Álgebra Lineal Curso de Verano

• Profesor: ING. EDUARDO ANTONIO MENA CALDERON
• Alumno: OSCAR ADRIAN MENDEZ CHABLE

Introducción al Álgebra Lineal - Curso Verano 2023

¿Qué es el Álgebra Lineal?

Es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y, en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales..

¿Qué veremos en este curso?

Una introducción a ciertos elementos del álgebra lineal tales como:

1. Espacios y subespacios vectoriales
2. Transformaciones lineales
3. Espacios vectoriales con producto interior
4. Vectores propios
5. Valores propios

Espacios Vectoriales

O también llamados espacios lineales

¿QUÉ ES UN ESPACIO VECTORIAL?

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (suma) y una operación externa (producto por un escalar).

Para que sea espacio vectorial, las operaciones antes mencionadas para el conjunto deben cumplir con 8 propiedades.

Un subespacio vectorial hereda las operaciones del espacio bien definidas, por lo cual también es un espacio vectorial.

Como ejemplo de espacios vectoriales podemos encontrar cualquier cuerpo, matrices, polinomios, funciones trigonométricas, etc.

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Transformaciones Lineales

También llamadas aplicaciones lineales

¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL?

Para que una aplicación sea denominada lineal debe cumplir ciertos requisitos, los cuales se les conoce como "principio de superposición"

Es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición entre vectores y producto por escalar.

Toda transformación lineal posee un núcleo (kernel) y una imagen. Además, la dimensión del dominio se puede expresar en función de la dimensión de estas dos.

Toda transformación lineal es una función, pero no toda función es una transformación lineal.

Espacios vectoriales con producto interior

¿QUÉ ES EL PRODUCTO INTERIOR?

Para que una operación sea considerada un producto interior debe cumplir con ciertas condiciones.

También conocido como producto escalar o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Si a un espacio vectorial sobre el cuerpo R o C (real o complejo) dotado de un producto interior se denomina espacio prehilbertiano.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido.

Vectores y valores propios

También llamadas autovectores y autovalores

¿QUÉ SON LOS VECTORES Y VALORES PROPIOS?

Los autovectores de una aplicación lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por la aplicación, dan lugar a un múltiplo de sí mismos.

El escalar (múltiplo) del resultado anterior se conoce como autovalor. Puede que un mismo autovalor esté asociado a más de un autovector.

Para poder encontrar los autovalores y autovectores se utiliza el "polinomio característico".

Los autovalores poseen una multiplicidad algebraica y una multiplicidad geométrica.