NUMERI INTERI RELATIVI-frazioni positive e negative

I NUMERI

INTERI

Prof. Zanga

Oddio, che caldo! Che temperatura c'è?

Oddio, che freddo! Che temperatura c'è?

Sono sufficienti i numeri che conosciamo fino ad ora per esprimere una temperatura molto fredda?

Per rappresentare temperature molto basse dobbiamo utilizzare il simbolo - (meno) davanti al numero. L'insieme dei numeri interi non è composto solo da numeri positivi (+) ma anche da numeri negativi (-) e viene chiamato insieme Z (interi relativi).

I numeri minori di zero sono detti negativi e hanno il simbolo meno (-) davanti. Quelli maggiori di zero sono numeri positivi: di solito non si scrive il segno più (+) davanti. Riesci a pensare ad altre situazioni in cui vengono utilizzati numeri negativi nella realtà?

Al mattino il termometro indica -5°C. Se durante la giornata la temperatura aumenta di 8°C, a quanti gradi arriverà il termometro?

+ 3

+ 8

- 5

Prova a scrivere l'operazione che hai appena svolto!

Oggi fa più freddo e il termometro indica -7°C. Se durante la giornata la temperatura aumenta di solo 3°C, a quanti gradi arriverà il termometro?

- 4

+ 3

- 7

Prova a scrivere l'operazione che hai appena svolto!

Al pomeriggio il termometro indica 4°C. Se durante la notte la temperatura diminuisce di 9°C, a quanti gradi arriverà il termometro?

- 5

- 9

+ 4

Prova a scrivere l'operazione che hai appena svolto!

Sulla retta dei numeri, il numero più piccolo si trova sempre a sinistra del più grande. Due numeri che si trovano alla stessa distanza dallo zero si dicono opposti (es. +3 e -3). L'opposto di zero è lo zero stesso. La somma di due numeri opposti è sempre zero. La scrittura -a indica l'opposto del numero. La scrittura +a indica il numero stesso.

Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, ovvero il numero relativo intero considerato senza il segno, ma sono discordi.

simbolo del valore assoluto

Due numeri sono concordi quando hanno lo stesso segno e discordi quando hanno segno opposto.

Addizione di numeri interi

Quando si addiziona un numero positivo, ci si sposta verso destra (verso l'alto del termometro).

Quando si addiziona un numero negativo, ci si sposta verso sinistra (verso il basso del termometro). L'addizione di un numero negativo equivale alla sottrazione del suo opposto.

Bisogna stare molto attenti ai segni e alle parentesi!

Ad esempio:

Sto addizionando un numero negativo, quindi devo scendere verso il basso del termometro.

+ 2 - 3 = -1

+ 2 + (- 3)

Sto addizionando un numero positivo, quindi devo salire verso l'alto del termometro.

- 2 + 3 = +1

- 2 + (+ 3)

Ricorda:

Sottrazione di numeri interi

Per sottrarre da un numero intero un altro numero intero, basta addizionare al primo numero (il minuendo) l’opposto del secondo numero (il sottraendo).

Ricorda:

Per poter svolgere i calcoli, è necessario togliere le parentesi!

Ricorda sempre queste "regole dei segni"!

La somma algebrica

La somma algebrica rappresenta una serie di addizioni e sottrazioni tra numeri interi.

Essendo una "somma" puoi applicare le proprietà dell'addizione (commutativa e associativa) ma ogni numero deve essere considerato un tutt'uno con il proprio segno!

SOMMA ALGEBRICA

NUMERI DISCORDI (segno opposto)

NUMERI CONCORDI (stesso segno)

-3 - 5 = -8

-3 + 5 = +2

+3 + 5 = +8

+3 - 5 = -2

Faccio un'addizione, segno che c'è

Faccio una sottrazione, segno del maggiore

Moltiplicazione di numeri interi

Il prodotto di due numeri interi relativi è un numero:

• positivo quando i due numeri sono concordi;
• negativo quando i due numeri sono discordi.

In entrambi i casi il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti.

Che segno avrà questa moltiplicazione?

Moltiplicazione di tre o più numeri interi

Per moltiplicazioni con più fattori, basta spezzare la moltiplicazione, calcolare il prodotto e applicare la regola dei segni un po' alla volta!

...chi va piano, va sano e va lontano!

Potenza numeri interi

RICORDA: La potenza di un numero intero è il prodotto di tanti fattori, ciascuno uguale alla base, quante sono le unità dell’esponente.Quando la base è positiva, la potenza è sempre positiva (classica potenza che conosciamo).Quando la base è negativa deve essere scritta tra parentesi. Il segno sarà:

• positivo quando l'esponente è pari
• negativo quando l'esponente è dispari

NON RICORDARE, RAGIONA!

Divisione di due numeri interi

Il quoziente tra due numeri interi relativi è un numero

• positivo quando i due numeri sono concordi;
• negativo quando i due numeri sono discordi.

In entrambi i casi il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti.

