Tipos de eventos

Tipos de Eventos

Mutuamente excluyentes

Independientes

Dependientes

Mutuamente excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes o disjuntos son aquellos donde la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, en otras palabras, no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo.

En un diagrama de Venn, los subconjuntos de estos eventos no tienen elementos en común, es decir, .

Ejemplo 1

Ejemplo 2 1a Parte

Ejemplo 2 2a Parte

Independientes

Ejemplo 1

Otro tipo de eventos son los eventos independientes, definidos como aquellos que no se afectan entre si.

Ejemplo 2 (Planteamiento)

Ejemplo 3 (Planteamiento)

Ejemplo 2 1a Parte

Ejemplo 3 1a Parte

Ejemplo 2 2a Parte

Dependientes

Por otro lado, se encuentran los eventos dependientes donde la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro. Para que se entienda mejor retomaremos la rifa de la compañía.

Ejemplo 1

Ejemplo 1 1a Parte

En una compañía se va a hacer una rifa a los empleados cuyo número es de 138 y el número de regalos a rifar son 78, de los cuales 10 son pantallas.Supongamos que el empleado Jesús desea sacarse una pantalla. Hallar:a) La probabilidad que tiene Jesús de ganar una pantalla.b) La probabilidad de que gane cualquier premio.

En un restaurante se encuentran trabajando dos tortilladoras. Una de ellas produce 540 tortillas por hora, de los cuales suelen salir 8 mal. La otra máquina produce 720 tortillas por hora y resultan defectuosas 12.Si se toma una tortilla en una hora al azar de la segunda máquina, encontrar la probabilidad de que no sea defectuosa. Además, Conforme al resultado obtenido, a qué conclusión se puede llegar referente a la eficiencia de esta máquina.

Solución Aunque hay dos máquinas, como solo se pide calcular la probabilidad de un producto sacado de la segunda máquina, sin que se involucre para nada la otra los eventos son independientes, así que para encontrar lo solicitado solo hay que utilizar los datos de la segunda máquina.

De acuerdo con el resultado obtenido, se puede concluir que es una máquina muy eficiente, ya que es casi seguro que el articulo seleccionado no sea defectuoso.

Una maestra va a evaluar a sus estudiantes por medio de tarjetas donde tiene varios cuestionamientos, para que a cada alumno le pueda tocar cualquiera de ellas saca una al azar y conforme la contestan la vuelve a meter entre las otras.El número de tarjetas es de 30, de las cuales 8 son de historia, 8 de ciencias naturales, 8 de ciencias sociales y 6 de español, el número de alumnos es de 25.Sean los eventos:A: que un alumno le toque contestar una pregunta de ciencias naturales (n).B: que un alumno le salga una tarjeta para contestar una pregunta de español (e).C: que un alumno le toque contestar una pregunta de ciencias naturales o español.D: que un alumno le salga una tarjeta que contestar una pregunta de Matemáticas (m).Encontrar:a) Tipo de eventos.b) El espacio muestral del suceso.c) El conjunto de los eventos.d) Tipo de relación que hay entre los eventos.e) Representación de los eventos en un diagrama de Venn, f) Probabilidad de cada evento.

Solución a) Para encontrar lo que se pide lo primero es identificar el tipo de eventos con los que se trabaja; conforme a lo visto, los eventos son independientes, debido a que la probabilidad de sacar un empleado no interfiere con la probabilidad del regalo que se extrae.Sin embargo, se quiere que se den dos eventos a la vez, en el primer inciso se quiere que gane Jesús una pantalla, este se puede dividir en dos: Evento A: Jesús sale electo para ganar un premio.Evento B: El premio que salga sea una pantalla.Entonces, se quiere la ocurrencia de A y B, esto es: P(A y B)=P(A∩B)=P(A)∙P(B)Es oportuno hacer una aclaración, a este tipo de probabilidad se le conoce como probabilidad conjunta cuya fórmula es la anterior para eventos independientes.a) Sabiendo que la probabilidad de que Jesús sea electo es de uno entre 138 empleados, y la posibilidad de que el regalo sea una pantalla es de 10 entre 78, se tiene: b) La probabilidad de que gane cualquier evento se da solo con salir electo esto es: Este resultado se puede obtener también aplicando la fórmula para probabilidad conjunta, observa:

Se tiene el suceso del nacimiento de un bebé, se quiere que sea niña, encontrar: a) El espacio muestral del suceso. b) El conjunto de elementos del evento. c) La probabilidad de que sea nifa. d) Argumentar a qué tipo de eventos pertenecen. e) Representación del suceso en diagrama de Venn.

Solución Para esta situación el espacio muestral S está formado por dos posibilidades, las cuales podemos representar con letras o números para identificarlos, el caso favorable del evento: que sea niña lo simbolizaremos con 1, y el evento que sea niño con 0. d) Los eventos son disjuntos, ya que al nacer un bebé, solo puede tener un sexo.

