $100 000(1.10)2 = $121 000 Año 3: $100 000(1.10)3 = $133 100

Ejercicios de práctica

Introducción a interés compuesto

Detalle tres planes para pagar un préstamo de $5,000 en 5 años, con una tasa de interés compuesto de 8% anual, los cuales consisten en las siguientes propuestas:• Plan 1: Pago total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se acumulan cada año sobre el principal y todos los intereses acumulados. • Plan 2: Los intereses se pagan cada año, el principal al final. El interés acumulado se paga cada año, y el principal hasta el final del año 5. • Plan 3: Pago anual del interés y una parte del principal. Los intereses acumulados y la quinta parte del principal (o $1 000) se pagan cada año. El saldo del préstamo disminuye cada año, de modo que el interés (columna 2) se reduce cada año.

Diagrama de flujo de efectivo

El concepto de flujo de caja se refiere al análisis de las entradas y salidas de dinero que se producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de esos movimientos, y también el momento en el que se producen.Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.

Entradas de flujo

Salidas de Flujo

Ingresos de alguna venta. Reducción de costos de operación. Ahorros en impuestos sobre la renta.

Costo de adquisición de activo. Costos de diseño de ingeniería. Costos de Operación. Impuestos sobre la renta o flujo de efectivo

Ejemplo

Suponga que usted invierte $5,000 el día de hoy, $10,000 dentro de un año y $15,000 dentro de 2 años a una tasa anual del 12% capitalizable trimestralmente. Representa para:

Elabora el diagrama de flujo de la compra de la TV por $12,000

Elabora el diagrama de la inversión de $9,000

a) tres años b) cinco años

+ DFlu

DFLU

+ DFlu

+ DFlu

Si se comienza hoy y se hacen 5 depósitos de 1,500 anuales durante cinco años, en una cuenta que paga el 10% anual, cuánto dinero se habrá acumulado después del último deposito.

Suponga que se desea depositar una cantidad P en una cuenta de ahorros dentro de dos años de tal forma que sea posible retirar $ 500 pesos anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de tres años a partir de este momento, la tasa de interés es del 6% anual.

Una persona compra un televisor en el año 2015 por $ 3,000, lo conserva durante 5 años a un costo de mantenimiento de $ 100 por año y lo vende al final del quinto año en $ 500. Ilustre en un diagrama los flujos de efectivo y marque con su respectivo valor y determine en el año 2014 una sola cantidad equivalente a todos los flujos.

Equivalencia financiera

La equivalencia financiera es la utilización del valor de dinero en el tiempo por medio de la tasa de interés para generar cifras que ubicadas en diferentes instantes de tiempo tienen el mismo valor economico

De acuerdo con este principio de equivalencia financiera, si la operación financiera se realiza, es porque para ambas partes los compromisos son equivalentes; es decir, que los capitales entregados y los que se devolverán son coincidentes en su valoración por ambas partes, existiendo el adecuado equilibrio que requiere la operación.

Equivalencia financiera

Una compañía de recolección de desechos consiguió un préstamo con una tasa de interés de 10% anual para comprar nuevos contenedores y otros equipos para el sitio de depósito. Si la empresa consiguió el préstamo hace dos años y lo saldó en un solo pago de $4,600,000. ¿Cuál fue el monto del préstamo?

Datos

P = ¿? F = $4,600,000 i = 10% anual n = 2 t = 2

Solución

Flujo

Equivalencia financiera

Como director de la empresa de consultoría en la que ha trabajado por 20 años, usted acumuló 5,000 acciones de la empresa. Hace un año cada acción valía $40. La empresa le ofreció comprar sus acciones en $225,000. ¿Con qué tasa de interés sería equivalente la oferta de la empresa al valor que tenían las acciones hace un año?

Datos

Solución

P = 5000 ($40) = $200,000 F = $225,000 i = ¿? n = 1 t = 1

Flujo

TASA DE CAPITALIZACIÓN

27%

El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”. Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo.

La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés

Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo originalmente establecido.Por ejemplo, una tasa de interés de una periodo que aparece como 1.5% mensual también puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre.

