I ROMBI

I ROMBI: DEFINIZIONE, TEOREMI ED ESERCIZI

Presentazione di Maria Cianchetti, Samuele De Ciantis, Francesca Lucchetti e Giulia Mauti

Inizia!

Come sono definiti i rombi?

Un rombo è un quadrilatero in cui tutti i lati sono congruenti.

In particolare, in un rombo sono congruenti i lati opposti, quindi è classificato come parallelogramma.Il quadrilatero ABCD è un rombo perchè i suoi lati sono raggi congruenti agli archi tracciati; poichè un rombo è un parallelogramma, le diagonali si tagliano a metà, formando i due segmenti AM e MB, che sono congruenti. (AM≅ MB) Concludiamo quindi che M è il punto medio medio di AB.

Indice

Teoria

Le proprietà: primo Teorema

Condizioni sufficienti: secondo teorema

Esercizi

Vero o falso?

Dimostrazioni

Determina le ampiezze

Problemi geometrici

01

Teoremi e dimostrazioni

TEOREMA

In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.

Ipotesi: ABCD rombo; Tesi: AC⊥BD; AC e BD bisettrici degli angoli;

DIMOSTRAZIONE: ABCD è un parallelogramma e le sue diagonali si tagliano a metà. BD è la diagonale che divide il rombo in due triangoli isosceli perché i lati ABCD sono congruenti. AM e MC sono mediane, altezze e bisettrici, quindi AC⊥BD e AC è bisettrice di BA^D e BC^D. Nella diagonale AC si prendono i triangoli isosceli ABC e ACD e otteniamo AC⊥BD e BD è bisettrice di AB^C e AD^C. In un rombo le diagonali formano quattro triangoli: rettangoli, essendo diagonali perpendicolari, e con i cateti congruenti, perché le diagonali di un parallelogramma si tagliano a metà quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, un rombo è diviso dalle diagonali in quattro triangoli rettangoli congruenti.

TEOREMA

Condizioni sufficienti

Un parallelogramma è un rombo se ha: 1. le diagonali perpendicolari, OPPURE 2. una diagonale bisettrice di un angolo

DIMOSTRAZIONE 1. Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, è un rombo. HP: ABCD parallelogramma; AC⊥BD TH: ABCD rombo - Abbiamo il parallelogramma ABCD ( e M, punto centrale) che ha BM≅MD, perché M è un punto medio e AM^B≅AM^D Quindi per il 1° criterio sono congruenti >> in particolare AB≅AD, e in più il parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti e quindi è un rombo.

TEOREMA

Condizioni sufficienti

Un parallelogramma è un rombo se ha: 1. le diagonali perpendicolari, OPPURE 2. una diagonale bisettrice di un angolo

DIMOSTRAZIONE 2. Se un parallelogramma ha una diagonale bisettrice di un angolo,è un rombo. HP: ABCD parallelogramma; BD bisettrice di AB^C TH: ABCD rombo -Abbiamo CD^B ≅ AB^D perchè angoli alterni interni sono formati da rette parallele AB e CD, tagliate da BD; - AB^D ≅ DB^C perchè BD è bisettrice di AB^C; - CD^B ≅ DB^C per proprietà transitiva. Quindi il triangolo CBD è isoscele con BC≅CD, in più il parallelogramma ABCD ha due lati consecutivi congruenti e quindi è un rombo.

02

Esercizi

VERO O FALSO?

Un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rombo

FALSO

Un parallelogramma è un rombo, ma un rombo non è un parallelogramma.

FALSO

Le diagonali di un rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti.

vero

Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari può non essere un rombo

vero

es.82

DIMOSTRAZIONi

es. 87

La bisettrice dell'angolo  di un triangolo ABC interseca il lato opposto BC nel punto P. Conduci per P le rette parallele ai lati del triangolo che intersecano AB in Q e AC in R. Dimostra che AQPR è un rombo.

HP:

TH:

• AP bisettrice
• ABC triangolo
• PQ // AR
• PR // AQ

• AQPR rombo

DIMOSTRAZIONE:

Secondo un teorema, un parallelogramma è un rombo se ha una diagonale bisettrice di un angolo. AP bisettrice del triangolo e del parallelogramma al suo interno;

• α ≅ β perchè angoli alterni interni delle rette parallele PQ e AR tagliate da AP
• α ≅ γ perchè angoli tagliati dalla bisettrice AP
• β ≅ γ per la proprietà transitiva ⇒ il triangolo APQ è isoscele
• il parallelogramma ha due lati consecutivi conguenti, quindi è un rombo c.v.d.

