Calculo de limites

INFOGRAFÍA

cÁLCULO DE LÍMITES

Límite de una funcón

En matemáticas, el límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la función cuando x se acerca a ese punto.

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Teorema de los límites

Los teoremas básicos para determinat el límite de una función son los siguientes:

Límites bilaterales

Límites unilaterales

límites al infinito

límites infinitos

Continuidad de funciones

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

Función continua

Función discontinua removible

Función discontinua

• Cálculo de límites paso a paso. (s. f.). https://www.problemasyecuaciones.com/limites/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html
• Funciones. (2021). Límite de una función. Funciones matemáticas. https://www.funciones.xyz/limite-de-una-funcion/#como-calcular-el-limite-de-una-funcion

Límites unilaterales

Los teoremas siguientes cumplen para una gran cantidad de funciones estudiadas: Teorema 1: si el límite exuste, entonces es única. Teorema 2: Si c es una constante, lim c = c (x-a). Teorema 3: lim x=a (x-a) Teorema 4: lim [f(x)±g(x)] = L±M (x-a) Teorema 5: lim [f(x)g(x)] = LM (x-a) Teorema 6: lim [f(x)/g(x)] = L/M, si M≠0 (x-a) Teorema 7: lim cf(x) = cL (x-a) Teorema 8: Si ce es una cosntante, lim [f(x)]^n = L^n (x-a) Teorema 9: lim p(x) = p(a) (x-a) Teorema 10: lim √f(x) = √L, si L ≥ 0 Teorema 11: lim n √f(x) = n √L (x-a)

Cálculo de límites

No exiset un algoritmo matemático bein definido para cálcular el límite de una función f(x) para ceirto valor x, pero generalmente ayuda seguir los siguientes pasos: Primero: sustituir el valor x en la funcion f(x), observa el ressultado y si este es un número o valor infinito ya hemos terminado. En caso contrario sigue lo siguiente: se transofrma o simplifica la función utilizando propiedades e identidades algebraicas, trigonometricas o trascendentales y posterioirmente se calcula el limite. Si aún no se consugue encontrar el valor del límite, se recomeinda probar otra transformación algebraica, teigonometrica o trascendental.

Discontinuidad removible

Si el límite de una función f(x) no existe para un cierto valor de la variable independiente x, entonces la función no es continua. Se dice que una función presenta una discontinuidad removible cuando se puede redefinir de tal manera que se cumpla la tercera condición.

Discontinuidad escencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x=a. Ejemplos: 1 f(x) = x^2 si x ≤2 Evaluamos la función en x ≤2 f(2) = 4 Encontramos el límite por la izquierda lim x^2 = 4 (x-2-) y el límite por la derecha no existe, ya que no es finito lim f(x) (x-2+). En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

Límites bilaterales

En algunos fenomenos tiene mayor relevancia, analizar el comportamiento de la variable independiente, en valores previos a alcanzar determinado valor o bien, en valores posteriores, de este modo se tiene la posibilidad de estudiarles a traves de límites bilaterales. Límites por la derecha: se considera que una funcion f(x) se aproxiama a un valor L por la derecha, cuando la variable independiente x tiende a un valor asignado a únicanmente por la derecha: lim f(x) = L (x-a+) Límites por la izquierda: se considera que una funcion f(x) se aproxiama a un valor L por la izquierda, cuando la variable independiente x tiende a un valor asignado a únicanmente por la derecha: lim f(x) = L (x-a-) Teorema 12: El límite de la función f(x) existe para el valor a si y solo si existen los límites por la izquierda y por la derecha para la misma función para el mismo valor a y si ademas estos dos límites son iguales: lim f(x) = L (x-a-) y lim f(x) = L (x-a+)

Función continua

De modo análogo, una función tendrá continuidad si no se presentan en ella puntos de ruptutas, es decir, puntos donde la función no se encuentre definida o bien, en el caso de qie el límite de la función no exista cuando la variable independiente a dicho punto. Una función f es continua en a solo si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones: 01 f(a) existe 02 lim f(x) existe (x-a) 03 lim f(x) = f(a) (x-a) En caso de que una o más de estas condiciones no se cumpla, se asume que la función f es discontinua a.

Límites al infinito

Consideremos el siguiente límite: lim f(x) = L (x-a) Si la constante a que es el valor al cual tiende la variable independiente x va tomando valores cada vez más garbdes sin detenerse en cota superior alguna se dice entonces que la variable x tiende al infinito, si el límite se denota de la siguiente manera: lim f(x) = L (x-∞) De la misma manera si la constante va tomando valores negativos cada vez mpas grandes sin detenerse en cota inferior alguna, entonces se dice que la variable x tiende al infinito negativo, si el límite existe se denota de la siguiente manera: lim f(x) = L (x-(-∞))

Límites infinitos

En este tipo de funciones, si se aprecia que el valor de la función f(x) crece arbitrariamente cuando la variable independientemente x se acerca a in ciaerto valor a, entonces se recomeinda varificar el comportemiento de la función f(x) cuando la variable independiente x se acerca al valor a tanto por la izquierda como por al derecha.Caso 01: lim f(x) = ∞ (x-a+) y lim f(x) = ∞ (x-a-) Caso 02: lim f(x) = ∞ (x-a+) y lim f(x) = -∞ (x-a-) Caso 03: lim f(x) = -∞ (x-a+) y lim f(x) = ∞ (x-a-) Caso 04: lim f(x) = -∞ (x-a+) y lim f(x) = --∞ (x-a-)