PROBABILITA E STATISTICA

PROBABILITÀ E STATISTICA

Prof. Zanga

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Che cosè la probabilità?

Le probabilità è una scienza che studia gli eventi aleatori (casuali) dal punto di vista matematico. In questi eventi il risultato esatto non si può conoscere in anticipo. Ad es: la probabilità che un figlio nasca femmina è del 50%. Cosa vuol dire?

Vuol dire che su 100 bambini nati, circa 50 saranno femmine.

La probabilità che accada un dato evento E si indica come P(E). La probabilità si può indicare come percentuale, frazione o decimale.

Attenzione: nella probabilità non c'è mai vincita certa!!!

La definizione classica di probabilità si basa sull’ipotesi che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili. Ovviamente nella realtà non sempre si può avere tale condizione. Ad esempio, qual'è la probabilità che piova a ottobre? Come potrei avvicinarmi ad un valore veritiero di probabilità?

Nella probabilità frequentista la probabilità viene assegnata sulla base dei risultati di un esperimento ripetuto molte volte nelle stesse condizioni o consultando dati e statistiche ricorrenti. Secondo la legge dei grandi numeri, in un gran numero di prove fatte tutte nelle medesime condizioni, la frequenza relativa dei successi tende al valore teorico della probabilità.

Qual'è la frequenza assoluta dei giorni di pioggia ad ottobre a Firenze (basandoci su dati statistici del 2020)? E quella relativa? Ea Pisa?

Maggiore è il numero di prove, più affidabile è il risultato.

(In questo caso ci affidiamo a raccolte di dati e statistiche, quindi usiamo la probabilità frequentista)

I risultati non sono esattamente uguali, ma dato che il numero di nascite è molto alto si avvicinano molto. Se avessimo considerato solo un piccolo numero di nascite (ad esempio 3), avremmo ottenuto lo stesso risultato? (pensa a chi ha fratelli)

Qual'è la probabilità che venga estratta una biglia blu nel primo sacchetto? E nel secondo?

E qual'è, invece, la probabilità che in entrambi i sacchetti venga estratta una biglia blu? Se estraggo una biglia blu nel primo sacchetto, questo aumenta le possibilità di pescare una biglia blu nel secondo?

I due eventi sono indipendenti, dato che il verificarsi del primo non modifica la probabilità di verificarsi dell'altro. Se nel primo estraggo una biglia blu, questo non cambia la probabilità che esca una biglia blu nel secondo.

Per calcolare la probabilità che l'evento si verifichi in entrambi (probabilità composta di eventi indipendenti), devo moltiplicare la probabilità del primo per quella del secondo.

E qual'è, invece, la probabilità che o in uno o nell'altro dei sacchetti venga estratta una biglia rossa?

Se è indifferente da quale sacchetto esca la biglia rossa (quindi voglio che esca o da uno o dall'altro), devo sommare le probabilità dei due singoli eventi.

Stai bene attento:

• Quando voglio che l'evento accada SIA in un caso SIA nell'altro, devo moltiplicare tra loro le probabilità dei singoli eventi

• Quando voglio che l'evento accada O in un caso O nell'altro, devo sommare tra loro le probabilità dei singoli eventi

Attento: nella b) voglio che esca SIA una pallina gialla SIA una bianca O dall'urna a O dall'urna B.

Spesso è utile disegnare un grafo ad albero per visualizzare tutte le opzioni e le relative probabilità.

Se estraggo un biglia gialla dal sacchetto (e poi la tolgo) qual è la possibilità di estrarre una biglia gialla in una seconda estrazione dallo stesso sacchetto? Aver estratto una biglia gialla nella prima estrazione, modifica la probabilità nella seconda estrazione?

Come puoi notare, il numero di biglie nella seconda estrazione è cambiato. Cambia dunque anche la probabilità di estrarre una biglia gialla nella seconda estrazione.

Prima estrazione Seconda estrazione

I due eventi sono dipendenti: il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi dell'altro.

