R5. Cálculo de límites - RME

Álgebra II:

1 Infografía Cálculo de Límites

Elaborado por: Roberto Méndez-Espinoza Asesora: Adriana Cecilia Gama Hernández

Índice

Introducción

Teorema de los límites

Límite de una función

Importancia de conocer el límite de una función.

Particularidades de los límites, en función de ciertas condiciones dadas.

Definición del límite de una función.

Cálculo de límites

Continuidad de funciones

Referencias

Lista de las fuentes de información que ayudarón a dar soporte bibliográfico en la presente infografía.

Alcance de una función en un intervalo dado

Aplicación de los teoremas

Introducción

Cálcular el límite de una función es importante debido a que nos permitirá conocer el comportamiento de una función en puntos cercanos a un valor dado, evaluar la existencia de una función, analizar puntos critícos, conocer y/o resolver indeterminaciones. Además de que el conocimiento que se adquiere al aprender a cálcular el limite de una función nos ayuda a determinar la derivada de una función. Entender el tema de límites es de relevancia para aprender de cálculo diferencial, Purcell et. al (2007), nos define "El cálculo es el estudio de los límites" (pág. 55).

Límite de una función

Definición.-

Sea x0 un número real contenido en un intervalo abierto (a, b) y sea f una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en x0, entonces, se dice que el límite de f(x), cuando x tiende a x0, es L,

lím

f (x) = L

X→X0

si existe un número L con la propiedad de que para cada radio ε > 0 alrededor de L, existe un radio de δ > 0 alrededor de x0, tal que | f(x)-L | < ε para todos los puntos x∈(a, b), para los cuales 0 < | x-x0 | < δ.

Teorema de los límites

Sean n un entero positivo, k una constante, así como f y g sean funciones que tienen límites en c, entonces

1. lím k = k;

x →c

2. lím x = c;

x →c

3. lím kf(x) = k lím f(x);

x →c

x →c

4. lím [f(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x);

x →c

x →c

x →c

5. lím [f(x) - g(x)] = lím f(x) - lím g(x);

x →c

x →c

x →c

6. lím [f(x) · g(x)] = lím f(x) · lím g(x);

x →c

x →c

x →c

Teorema de los límites

Sean n un entero positivo, k una constante, así como f y g sean funciones que tienen límites en c, entonces

f(x) lím f(x)

___ _______ g(x) lím g(x)

7. lím

, siempre que lím g(x)≠ 0;

x →c

x →c

x →c

x →c

8. lím [f(x)]n = [lím f(x)]n;

x →c

x →c

9. lím n√f(x) = n√lím f(x) , siempre que lím f(x)>0 cuando n sea par.

x →c

x →c

x →c

Continuidad de una función

Sea f(x) una función definida en todos los puntos x de un intervalo abierto I que contiene al punto a. Decimos que f(x) es continua en el punto a si cumple que

lím f(x)=f(a)

x →a

Una función f(x) es continua en un punto x = a si: 1) Existe f(a)

2) Existe lím f(x) 3) lím f(x) = f(a)

x →a

x →a

Una función f(x) es discontinua para x = a si no satisface las condiciones de continuidad.

Continuidad de una función

A continuación se muestra gráficamente como se visualiza una función continua y una función discontinua.

Cálculo de límites

El cálculo de los límites generalmente se realiza en forma directa mediante la aplicación de los teoremas de límites. Se justifica algebraicamente cada una de las etapas y finalmente se sustituye la variable independiente con el valor de x en donde se desea calcular el límite. Uno de los límites más sencillos se presenta para la función f(x) = c. La función f toma siempre el valor c para cualquier valor de x, o dicho de otra manera, la función constante es independiente de los valores de x, entonces se puede establecer que:

lím c = c

donde c es un número real constante

x→x0

Consideremos ahora la función líneal f(x)=x, para la cual, es también claro que f(x) tiende a x0, cuando x tiende a x0, en la notación de los límites se escribe:

lím x= x0

x→x0

Procedimiento para cálcular límites

Ejemplo de cálculo de límites

Obtener el límite de:

f(x) = x2-9 , cuando x→3

____ x-3

Si evaluamos la función:

f(3) = 32-9

9-9

____ 3-3

____ 3-3

__ 0

Indetermina

Par evitar que se indetermine la función, procederemos a factorizar el numerador

f(x) = (x+3), x≠ 3

f(x) = (x+3)(x-3)

_________ x-3

lím = (x+3) = 3+3 = 6

lím = (x+3)(x-3)

________ x-3

x→3

x→3

Referencias

Fuenlabrada de la Vega Trucíos, S., Fuenlabrada Velázquez, I. R. (2013). Cálculo diferencial. México: McGraw-Hill Interamericana.Fuentes, G. y Leyva, V. H. (2021). Definición formal del límite de una función. En Concepto del límite de una función. Portal Académico del CCH, UNAM. https://portalacademico.cch.unam.mx/calculo1/concepto-del-limite-de-una-funcion/definicion-formal-del-limite-de-una-funcion-2 Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo diferencial e integral. Pearson Educación.