+ Info

Si un banco paga el 12% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12% anual es: F = P(1+i)n = 100(1.12)1 = $112.00

Si el banco paga un interés semestral, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés ganado en el primer periodo. Una tasa de interés del 12% anual, compuesto semestralmente significa que el banco pagará 6% de interés después de 6 meses y otro 6% después de 12 meses. Por lo tanto, los valores futuros de $100 después de 6 meses y después de 12 meses son: F6 = 100(1.06)1 = $106.00 F12 = 106(1.06)1 = $112.36

Tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal: r = tasa nominal n = periodos de capitalización

Ejercicios de práctica

Calcular la tasa de interés efectiva en los siguientes casos

Ejercicios de práctica

Una tarjeta de crédito tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado.

• Calcule la tasa efectiva por periodo semestral.

• Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre, encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y anuales.

• 2% mensual nominal = 2% (6 meses) = 12% semestral nominal

• Ó

Factores de interés y su uso

02

03

01

04

FactoresP/A y A/P

Factores F/A y A/F

Factores P/G y A/G

Factores F/P y P/F

Factores de flujo de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante en cada periodo

Cantidad compuesta pago único

Valor presente y de recuperación de capital para series uniformes

Fondo de amortización y cantidad compuesta para una serie uniforme

Factor de valor presente de pago único (FVPPU)

(P/F, i, n)

Valor presente dado un futuro

Un joven egresado desea comprar un automóvil que tiene un valor de $75,565.74 dólares en 3 años, por lo que invertirá en una cuenta de inversión que paga el 9% de interés anualmente. ¿Cuánto dinero debe invertir hoy para que pueda comprar el auto, tomando en cuenta una inflación anual del 6%?

datos

P = ¿?F = ... n = 3 i = 9% anual inflación del 6% anual

Pinversión = F (P/F, 9%, 3)

Fcarro = P (F/P, 6%, 3)

Factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU)

(F/P, i, n)

Valor futuro dado un presente

¿Cuanto dinero se requerirá en 5 años para pagar un préstamo hecho el día de hoy por $10,000 a una tasa del 10% anual si el dinero:a) Se capitaliza anualmente. b) Se capitaliza semestralmente.

b)F = ¿?P = $10,000 n = ... i = ...

datos

a)F = ¿?P = $10,000 n = 5 i = 10% anual

F = P (F/P, 10.25%, 5)

F = P (F/P, 10%, 5)

Ói = 10%/2 = 5% semestral

F = P (F/P, 5%, 10)

Factor de valor presente de pago único (FVPPU)

(P/F, i, n)

Valor presente dado un futuro

El Sr. Villa desea construir un garage que tiene un costo de $120,000 y cuya condición de pago es abonar el 30% al momento de suscribir el contrato de construcción y el saldo dentro de 18 meses a la conclusión y entrega del inmueble ¿Cuánto debe depositar en el banco en este momento para garantizar el pago, si la tasa de interés es del 24% anual capitalizable mensualmente?

datos

i = 0.24 anual / 12 meses/año = 0.02 mensual

P = ¿?F = $120,000 (0.7)= $84,000 n = 18 meses r = 24% anual ∴ i = ...

Suponga que usted invierte $5,000 el día de hoy, $10,000 dentro de un año y $15,000 dentro de 2 años a una tasa anual del 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuanto puede retirar en:

a) tres años?

b) cinco años?

F = $5000(F/P, 12.55%, 3)+ $10,000((F/P,12.55%, 2) + $15,000(F/P,12.55%, 1)= $36,679.

F = $5000(F/P, 12.55%,5)+ $10,000((F/P, 12.55%,4) + $15,000(F/P, 12.55%,3)= $46,462.5

Factor de recuperación del capital (FRC)

(A/P, i, n)

Serie uniforme equivalente dado un valor presente

Una persona compra un auto que cuesta $100,000. Da un anticipo de $20,000 y acuerda pagar el resto en 24 mensualidades a una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto deberá pagar cada mes? ¿Cuánto habrá pagado de interés cuando termine?

datos

P = $100,000 - $20,000= $80,000n = 24 meses r = 18% anual cap mes ∴ i = 18% / 12 = 1.5% A = ¿? I = ¿?