Solución a) Al tipo de sucesos como el planteado, ya que las tarjetas utilizadas se vuelven a reponer para ser sorteadas, recibe el nombre de probabilidad con reemplazo y los eventos son independientes porque cada vez que se saca una tarjeta es como si iniciara de cero.b) El espacio muestral del suceso está formado por: S={8 de h, 8 de n, 8 de s, 6 de e} c) Evento A: que un alumno le toque contestar una pregunta de ciencias naturales se puede representar como: A={In, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n) El evento B: que un alumno le toque contestar una pregunta de español. C=(1e,2e, 3e, 4e, 5e, 6e)Evento C: que un alumno le toque contestar una pregunta de ciencias naturales o español. C={ln, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, le, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e] El evento D: que un alumno le toque contestar una pregunta de Matemáticas es: D ={ }, este último evento es cero porque no hay de matemáticas.

Solución d) Los eventos A, B y D son eventos independientes ya que no tienen relación entre si, sin embargo, el evento C es una conjunción de los eventos A y B.

Los eventos A, B y D son eventos independientes ya que no tienen relación entre si, sin embargo, el evento C es una conjunción de los eventos A y B.

Los regalos que va a rifar una compañía consta de 10 pantallas, 10 hornos de microondas, 9 licuadoras, 8 planchas, 10 cafeteras, 5 teteras, 6 juegos de copas, 10 juegos de vasos, 5 relojes para dama y 5 relojes para caballero.Calcular: a) La probabilidad de que los dos primeros regalos que salgan sean pantallas.b) La probabilidad de que el primer regalo sea una pantalla y que el segundo sea un horno.c) La probabilidad de que el regalo que salga sea de cocina y además sea eléctrico.

Sea el experimento lanzar un dado, se quiere que, en la cara de arriba quede un número menor que 3, o mayor o igual que 4. Determinar:a) Tipo de eventos.b) El espacio muestral del suceso.c) Los subconjuntos que hacen verdaderos a los eventos.d) Tipo de relación que hay entre los eventos.e) Representación de los eventos en un diagrama de Venn.f) Probabilidad del evento.

Soluciónf) Como se observa en el diagrama de Venn A∩B=0, así que la probabilidad de launión de estos eventos está dada por la formula: p(A∪B) = p(A) + p(B) De acuerdo con la probabilidad clásica se tiene que: Fíjate que en este tipo de eventos no existe la intersección de conjuntos, debido a que no tienen elementos en común, esto es: A∩B=0. En otras palabras, no hay elementos que cumplan con las dos condiciones de los eventos, es decir, no existe ningún elemento que sea menor que 3 y mayor o igual a 4. Sin embargo, puede haber otros eventos que no son disjuntos y al tener elementos en común es necesario restar los eventos que tienen en común para que no se sumen dos veces, por tanto, la fórmula para este tipo de casos queda como: p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Solución a) La probabilidad de este evento se obtiene calculando la primera posibilidad de que salga una pantalla multiplicada por la probabilidad de que el segundo regalo sea también una pantalla. Esto es:

En el procedimiento se utilizó el principio multiplicativo visto antes, porque para sacar la primera pantalla había 10 pantallas de los 78 regales por la probabilidad de que se saque la segunda pantalla, de las cuales quedan 9 de 77 regalos, ya que en primer lugar se sacó una.b) En este inciso, donde el primer regalo se quiere una pantalla por el segundo que es un horno, se tiene

Como podrás apreciar, este evento sube un poco su probabilidad de que ocurra y esto se debe a que el segundo regalo que se desea aumenta ligeramente la posibilidad de salir ya que quedan 10 hornos de los 77 regalos que quedaron después de haber salido la pantalla. c) Para encontrar la probabilidad de que el regalo que salga sea de cocina y además eléctrico hay que determinar el número de casos favorables, es decir, los regalos que cumplen las dos condiciones, estos son: los 10 hornos, las 9 licuadoras y las 10 cafeteras, haciendo un total de 29 regalos que cumplen la doble condición. Por lo que su probabilidad es de:

Sea el experimento lanzar un dado, se quiere que, en la cara de arriba quede un número menor que 3, o mayor o igual que 4. Determinar:a) Tipo de eventos.b) El espacio muestral del suceso.c) Los subconjuntos que hacen verdaderos a los eventos.d) Tipo de relación que hay entre los eventos.e) Representación de los eventos en un diagrama de Venn.f) Probabilidad del evento.

Solución a) Al lanzarse el dado, se esperan dos posibles resultados, por lo que son dos eventos: A: que el número sea menor que 3. B: que el número sea mayor o igual que 4. El resultado de A no interfiere con el resultado de B, por tanto, estos eventos son mutuamente excluyentes. b) Espacio muestral S = {1,2,3,4,5,6} c) Los subconjuntos de los eventos: A = {1,2,} y B = {4,5,6} entonces A∪B = {1,2,4,5,6} e) En el diagrama de Venn es fácil identificar que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ya que, de acuerdo a la definición dada,no tienen elementos en común, esto es: A∩B=0.