Gioco per velocizzare il calcolo mentale con i numeri interi Clicca qui

Risoluzione di espressioni con numeri relativi

1. Controllo delle parentesi tonde ➡️ Ci sono parentesi tonde con più di un numero? Sì ➔ Segui questi passaggi nell'ordine: 🔹 Sottolineo e risolvo le potenze 🔹 Sottolineo e risolvo moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono 🔹 Sottolineo e risolvo addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono No ➔ Passa al punto successivo 2. Controllo delle parentesi quadre ➡️ Ci sono parentesi quadre con più di un numero? Sì ➔ Segui questi passaggi nell'ordine: 🔹 Sottolineo e risolvo le potenze 🔹 Sottolineo e risolvo moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono 🔹 Sottolineo e risolvo addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono No ➔ Passa al punto successivo 3. Controllo delle parentesi graffe ➡️ Ci sono parentesi graffe con più di un numero? Sì ➔ Segui questi passaggi nell'ordine: 🔹 Sottolineo e risolvo le potenze 🔹 Sottolineo e risolvo moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono 🔹 Sottolineo e risolvo addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono No ➔ Passa al punto successivo

Risoluzione di espressioni con numeri relativi

4. Risoluzione delle espressioni rimanenti ➡️ Rimangono operazioni da risolvere? Sì ➔ Segui questi passaggi nell'ordine: 🔹 Sottolineo e risolvo le potenze 🔹 Sottolineo e risolvo moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono 🔹 Rimuovo le parentesi 🔹 Sottolineo e risolvo addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono 5. Verifica del risultato finale ✅ Controllo il risultato e mi assicuro che tutte le operazioni siano state svolte correttamente. Attenzione: Gestione dei Segni ➡️ Lascia sempre il risultato delle operazioni tra parentesi per evitare che ci siano due segni consecutivi. Mantieni le parentesi se prima c’è un altro segno (+,-,x,:) ➡️ Quando ci sono due segni che “si scontrano”, rimuovi le parentesi applicando la regola dei segni: ➕ ➕ ➔ ➕ ➖ ➖ ➔ ➕ ➕ ➖ ➔ ➖ ➖ ➕ ➔ ➖ es. +3 - (-5) = +3+5= +8 es. 5 - (+7) = 5-7= -2

Risoluzione di espressioni con numeri relativi

Non solo numeri interi....

Qualsiasi numero può essere positivo o negativo! Frazioni, numeri decimali, numeri razionali, irrazionali,... Valgono esattamente le stesse regole di calcolo e le stesse regole dei segni! Lo vedremo più avanti!

ESERCIZI INVALSI

PER RIPASSARE

PARTE II

3°anno

NUMERI RAZIONALI E INSIEMI NUMERICI

Prof. Zanga

Ricordi ancora le frazioni....?

Ricordi ancora le frazioni....?

Ricordi ancora le frazioni....?

Se hai ancora bisogno d'aiuto, clicca sul pulsante qui sotto per una lezione di ripasso sulle frazioni!

Ricordi come confrontare due frazioni e stabilire quale è maggiore?

QUESTO è FACILE!

...E QUI?

Dobbiamo portare le frazioni allo stesso denominatore!

Per trovare facilmente quale denominatore utilizzare per creare le frazioni equivalenti, basta calcolare l'mcm tra i denominatori delle frazioni di partenza (trovo il minimo comun denominatore)

Se non ricordi, guarda il video nella diapositiva successiva...

Per confrontare velocemente due frazioni posso anche trovare il numero decimale corrispondente. Volendo, posso anche trasformare il decimale in percentuale.

O in alternativa.....trucchetto!

16

15

3x5=15 4x4=16

Se il risultato della prima operazione è maggiore del risultato della seconda, allora la prima frazione è maggiore, altrimenti è maggiore la seconda.

Anche i numeri decimali e le frazioni possono avere segno negativo!

Disegna una retta orientata e prova a posizionare questi numeri

Soluzione

Somma algebrica di due o più frazioni

Per sommare (o sottrarre) due frazioni, esse devono avere lo stesso denominatore.

Attenzione ai segni quando si devono togliere le parentesi!

Moltiplicazione tra frazioni

Moltiplicazione con frazioni positive e negative

...e se ho più di due fattori?

Puoi eseguire la moltiplicazione di due fattori per volta e applicare le regole dei segni come sai già fare, oppure ricordare che... Basta solo ragionare!!!

Divisione tra frazioni

Per dividere due frazioni tra di loro, è sufficiente moltiplicare la prima per l'inversa della seconda.

Per trovare l'inversa, basta invertire numeratore e denominatore.

Anche in questo caso, ora posso semplificare a croce prima di eseguire la moltiplicazione.

Divisione tra frazioni

Per dividere due frazioni per un numero naturale, ricordare che qualsiasi numero naturale ha divisore 1.

Moltiplico la prima frazione per l'inversa della seconda.

Divisione tra frazioni positive e negative

due frazioni negative

una frazione positiva e una negativa

Divisione tra frazioni positive e negative

Cosa accade quando eseguo una divisione tra due numeri qualsiasi? Prova:

53:303= 3:22= 7:12=

1296: 9= 3:4= 4:33=

12 : 4 = 3

5 : 2= 2,5

4 : 33= 0,121212 =

0,12

0,583

7 : 12= 0,583333 =

Insiemi numerici

Insiemi numerici

Insiemi numerici

Insiemi numerici

Come scriveresti sotto forma di frazione: 0,27 1,568 5 1234,7 12,08 0,5 1 0 20001,003 ?

Insiemi numerici

Alcune osservazioni importanti sui numeri

Insiemi numerici

Alcune osservazioni importanti sui numeri

NB: un numero intero ha denominatore 1

Insiemi numerici

Alcune osservazioni importanti sui numeri

NB: il valore assoluto non è MAI negativo

Insiemi numerici

Ma esistono anche numeri che non possono essere scritti sotto forma di frazione....

Ricordi? Sono quei numeri illimitati non periodici (vanno avanti all'infinito senza avere delle cifre che si ripetono periodicamente).

√2

Insiemi numerici

Questi numeri sono detti irrazionali.

L'insieme che racchiude tutti i numeri razionali e irrazionali si chiama insieme dei numeri reali, e si indica con la lettera R.

Insiemi numerici

La radice quadrata della maggior parte dei numeri non è un numero razionale.

Prova a calcolare con la calcolatrice la radice di:

10

...e la radice quadrata di 0,5?

Insiemi numerici

√2

Insiemi numerici

Insiemi numerici

FINE