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Lemme de Sperner
mehdi brahim
Created on August 12, 2023
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Transcript
Lemme de Sperner et théorème de Brouwer
M. Brahim
Encadré par K. Tzanev
2022-2024
Lemme de Sperner
M. Brahim
Encadré par K. Tzanev
2022-2024
Histoire du lemme de Sperner
Emanuel Sperner (1905-1980)
Le lemme de Sperner, nommé d'après le mathématicien allemand Emanuel Sperner (1905-1980), a été découvert par Sperner en 1928 alors qu'il travaillait sur la théorie des ensembles. À l'époque, il était étudiant en mathématiques à l'université de Leipzig.
Le lemme de Sperner est apparu pour la première fois dans sa thèse de doctorat, intitulée « Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes » (que nous pourrions traduire par : « Nouvelle preuve de l'invariance de la dimension et de la région »). Dans cette thèse, Sperner étudiait la topologie de l'espace euclidien et des polyèdres et il a découvert le lemme de Sperner comme un outil utile pour démontrer l'invariance de la dimension.
Le lemme de Sperner a ensuite trouvé des applications importantes en combinatoire, en particulier dans le domaine de la théorie des graphes. Il est également étroitement lié au théorème de Brouwer, qui a été découvert par le mathématicien hollandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) en 1912.
Depuis sa découverte, le lemme de Sperner a trouvé de nombreuses applications en mathématiques, en informatique, en physique...
Activité n°1
Lemme de Sperner en dimension 1
Énoncé
Lemme de Sperner en dimension 1
Lemme : Soit un n-uplet composé de 0 et de 1, alors soit ce n-uplet commence et finit par le même chiffre, alors le nombre de fois qu'un 0 apparaît à coté d'un 1 est pair soit commence et finit par un chiffre différent, alors ce nombre est impair.
Démonstration
Lemme de Sperner en dimension 1
Si a1 ≠ a2, les couples possibles sont (0,1) et (1,0), alors |J2| vaut 1 et est donc impair.
Si a1 = a2, les couples possibles sont (0,0) et (1,1). Dans les deux cas, |J2| vaut 0 et est donc pair.
Raisonnement par récurrence !
Cas n°1 : a1 = ak+1
Si a1 ≠ ak :
Si a1 = ak :
a1
ak
ak+1
a1
ak
ak+1
ak ≠ ak+1
On ajoute 1 ! ak ≠ ak+1 donc le lien est bleu.
ak = ak+1
Rien à ajouter ! ak = ak+1 donc le lien est noir.
Hypothèse de Récurrence : Puisque a1 ≠ ak, |Jk| est impair.
Hypothèse de Récurrence : Puisque a1 = ak, |Jk| est pair.
Finalement, pair + 0 = pair.
Finalement, impair + 1 = pair.
Cas n°2 : a1 ≠ ak+1
Si a1 = ak :
Si a1 ≠ ak :
a1
ak
ak+1
a1
ak
ak+1
ak ≠ ak+1
On ajoute 1 ! ak ≠ ak+1 donc le lien est bleu.
ak = ak+1
Rien à ajouter ! ak = ak+1 donc le lien est noir.
Hypothèse de Récurrence : Puisque a1 ≠ ak, |Jk| est impair.
Hypothèse de Récurrence : Puisque a1 = ak, |Jk| est pair.
Finalement, pair + 1 = impair.
Finalement, impair + 0 = impair.
Activité n°2
Lemme de Sperner en dimension 2
Le jeu de Sperner
Activité n°3
Lemme de Sperner en dimension 2
Énoncé
Lemme de Sperner en dimension 2
Lemme : Pour toute triangulation d'un triangle avec la numérotation de Sperner, il existe au moins un sous-triangle avec des sommets tous différents. De plus il y en a un nombre impair.
Démonstration
Numérotation ou étiquetage de Sperner
Etape 3
Etape 2
Etape 2
Etape 2
Etape 4
Etape 2
Etape 1
Etape 0
Démonstration
Construction de notre maison
Portes
Démonstration
Les différentes pièces de notre maisons
0 porte
1 porte
2 portes
3 portes ?
Démonstration
Portes de notre maison
Démonstration
Portes de notre maison
Lemme de Sperner en dimension 1 !
Démonstration
Chemins de notre maison
Démonstration
Chemins de notre maison
Conclusion : Il existe toujours au moins un sous-triangle possédant trois sommets de couleurs différentes.
Démonstration
Chemins de notre maison
Chemins de type 1 : Ils commencent et finissent hors du triangle et ne font pas apparaitre de triangle qui nous intéressent.
Chemins de type 2 : Ils commencent hors du triangle et finissent à l'intérieur. Ils font apparaitre un triangle qui nous intéressent.
Chemins de type 3 : Ils commencent et finissent dans du triangle et font pas apparaitre deux triangles qui nous intéressent.
Démonstration
Conclusion
Conclusion : Il existe toujours un nombre impair de sous-triangle possédant trois sommets de couleurs différentes.
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