Parábola. Geometría Analítica

Geometría Analítica

Parábola

Dra. Irma Nava Sánchez CECYT NO. 1 “GONZALO VÁZQUEZ VELA”

Empezar

Presentación del módulo

Vértice en el origen V(0,0)Vértice fuera del origen V(h,k)

Para profundizar

Parábola con vértice en el origen V (0, 0)

Introducción: La importancia del estudio de la Geometría Analítica en el Nivel Medio Superior radica en que su enfoque teórico – práctico, brinda habilidades para abordar situaciones problemáticas que se pueden presentar en los ámbitos académico y social. La geometría analítica, que nace de la fusión de la geometría y el álgebra, trata de resolver dos problemas: uno de ellos es: • Dada la ecuación encontrar el lugar geométrico que cumple una condición, y el otro es, • Dado el lugar geométrico encontrar su ecuación que cumpla con la condición de lugar geométrico.

Parábola. Definición. - La parábola como lugar geométrico: Es el conjunto de puntos de un plano cuya distancia al punto fijo en el plano, llamado foco y la distancia a una recta fija en el plano, llamada directriz, es la misma.

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen

𝑥2=±4𝑝𝑦 La parábola que tiene signo positivo en la ecuación abre hacia el eje vertical hacia arriba o en el eje horizontal hacia la derecha.

𝑦2=±4𝑝𝑥 La parábola que tiene signo negativo en la ecuación abre hacia el eje vertical hacia abajo o en el eje horizontal hacia la izquierda.

𝑥2=±4𝑝𝑦 V (0,0) F(0,p) |𝐿𝑅|=4𝑝

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𝑦2=±4𝑝𝑥 V (0,0) F(0,p) |𝐿𝑅|=4𝑝

Graficar con GeoGebra:

Es un software matemático dinámico para todos los niveles educativos, en particular yo lo utilizaré en esta Unidad de Aprendizaje Geometría Analítica para graficar una de las cónicas, en este caso, parábolas.

Dada la ecuación 𝒚𝟐=𝟖𝒙, graficar:

Dada la ecuación 𝒙𝟐=𝟏𝟐𝒚, graficar:

Aquí se puede trabajar geometría, álgebra, hojas de cálculo, gráficas, estadística, etc. Ejemplos de gráficas de ecuaciones de la parábola con vértice en el origen.

Presentación del video vértice en el Origen y fuera del origen

Parábola con vértice fuera del origen V (h, k)

Las parábolas no siempre tienen su vértice en el punto (0, 0). Muchas veces, las parábolas tienen a su vértice fuera del origen en el punto (h, k).

Recordemos que la ecuación de una parábola cuando el vértice está ubicado en el origen es 𝒙𝟐=𝟏𝟐𝒚 o 𝒚𝟐=𝟖𝒙. Además, recordemos que la forma vértice de una parábola es:

𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐−𝒌

Al combinar estas ecuaciones, podemos obtener una ecuación para parábolas con vértice fuera del origen.

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Si la parábola está orientada horizontalmente, la ecuación será

(𝒚−𝒌)𝟐=4p(x−h).

Si la parábola está orientada verticalmente, la ecuación será

(𝒙−𝒉)𝟐=4p(y−k).

Dirección de la parábola, según su ecuación

En los diagramas se pueden ver que, dependiendo en cual variable esté elevada al cuadrado, la parábola se orienta horizontal o verticalmente, Cuándo la X está elevada al cuadrado, la parábola está orientada verticalmente y cuando la Y es elevada al cuadrado, la parábola está orientada horizontalmente.

Además, si es que el valor de p es mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba o hacia la derecha, es decir, hacia la parte positiva de los ejes. Por otra parte, cuando el valor de p es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda o hacia abajo, es decir, hacia la parte negativa de los ejes.

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Ecuación de la Parábola, Gráfica y ecuación cuando conocemos vértice y foco Ejemplo 2

Dada la ecuación, calcular sus elementos y graficar en cuaderno y GeoGebera:

(𝑥+3)2=8(𝑦−5)

La ecuación (𝑥+3)2=8(𝑦−5) es de la forma (𝑥−ℎ)2=4𝑝(𝑦−𝑘), entonces:

Vértice: ℎ=−3; 𝑘=5; ∴ 𝑽(−𝟑,𝟓)

Parámetro: 8=4𝑝 𝑝=84=2 ∴ 𝒑=𝟐

Foco: 𝑭(𝒉,𝒌+𝒑)=𝑭(−𝟑,𝟓+𝟐)=𝑭(−𝟑,𝟕) ∴ 𝑭(−𝟑,𝟕)

Lado Recto: |𝐋𝐑|=|𝟒𝐏|=|𝟒(𝟐)|=|𝟖|=𝟖 ∴ |𝐋𝐑|=𝟖

Directriz: 𝑦=𝑘−𝑝=5−2=3 ∴ 𝒚=𝟑

GRAFICAR CON GEOGEBRA Y CUADERNO

Dada la ecuación, calcular sus elementos y graficar en cuaderno y GeoGebera:

(𝑦+3)2=−10(𝑥−1)

La ecuación (𝑦+3)2=−10(𝑥−1) es de la forma (𝑦−𝑘)2=−4𝑝(𝑥−ℎ), entonces:

Vértice: ℎ=1; 𝑘=−3; ∴ 𝑽(𝟏,−𝟑)

Parámetro: −10=−4𝑝 𝑝=−10−4=104 =52=2.5 ∴ 𝒑=𝟓𝟐=𝟐.𝟓

Foco: 𝑭(𝒉−𝒑,𝒌)=𝑭(𝟏−𝟓𝟐,−𝟑)=𝑭(−𝟑𝟐,−𝟑) ∴ 𝑭(−𝟑𝟐,−𝟑)

Lado Recto: |𝐋𝐑|=|𝟒𝐏|=|𝟒(𝟓𝟐)|=|𝟐𝟎𝟐|=𝟏𝟎 ∴ |𝐋𝐑|=𝟏𝟎

Directriz: 𝑥=ℎ+𝑝=𝟏+𝟓𝟐=𝟕𝟐 ∴ 𝒙=𝟕𝟐=𝟑.𝟓

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Sesiones de aprendizaje / 01

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