I = 24 ($3,993.928) - $80,000 = $15,854.272

Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU)

(P/A, i, n)

Valor presente de un flujo de efectivo uniforme

¿Cuánto dinero deberá destinarse para invertir hoy para obtener $600 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el proximo año, a una tasa de rendimiento del 16% anual?

datos

P = ¿?A = $600 anualmenten = 9 años i = 16% anual

Factor de recuperación del capital (FRC)

(A/P, i, n)

Serie uniforme equivalente dado un valor presente

Una persona quiere adquirir una TV cuyo costo de contado es de $12,000 ... El vendedor le ofrece pagar seis mensualidades iguales, ...; y le informa que el interés que cobra la tienda es de 3% mensual.

datos

P = $12,000n = 6 meses i = 3% mensual A = ¿?

Comprobable porque al final no se ha pagado de más, ni existe saldo pendiente (ceros)

Es injusto tanto considerar que todos los meses se deben $12,000, como que cada mes se deben sólo $2,000. En un criterio de pago justo sólo se deben pagar intereses sobre saldos insolutos, es decir, sobre la deuda no pagada o pendiente.

Comprobable porque al final no se ha pagado de más, ni existe saldo pendiente (ceros)

Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU)

(P/A, i, n)

Valor presente de un flujo de efectivo uniforme

Usted debe de pagar $1,000 bimestralmente durante un año, empezando dentro de un semestre. ¿Cuál sería su deuda al día de hoy, si la tasa es del 24% anual capitalizable bimestralmente?

datos

2) Equivalencia de deuda generada al período 0 (P0)

A = $1,000 bimestralt = 1 año P = ¿?r = 24% anual bimestral i = 24% / 6 = 4% bimestral n = 6

1) Valor presente de A en el bimestre 2 (un período antes del primer flujo de la serie uniforme)

Factor de cantidad compuesta de una serie uniforme (FCCSU)

(F/A, i, n)

Valor futuro de la serie uniforme

Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. ¿Cuál es la cantidad que Formasa ganaría a una tasa del 14% anual?

datos

F = ¿?A = $1,000,000t = 8 año i = 14% anual ∴ n = 8 F = A (F/A, 14%, 8)

Factor de cantidad compuesta de una serie uniforme (FCCSU)

(F/A, i, n)

Valor futuro de la serie uniforme

Si se comienza hoy y se hacen 5 depósitos de 1,500 anuales durante cinco años, en una cuenta que paga el 10% anual, ¿cúanto dinero se habrá acumulado después del último deposito?

datos

A = $1,500t = 5 años i = 10% anualF = ¿? n = 5 F = A (F/A, 10%, 5)

Factor de fondo de amortización

(A/F, i, n)

Serie uniforme de un valor futuro

Si usted tiene que pagar una letra de $50,000 dentro de 3 años, ¿qué cantidad tendría que pagar cada dos meses a partir del próximo bimestre para saldar dicha deuda en dos años, a una tasa del 18% anual capitalizable bimestralmente? ¿Cuánto se ahorraría de intereses al hacer los pagos de esta manera?

datos

F = $50,000 t = 2 años ∴ n = 12 r = 18% anual cap. bimestral ∴ i = 18% / 6 = 3% bimestral A = ¿? A = F (A/F, 3%, 12)

F12 = P12 = F (P/F, 3%, 6) = 50,000(0.8375) = 41,875‬ A = F12 (A/F, 3%, 12) = 41,875(0.0705) = $ 2,952.19

I = 50,000 – 12($2,952.19)= $ 14,573.75‬

¿Cuánto dinero voy a tener ahorrado en 25 años si deposito $5000 pesos anuales comenzando dentro de 3 años hasta el año 15; $1500 en el año 16 y $2000 anuales del año 17 al 22, con un interés de 8% anual ?