DIMOSTRAZIONi

es. 91

Indicato con V il punto d'incontro delle diagonali del rombo ABCD, conduci per V le parallele al lato BC che incontra AB in P. Dimostra che PB≅PV.

TH:

HP:

• ABCD rombo
• V punto d'incontro e punto medio
• BC // PV

• PB≅PV

DIMOSTRAZIONE:

BC e PV sono paralleli per ipotesi, di conseguenza α ≅ β perchè sono angoli alterni interni delle due rette tagliate da BD.

• β ≅ γ perchè angoli tagliati dalla bisettrice BD
• α ≅ γ per la proprietà transitiva ⇒ BPV è un triangolo isoscele
• PB≅PV c.v.d.

Con le misure

es. 96

es. 95

Angolo supplementare (congruente ad un angolo piatto, 180°)

125°

38°

90°

Angolo complementare (congruente ad un angolo retto, 90°

Teorema "somma degli angoli interni di un triangolo", (congruente ad un angolo piatto,180°)

PROBLEMI GEOMETRICI

es. 99

Considera il triangolo equilatero ABC di perimetro 24cm e la bisettrice BD dell'angolo in B. Conduci da D le parallele ai lati CB e AB che incontrano i lati stessi in E e F. Determina il perimetro del rombo DEBF.

RICHIESTA:

DATI:

• P/2: 24cm
• BD bisettrice
• DE // BF
• DF // BE
• BEBF rombo
• ABC triangolo equilatero

• P/2 DEBF?

SVOLGIMENTO:

• Il trianglo è equilatero, di conseguenza L=P/2:3 (Misura del lato, 24cm:3=8cm)
• BD è bisettrice di un triangolo equilatero, quindi è anche mediana e altezza; AD≅DC e AC≅AD+DC (Il lato AD, 8cm:2=4cm)
• BC//DF, quindi Ĉ≅α perchè angoli corrispondenti delle due rette tagliate da AC
• BC//DF quindi β ≅ γ perchè angoli corrispondenti tagliati da AB
• Di conseguenza, ADF è equilatero e AD≅ FD (P/2 rombo, FDx4; 4cmx4= 16cm)

PROBLEMI GEOMETRICI

es. 101

In un rombo ABCD la diagonale AC è maggiore della diagonale BD. Sapendo che l'altezza DH forma con BD un angolo di 28°, determina le ampiezze degli angoli del rombo.

RICHIESTA:

DATI:

• 2δ e 2ε?

• ABCD rombo
• AC>BD
• α ≅ 28°

M I

SVOLGIMENTO:

• Chiamando M il punto d'incontro delle parallele e I il punto d'intersezione, notiamo che DMI è un triangolo rettangolo: β= π-( π/2 + α) per la proprieta degli angoli di un poligono.

β= 180-(90+28) = 62°

• β ≅ γ perchè opposti al vertice, δ= π-( π/2 + γ ) per la proprietà precedente.

δ = 180-(90+62) = 28°, 2δ = 28x2= 56°

• ε = π-( π/2 + δ) per la stessa proprietà.

ε = 180-(90+28) = 62° , 2ε = 62x2= 124°

FALSO!

Il rombo è incluso nella categoria dei parallelogrammi, ma è errato affermare che ogni tipo di parallelogramma sia un rombo.

VERO!

Ed è dimostrabile tramite il primo criterio di congruenza: Il puntro d'incontro tra le diagonali di un rombo forma quattro lati congruenti a coppie. Essendo perpendicolari, avranno ordinatamente congruenti i due lati e l'angolo compreso tra essi.

VERO!

La domanda ha come obbiettivo finale quello di far confondere il quadrilatero (poligono con quattro lati e quattro angoli) con il parallelogramma (quadrilatero con i lati opposti paralleli).In questo caso la frase è vera perchè un altro quadrilatero con questa caratteristica è il quadrato.

FALSO!

Per definizione, un quadrilatero con le diagonali congruenti è un quadrato o un rettangolo. Le diagonali di un rombo sono invece perpendicolari.