Sistemes d'equacions

sistemes d'equacions

Institut Dertosa

Índex

Sistemes d'equacions lineals

01

Mètode gràfic

02

Mètode de substitució

03

Mètode d'igualació

04

Mètode de reducció

05

1.

Sistemes d'equacions lineals

Sistemes d'equacions lineals

Una equació lineal amb dues incògnites és una equació que es pot escriure en la forma: ax + by = cExemple: 3x + 2y = 12 En l'equació anterior, x i y són les incògnites. Els nombres 3 i 2 s'anomenen coeficients de les incògnites i 12 rep el nom de terme independent. Un parell de valors de les incògnites x i y és una solució d'una equació lineal amb dues incògnites si, en substituir-los en l'equació, es compleix la igualtat. Exemple: x = 1, y = –2 és una solució de 2x – y = 4, ja que 2 · 1 – (–2) = 4

Sistemes d'equacions lineals

Un sistema d'equacions lineals és un conjunt de diverses equacions lineals amb les mateixes incògnites que s'han de verificar simultàniament.Exemple: S'anomena solució d'un sistema d'equacions lineals un conjunt de nombres que és solució de totes les equacions del sistema. Exemple: El parell de valors x = 3, y = 2 és solució del sistema anterior ja que

2.

Mètode gràfic

Tipus de sistemes

Mètode gràfic

Per resoldre gràficament un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites hem de representar les dues equacions sobre uns mateixos eixos de coordenades. Si les rectes que s'obtenen es tallen en un punt, les coordenades d'aquest punt són la solució del sistema. Exemple: 1. Aïllem y en les dues equacions:

Mètode gràfic

2. Construïm taules de valors:

Mètode gràfic

3. Representem les rectes:

La solució del sistema és x = 4, y = 2, ja que les dues rectes es tallen en el punt (4, 2). Un sistema que té una única solució s'anomena sitema compatible determinat. Gràficament, en aquests sistemes les dues rectes són secants.

Mètode gràfic

Si les gràfiques de les dues equacions són rectes paral ·leles, el sistema no té solució, perquè no hi ha cap punt que pertanyi a les dues rectes. El sistema és incompatible.

Mètode gràfic

Si les gràfiques de les dues equacions són la mateixa recta (rectes coincidents), el sistema té infinites solucions, atès que qualsevol punt d'una de les rectes també pertany a l'altra. El sistema és compatible indeterminat.

Mètode gràfic

3.

Mètode de substitució

Mètode de substitució

Per resoldre un sistema utilitzant el mètode de substitució cal seguir aquests passos: 1. S'aïlla una de les incògnites en una de les equacions. 2. L'expressió obtinguda en aïllar al pas 1 se substitueix a l'altra equació en el lloc de la incògnita. 3. Es resol l'equació obtinguda, que és de primer grau amb una sola incògnita. 4. S'esbrina el valor de l'altra incògnita substituint el valor obtingut a l'equació aïllada.

Mètode de substitució - Exemple

1. Aïllem x en la primera equació: 2. Substituïm 20 – 4y en el lloc de x a la segona equació:

Mètode de substitució - Exemple

3. Resolem l'equació obtinguda, que és de primer grau: 4. Substituïm y = 2 a l'equació aïllada, x = 20 – 4y: La solució del sistema és x = 12, y = 2. Comprova que, en substituir a les equacions inicials, es compleixen les dues igualtats.

Mètode de substitució

4.

Mètode d'igualació

Mètode d'igualació

Per resoldre un sistema d'equacions utilitzant el mètode d'igualació cal seguir aquests passos: 1. S'aïlla la mateixa incògnita a les dues equacions. 2. S'igualen les expressions obtingudes per a la incògnita aïllada, de manera que s'obté una equació de primer grau amb una sola incògnita. 3. Es resol l'equació resultant. 4. Se substitueix el valor de la incògnita obtinguda en alguna de les equacions on aparegui aïllada l'altra incògnita i se'n calcula el valor.

Mètode d'igualació - Exemple

1. Aïllem x en les dues equacions: 2. Igualem les expressions obtingudes per a x:

Mètode d'igualació - Exemple

3. Resolem l'equació obtinguda, que és de primer grau: 4. Substituïm y per 2 en una de les equacions aïllades, per exemple x = 3 + y: La solució del sistema és x = 5, y = 2. Comprova-ho!

Mètode d'igualació

5.

Mètode de reducció

Mètode de reducció

Per resoldre un sistema utilitzant el mètode de reducció cal seguir aquests passos: 1. Es multipliquen les dues equacions pels nombres adients per tal d'igualar però amb signe contrari els coeficients d'una de les incògnites en les dues equacions. 2. Es sumen les equacions resultants per tal d'eliminar la incògnita elegida al principi. D'aquesta manera s'obté una equació amb una sola incògnita. 3. Es resol l'equació obtinguda. 4. El valor obtingut se substitueix en una de les equacions del sistema per trobar el valor de l'altra incògnita.

Mètode de reducció - Exemple

1.Triem una de les dues incògnites per igualar-ne els coeficients (amb signe contrari), per exemple, x. Multipliquem la primera equació per 2, que és el coeficient a la segona equació de la incògnita triada i la segona equació per -3 (així aconseguim que els coeficients d'x siguin 6 i -6:

Mètode de reducció - Exemple

2. Sumem les dues equacions per eliminar la incògnita x: 3. Resolem l'equació: 4. Substituïm y = 3 en una de les equacions inicials. Per exemple, en la segona: La solució del sistema és x = 6, y = 3. Comprova-ho!

Mètode de reducció

sistemes d'equacions

Institut Dertosa