Quale sarà la possibilità di estrarre una biglia gialla SIA nella prima estrazione SIA nella seconda?

Prima estrazione Seconda estrazione

Quale sarà la possibilità di estrarre una biglia gialla O nella prima estrazione O nella seconda?

Prima estrazione Seconda estrazione

In caso di eventi dipendenti devi stare molto attento a come cambia la probabilità di uno in funzione di quello che è avvenuto nell'altro.

In quante possibili combinazioni si possono disporre questi tre gattini? Muovili e conta quante disposizioni possibili ci sono.

Se fossero stati due?

Se fossero stati quattro?

Se fossero stati duecento?

La formula per poter calcolare il numero di disposizioni è:

Elementi di statistica

Che grafico sarebbe adatto a rappresentare queste informazioni? Disegnalo!

Il criterio con cui raggruppare le classi di altezza lo puoi scegliere tu, ma fai in modo di avere almeno 4-5 gruppi!

Altri indici statistici molto utilizzati sono la MODA, la MEDIA e la MEDIANA.

Ad esempio, se i miei voti in matematica sono: 9, 9, 10, 8, 7, 6, 7, 8, 5, 7, 10

• la media sarà di: 7,8

• la mediana sarà: 8 (5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10)
• la moda è: 7

Possiamo utilizzare vari indici statistici, ovvero dei numeri utilizzati per dare informazioni sintetiche sui dati.

IL CAMPO DI VARIAZIONE

Ci fornisce informazioni sulla variabilità dei dati, indicando quanto è ampio il range dei valori (in quale intervallo ci stiamo muovendo?. Esempio: se i miei voti in pagella sono: 9, 8, 5, 4, 5, 6, 10, 7. Qual è il campo di variazione?

I valori vanno dal 10 al 4, coprendo un intervallo di 6 unità (10-4)

Ciascun indice statistico ha i suoi vantaggi e i suoi svantaggi e si utilizza per evidenziare un particolare aspetto.

Ripasso su aumenti e sconti in percentuale

Lo sconto

Lo sconto sul prezzo rappresenta una riduzione del prezzo originario e per trovarlo bisogna calcolare la percentuale di sconto sul prezzo iniziale.

PROBLEMA Michele compra un paio di scarpe che costavano 80 euro con uno sconto del 25%. Di quanto sarà lo sconto? Quanto pagherà le scarpe?

Devo calcolare quanto vale lo sconto in euro e sottrarre questo valore al prezzo iniziale.

Bravo Michele! Un grande affare!

L'aumento percentuale

L'aumento percentuale rappresenta l'incremento pari ad una certa quantità che si somma al valore di partenza. PROBLEMA: Ad Alzano, l'anno scorso, il numero di persone con gli occhiali era di 6350 . Se in un anno le persone con occhiali sono aumentate dell' 8%, quante persone con occhiali ci saranno oggi a Nembro?

Dovrò calcolare quante persone in più con gli occhiali ci sono quest'anno (l'aumento) e sommare il valore trovato al numero di partenza.

Bastava impostare una proporzione.

L'interesse

Quando si deposita una somma di denaro si riceve, dopo un certo periodo di tempo, un compenso, detto interesse: analogamente, se si chiede un prestito a una banca si deve restituire la somma ricevuta dopo un certo periodo e corrispondere alla banca un compenso che è detto ancora interesse. L’interesse dipende dalla somma depositata o chiesta in prestito e dal tempo di durata del deposito o del prestito.

L’interesse prodotto da un capitale di 100 euro in un anno, è detto tasso percentuale di interesse.

L'interesse

L'interesse

Come possiamo calcolare la percentuale di aumento o di sconto?

In generale, per trovare la percentuale di sconto o di aumento (e quindi la variazione di prezzo o di un qualsiasi in valore esprimendola come percentuale):

E come posso calcolare di quanto è più grande/ più piccolo un valore rispetto ad un altro in percentuale?

ESERCIZI INVALSI

Probabilità e gioco d'azzardo

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FINE