Primi passi nel calcolo letterale

Primi passi nel

CALCOLO LETTERALE

INIZIO

Scommetti che indovino il numero che hai pensato?

• pensa un numero
• moltiplica il numero pensato per 2
• aggiungi 10
• dividi il numero ottenuto per 2
• sottrai il numero che hai pensato
• ora ti dirò che numero hai ottenuto!

Proviamo a a chiamare x il numero pensato e scriviamo un modello per questo gioco:

• pensa un numero
• moltiplica il numero pensato per 2
• aggiungi 10
• dividi il numero ottenuto per 2
• sottrai il numero che hai pensato
• hai ottenuto il numero 5

Abbiamo ottenuto un' espressione letterale (in particolare un'equazione)!

Un'espressione letterale ( o espressione algebrica) è una scrittura in cui compaiono numeri, lettere e segni d'operazione! Hai già avuto a che fare moltissime volte con espressioni letterali. In quali occasioni?

Hai già visto le lettere in matematica nelle formule di geometria, ad esempio!

Per trovare il valore di un'espressione contenente lettere devo sostituire alle lettere un valore.

Prova a scrivere l'espressione letterale per il perimetro di questa figura:

Potremmo semplificare questa espressione?

...ma possiamo fare di meglio!

Questa è la forma semplificata!

Prova a scrivere l'espressione letterale per il perimetro di questa figura:

Ora semplifica! Ma attenzione: non posso sommare tra loro lettere diverse!

Semplifica l'espressione. Ricorda che in una somma algebrica ogni termine va considerato con il proprio segno! Aiutati cerchiando con dei colori termini con lettere uguali.

2y - 3x - 6z + 6y - 5x + x - 4y + 11z - 5y + 3z =

2y + 6y - 4y - 5y -3x -5x + x -6z + 11z + 3z =

-y -7x + 8z

L'area del rettangolo è un buon modello per visualizzare il prodotto!

Con i numeri...

Sapresti disegnare un rettangolo per cui A=3x ⋅4x? Scrivi poi il valore dell'area.

RICORDA: ogni volta che moltiplichi tra loro lettere uguali stai elevando quella lettera a potenza! Questo non avviene però per lettere diverse tra loro!

RICORDA: ogni volta che moltiplichi tra loro lettere uguali stai elevando quella lettera a potenza! Questo non avviene però per lettere diverse tra loro!

4x ⋅ 3x = (4 ⋅ 3) ⋅ (x ⋅ x) = 12x2

Numeri con numeri e lettere con lettere. Se lettere uguali si moltiplicano tra loro, usa le proprietà delle potenze con stessa base.

6x ⋅ 7y = (6 ⋅ 7) ⋅ (x ⋅ y) = 42xy

Proviamo ora a esplorare il concetto del volume con le lettere! Il volume è dato sempre dal prodotto di 3 dimensioni! Infatti il volume è caratteristico delle figure tridimensionali!

Che cos'è ciascuno di questi mattoncini? Da che cosa è composto? Quali operazioni appaiono?

+3x2y

I monomi

GRADO:

Il coefficiente può essere un numero qualsiasi (naturale, relativo, razionale, irrazionale, etc...). Nella parte letterale possono esserci solo le operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza (che è di fatto una moltiplicazione)!

Questi SONO monomi: Questi NON sono monomi perchè contengono addizioni e sottrazioni (scopriremo poi cosa sono):

Determina per ciascuna di queste espressioni qual è il coefficiente, qual è la parte letterale, il grado e se vi sono costanti.

ATTENZIONE: se la lettera sta al denominatore NON è un monomio (è una frazione algebrica).

COEFFICENTE

-2x3y

PARTE LETTERALE

MONOMI SIMILI

-3x3y +7x3y

MONOMI NON SIMILI

-3x3y +7x5y

Attenzione! Le lettere possono anche essere scritte in ordine diverso!

Le costanti sono tutte simili tra loro (dato che non hanno parte letterale). Nelle addizioni e nelle sottrazioni posso raccogliere solo monomi simili!

Quando si addizionano ( o sottraggono) monomi simili si ottiene un monomio che ha come coefficiente la somma (o la differenza) dei coefficienti e la stessa parte letterale dei monomi dati.

SOTTOLINEA I MONOMI SIMILI

PUOI SCRIVERE I MONOMI SIMILI VICINI MA ATTENTO AI SEGNI NELLO SPOSTARLI!

