ANALISIS COMBINATORIO

ANÁLISIS COMBINATORIO

TÉCNICAS DE CONTEO

¿QUÉ ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?

El Análisis Combinatorio resuelve problemas estadísticos haciendo uso de las fórmulas para las Permutaciones, Combinaciones y ordenaciones, las cuales son útiles en las diversas áreas de conocimiento en la que se aplique el análisis de datos.

¿QUÉ ES UNA TÉCNICA DE CONTEO y para que sirven?

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Sirve para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos.

PRINCIPIOS DEL CONTEO

1.PRINCIPIO DE ADICIÓN

Si una situación puede ocurrir de manera distinta y una segunda situación( Excluyente a la primera)puede suceder de "n"maneras distintas, entonces existen "m+n" formas en las que pueden acontecer la primera y la segunda situación.

2.PRINCIPIO DE MULTIPLICATIVO

Si un evento puede ocurrir de "m" maneras distintas y un segundo evento puede suceder independientemente del primero de "n" maneras distintas entonces el número de formas diferentes en que pueden ocurrir es "m x n".

3.PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN

Supongamos que tenemos "N" objetos. Supongamos que algunos de los objetos tienen la propiedad α y que algunos no la tienen. Denotemos con N(α) el número de objetos que tienen la propiedad α y que algunos no la tienen. En forma similar supongamos que algunos de los objetos tienen la propiedad β. Denotemos con N(β) el número de objetos que tienen la propiedad β y que algunos no la tienen. Si hubiera otras propiedades (γ), (δ) denotemos con N(γ). N(δ) el número de objetos que tiene la propiedad γ y el número de objetos que tiene la propiedad δ.

TÉCNICAS DE CONTEO

1.PERMUTACIÓN

Es un arreglo u ordenamiento que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación. sí interesa el orden de sus elementos Se pueden presentar en tres casos :

• PERMUTACIÓN LINEAL: Es un arreglo u ordenamiento de elementos en línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos A = (a.b. c. d) los posibles arreglos a permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son:

ab: ba: bc: cbac: ca: bd: db vemos que hay 12 permutaciones distintas. ad: da: cd: dc

Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles, si aplicamos el principio de multiplicación.

• PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Son las distintas agrupaciones formadas con "r" elementosque pueden repetirse, eligiéndolos de entre los "n" elementos de que disponemos, considerando que influye el orden de colocación de sus elementos.

Permutación con repetición ejemplo: Con el conjunto X= {1, 2, 3, 4} formar pares. De manera gráfica vemos: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3;3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Como SI importa el orden, no es lomismo (1,2) que (2,1), entonces consideramos cada una de ellas. Y es con repetición puesto que repite (1,1) o (2,2)...No de arreglos = 16

• PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN: Son las distintas agrupaciones formadas con "r "elementos yno pueden repetirse, eligiéndolos de entre los "n "elementosde que disponemos, considerando que influye el orden de colocación de sus elementos.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3;3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Como SI importa el orden, no es lo mismo (1,2) que (2,1), entonces consideramos cada una de ellas. Y no se cuentan las repeticiones (1,1) o (2,2)...No de arreglos = 12 FORMULA: Pn ^ r =n!/n - r!

• PERMUTACIÓN CÍCLICA: Son las distintas agrupaciones formadas con n elementos colocación de sus elementos de manera cíclica.

FORMULA: Pn= (n − 1)!EJEMPLO: En una mesa para un debate, ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas si es una mesa redonda?P 8= 8 − 1 ! =7!= 5,040

• PERMUTACIÓN POR GRUPOS: Es el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera, .... , nr son similares aún de otra manera, es
• FORMULA: P n n1n2n3 =n!/n1!, n2!, n3 ! ... nn!

EJEMPLO: Cuantos números de cinco cifras hay en las que el 2 aparezca una vez, el 7 dos veces y el 9 dos veces también. En este casose tiene: n=5! n1=1!; porque el 2 aparece una vez. n2=2! Porque el 7 aparece dos veces y n3=2! Porque el nueve aparece 2 veces Pn1n2n3 5 = 5!/ 1!,2!,23! =30

2. COMBINACIONES

Es el número de arreglos posibles en donde no interesa el orden.Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: NO influye el orden en que se colocan.

• COMBINACIONES CON REPETICIÓN: Son las distintas agrupaciones formadas con "r"elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los "n" elementos de que disponemos, considerando una distinta a otra sólo si difieren en algún elemento (No influye el orden decolocación de sus elementos). Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Con el conjunto X= {1, 2, 3, 4} formar pares. De manera gráfica vemos: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3;3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Como no importa el orden, da lo mismo (1,2) que (2,1), entonces solo consideramos una de ellas.Y es con repetición puesto que repite (1,1) o (2,2)... No de arreglos = 10 n=4 r=2

• COMBINACIONES SIN REPETICIONES: Son las distintas agrupaciones formadas con "r"elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, y NO influye el orden de colocación de suselementos.

Con el conjunto X= {1, 2, 3, 4} formar pares. De manera gráfica vemos: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3;3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Como no importa el orden, da lo mismo (1,2) que (2,1), entonces solo consideramos una de ellas.Pero sin las repeticiones como (1,1) ,(2,2)... No de arreglos = 6n=4 r=2

3. REGLA DE MULTIPLICACIÓN

Si hay "m" formas de hacer una cosa y hay "n" formas de hacer otra cosa, entonces hay "m x n" formas de hacer ambas cosas, es decir, el numero total de formas de hacer ambas cosas sería "m x n." m=2, n=4 entonces 2x4 = 8 Esta regla se puede extender a más de dos eventos. Para tres eventos (m, n, o) se tendría que el número total de eventos sería, de m x n x o. m=3, n=2, o=2 entonces 3x2x2 = 8 La regla de multiplicación se utiliza en el caso de que los sucesos A y B sean independientes y sin reemplazo (cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro). FORMULA: Nº de maneras = n × m

EJEMPLO: Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada aB, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C, ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje de A a C pasando por B? Nº de maneras = 2 × 3 = 6

¿QUÉ ES UN NÚMERO FACTORIAL?

La función factorial es una fórmula matemática representada por el signo de exclamación “!”. El factorial de un número entero positivo es el producto de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el. EJEMPLO: 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 Es habitual utilizar funciones Factoriales para calcular combinaciones y permutaciones. Gracias al Factorial se pueden llegar a calcular también probabilidades. Una propiedad importante del factorial es que: n! = n · (n-1)!

¿QUÉ ES UN NOTACIÓN FACTORIAL?

La notación factorial se usa para calcular el producto de los primeros n números naturales, es decir, los enteros positivos, comenzando desde el 1 hasta el valor de n. Se denota mediante un signo de admiración y se llama n factorial:n! = 1⋅2⋅3…. (n-1)⋅n

• Propiedades de la notación factorial

1. Por conveniencia se acordó definir 0! como igual a 1, es decir: 0! = 1.
2. El valor de 1! = 1
3. Si a! = b!, significa que a = b, siempre que a⋅b ≠ 0. La excepción son los valores 0 y 1, ya que 1! = 1 = 0!, como se acaba de enunciar, pero es claro que 1 ≠ 0.
4. Si m < n, entonces m! < n! y por tanto m! está contenido en n!: n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1)⋅m…n
5. Para n mayor o igual a 2 se tiene que:n! = n⋅(n-1)!Ya que según la definición:n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 …. (n-1)]⋅n La expresión contenida entre corchetes es precisamente (n-1)!