datos

F16 = $1,500 A2 = $2,000 n = 6 i = 8% anual

F = ¿? t = 25 años A1 = $5,000 n = 13

F = VF serie $5000 + VF pago único $1500 + FV serie $2000

F = A1(F15/A1, 8%, 13)(F/P15, 8%, 10)+ P16(F/P16, 8%, 9)+ A2(F22/A2, 8%, 6) (F/P22, 8%, 6)

VF serie $2000

VF serie $5000

1) F22 = $2000 (F22/A2, 8%, 6)= $2000 (7.3359) = $14,671.8

1) F15 = $5000 (F15/A1, 8%, 13)= $5000 (21.4953) = $107,476.5

F = $1500 (F/P16, 8%, 9)= $1500 (1.999) = $2,998.5

F22 → P22

F15 → P15

+ $2,998.5

$18,482.066

$232,031.15

= $253,511.582

VF25

2) F/P15 = $107,476.5 (F/P15, 8%, 10)=$107,476.5(2.1589) = $232,031.15

2) F/P22 = $14,671.8 (F/P22, 8%, 6)= $14,671.8 (1.2597) = $18,482.066

Factores de gradiente aritmético

P = G (P/G, i%, n) F = G (F/G, i%, n) A = G (A/G, i%, n)

Gradiente creciente

Suponga que hoy compra un automóvil en $150,000 USD y que el mantenimiento del vehículo le costará $3,000 USD el primer año, incrementándose cada año en $500 USD durante 9 años. ¿Cuanto debería tener el día de hoy para hacerle frente a esos desembolsos, con una tasa del 6% anual?

P1 = 150,000 + A (P/A, 6%, 10)= 150,000 + 3,000 (7.3601) = $172,080.3‬0

datos

P = P1 + P2P1 = $150,000 + P/A P2 = P/G A = $3,000 n = 10G = + $500 t = 9 años i = 6% anual

P2 = G (P/G, 6%, 10)= $500 (29.6023) = $14,801.15‬

P = P1 + P2= 172,080.3‬0 + 14,801.15 = $186,881.45

Factores de gradiente aritmético

P = G (P/G, i%, n) F = G (F/G, i%, n) A = G (A/G, i%, n)

Gradiente creciente

Usted recibe un préstamo de $10,000 a una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente, y se compromete a pagar durante 10 semestres a partir del próximo semestre una cantidad que incrementará en $100 semestrales. Calcule: a) la cantidad que deberá pagar el primer semestre; b) la cantidad que deberá pagar el último semestre.

datos

a) 10,000 = A (7.7217) + 100(31.6520) A(7.7217) = 10,000 – 3,165.20 A = $885.14

P = $10,000 USDr = 10% anual cap. semestral ∴ i = 10%/2 = 5% semestralt = 10 semestres G = + $100 USD

P = A (P/A, i%, n ) + G (P/G, i%, n)$10,000 = A (P/A, 5%, 10 ) + $100 (P/G, 5%, 10)

b) Pago (n=10) = 885.14 + 900 = $1,785.14

Factores de gradiente aritmético

P = G (P/G, i%, n) F = G (F/G, i%, n) A = G (A/G, i%, n)

Gradiente decreciente

Una persona compra un departamento dando un anticipo de $750,000 y 50 pagos mensuales consistentes en pagar $50,000 el primer mes y decrementandose esta cantidad en $1,000 mensuales. ¿Cuál es el valor al contado del edificio, si la tasa es del 24% anual capitalizable mensualmente?

datos

P = $750,000 + P/A - P/GA = $50,000 G = - $1,000r = 24% anual cap. mensual∴ i = 24%/12 = 2% semestral n = 50

P = Anticipo + A (P/A, i%, n ) - G (P/G, i%, n)P = 750,000 + 50,000 (P/A, 2%, 50) - 1,000 (P/G, 2%, 50) = 750,000 + 50,000(31.4236) - 1,000(642.3606) P = $ 1,678,819.4‬0

Ingeniería Económica

Ingeniería Industrial

3-2023

Tecnológico Nacional de México Campus Mérida

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Ejemplo de Diagrama de flujo de caja o flujo de efectivo

• En este diagrama puede apreciarse flujos de entrada (flechas hacia arriba) y flechas hacia abajo indicando egresos.
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