SVOLGI LE OPERAZIONI IN ORDINE

LASCIA SCRITTI I MONOMI NON SIMILI COSì COME SONO

2y - 3x - 6z + 6y - 5x + x - 4y + 11z - 5y + 3z =

2y - 3x - 6z + 6y - 5x + x - 4y + 11z - 5y + 3z =

2y + 6y - 4y - 5y -3x -5x + x -6z + 11z + 3z =

-y -7x + 8z

+3a

-5b

+7a

-14c

-7c

-2a

+8b

-6b

+4c

-3

-5y

+3xy

-5x

+2y

+9

+6x

+8y

-4xy

-4y

-3x3

-8y

+3y2

+9x

+2y

+3x2

-7x

-1y2

-14a

-8

-7b3

+6a

-5b2

+15

+5b3

+8b2

-4a

Semplifica questa espressione letterale:

Prodotto tra monomi

Il prodotto tra monomi è un monomio che ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle parti letterali. Valgono sempre le regole dei segni!!! Attenzione! Posso moltiplicare tutti i monomi tra loro, non devono necessariamente essere monomi simili!

MOLTIPLICAZIONE

+2x3y

(-5x4y5)

-10

x7y6

MOLTIPLICAZIONE

-x2y

(-5x4z6)

+5

x6yz6

Attenzione alle precedenze!

• Quanto costa il biglietto del treno AR per arrivare in aeroporto?
• Quanto costa il biglietto AR per la Tunisia?
• Quanto costa il passaggio AR aeroporto albergo?
• Il prezzo dell’hotel per una settimana?
• E qual’è il costo complessivo AR per una persona?

Esprimi ogni spesa sotto forma di un monomio!

NOTA BENE: i prezzi per ogni biglietto/notte in hotel sono DIVERSI tra loro!

• Prezzo biglietto del treno AR per arrivare in aeroporto?

2a - un monomio

• Prezzo biglietto AR per la Tunisia? 2b - un monomio

• Prezzo passaggio AR aeroporto albergo? 2c - un monomio

• Prezzo dell’hotel per una settimana? 7d - un monomio

• Costo complessivo AR per una persona?

2a + 2b + 2c + 2d …..che cos’è?? UN POLINOMIO!

Il polinomio è la somma algebrica di due o più monomi. Ogni monomio viene detto termine del polinomio. I termini che sono delle costanti (non hanno parte letterale) si chiamano termini noti del polinomio.

TERMINE NOTO

Un polinomio viene reso ordinato scrivendo i termini in modo che il l'esponente della parte letterale diminuisca da sinistra a destra. Il termine noto viene sempre scritto per ultimo.

NON ORDINATO

Attenzione: quando si sposta un monomio si sposta anche il segno!!!

ORDINATO

Questo polinomio è anche completo perchè presenta tutte le potenze dal grado più alto fino al grado zero (termine noto).

Il grado di un polinomio è uguale al grado del suo monomio di grado più alto.

Somma algebrica di polinomi

La somma algebrica di polinomi equivale alla somma algebrica dei singoli termini presenti nei polinomi. Ricorda: è possibile sommare o sottrarre SOLO MONOMI SIMILI!

ATTENZIONE AI SEGNI QUANDO SI TOLGONO LE PARENTESI!

VALGONO LE STESSE REGOLE PER LA SOMMA DI MONOMI

Somma algebrica di polinomi

Quando tolgo le parentesi, il segno che c'è davanti vale per tutti i termini all'interno della parentesi! Nota come in questo caso il segno meno davanti alla parentesi fa cambiare il segno a tutti i termini all'interno della tonda.

Due polinomi la cui somma è zero si dicono opposti.

(9x - 4y + 3y2) - (-7x +8y +3x2 ) =

+9x

-7x

+3x2

+8y

+3y2

-4y

-9x

+4y

-3y2

+7x

-8y

-3x2

- (6a + 8b2 -14a - 8) + (-5b2 +4a -15) =

+6a

+15

-5b2

-14a

-4a

+8b2

-8

-6a

-15

+5b2

+14a

+4a

-8b2

+8

Prodotto di un numero per un polinomio

Quando un numero moltiplica un polinomio, tutti i termini del polinomio vanno moltiplicati per quel numero. Ricorda che il simbolo della moltiplicazione può anche essere omesso. PRESTA SEMPRE MOLTA ATTENZIONE AI SEGNI!!!

FINE

...continua al terzo anno...