Reto 5. Limites y Continuidad de una función

CALCULO DE LIMITES

LIMITE DE UNA FUNCION

Efecto directo

LIMITE DE UNA FUNCION

TEOREMA DE LOS LIMITES

TEOREMA DE LOS LIMITES

TEOREMA DE LOS LIMITES

CALCULO DE LIMITES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

INFOGRAFIA: Stewart, J. (2015). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8a ed.). Cengage Learning. Larson, R., & Edwards, B. (2017). Cálculo y geometría analítica (9a ed.). McGraw-Hill Education. Khan Academy. (s. f.). Límites y continuidad. Recuperado de https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new

En este apartado vamos a sistematizar el análisis de las funciones alrededor de uno de sus puntos a un contexto más general, el concepto intuitivo del límite de una función. Con base en el análisis de la función alrededor de uno de sus puntos a través de los registros tabular, gráfico y algebraico, éstos apuntaron en la misma dirección y permitieron la obtención del límite de la función alrededor de uno de sus puntos, mediante la igualdad de los límites laterales - límite por la izquierda y límite por la derecha alrededor de un punto en particular-, los cuales precisamos en un contexto más amplio, la definición intuitiva del límite de una función. Los límites laterales se representan con las siguientes expresiones:

Los límites al infinito son una herramienta utilizada en el cálculo para analizar el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a valores infinitos, ya sea positivos o negativos. Se utilizan para comprender cómo crece o decrece una función a medida que la variable se vuelve extremadamente grande o pequeña. Existen dos tipos de límites al infinito: Límite al infinito positivo: Se denota como lim x→∞ f(x) o lim x++∞ f(x). Representa el comportamiento de la función f(x) cuando x tiende a infinito positivo. En este caso, se analiza cómo se comporta la función a medida que x se vuelve cada vez más grande. Límite al infinito negativo: Se denota como lim x→→∞ f(x). Representa el comportamiento de la función f(x) cuando x tiende a infinito negativo. Aquí, se estudia cómo se comporta la función a medida que x se vuelve cada vez más pequeño (hacia valores negativos extremos).

Los limites unilaterales,tambien conocidos como limites laterales o limites direccionales,son una forma de analizar el comportamiento de una funcion en un punto especifico desde un solo lado

Una función discontinua es aquella que presenta al menos una discontinuidad en su gráfico. Una discontinuidad se produce cuando hay un quiebre, un salto o una falta de conexión en la función en uno o varios puntos de su dominio. Esto significa que la función no es continua en esos puntos específicos. Existen diferentes tipos de discontinuidades, que incluyen: Discontinuidad removible: Ocurre cuando una función tiene un agujero o un punto no definido en su gráfico en un punto específico, pero se puede modificar o redefinir la función en ese punto para hacerla continua. En otras palabras, se puede "rellenar" el agujero para obtener una función continua. Discontinuidad de salto: Se produce cuando una función tiene un salto brusco en su gráfico en un punto específico. Los límites desde la izquierda y desde la derecha de ese punto existen, pero son diferentes, lo que genera una discrepancia en el valor de la función. Discontinuidad asintótica: Ocurre cuando una función tiene una asíntota vertical en su gráfico en un punto específico. Esto significa que la función se acerca a infinito o menos infinito a medida que x se acerca a ese punto. Discontinuidad de oscilación infinita: Se produce cuando una función oscila infinitamente alrededor de un punto específico. La función no se acerca a un valor definido y su comportamiento es errático en ese punto. Las discontinuidades en una función pueden tener implicaciones importantes en su comportamiento y propiedades. Algunas funciones pueden ser discontinuas en un conjunto limitado de puntos, mientras que otras pueden ser discontinuas en todo su dominio. El estudio de las discontinuidades es fundamental para analizar las características y el comportamiento de las funciones en diferentes contextos matemáticos. Es importante tener en cuenta que, aunque una función pueda ser discontinua en ciertos puntos, aún puede ser continua en otros. La continuidad de una función se evalúa en cada punto de su dominio por separado.

• El límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la funcion cunado x se acerca a ese punto.
• El limite de la funcion f(x) en el que el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación

Una función continua es aquella que no presenta saltos, discontinuidades o quiebres en su gráfico. De manera más formal, una función f(x) se considera continua en un intervalo si cumple las siguientes condiciones: La función está definida en todo el intervalo. El límite de la función existe en cada punto del intervalo. El valor de la función coincide con el límite en cada punto del intervalo. Estas tres condiciones aseguran que no haya interrupciones bruscas o cambios abruptos en el comportamiento de la función en el intervalo considerado. Algunas características de las funciones continuas incluyen: El gráfico de una función continua no tiene saltos ni agujeros. Puede tener curvas suaves, rectas o incluso ser constante en un intervalo determinado. Una función continua puede ser trazada sin levantar el lápiz del papel. No hay discontinuidades o quiebres en su gráfico. La continuidad implica que pequeños cambios en los valores de x se traducen en cambios pequeños en los valores de la función. Esto significa que la función varía de manera suave y gradual.

Los límites bilaterales, también conocidos como límites de dos lados o límites estándar, son una forma de analizar el comportamiento de una función en un punto específico desde ambos lados. A diferencia de los límites unilaterales, que consideran el comportamiento de la función desde un solo lado del punto, los límites bilaterales tienen en cuenta los valores de la función tanto a la derecha como a la izquierda del punto en cuestión. El límite bilateral de una función f(x) cuando x se acerca a un número a se denota como: lim xa f(x) Existen algunas propiedades importantes de los límites bilaterales: Si el límite bilateral de f(x) existe y es un número finito L, entonces f(x) se acerca a L a medida que x se acerca a a desde cualquier lado. En otras palabras, los límites laterales izquierdo y derecho coinciden con el límite bilateral cuando este existe. Si el límite bilateral de f(x) existe y es infinito (positivo o negativo), entonces f(x) también se acerca a infinito a medida que x se acerca a a desde ambos lados. Si el límite bilateral de f(x) no existe, puede haber varias razones posibles, como una oscilación infinita o una discontinuidad en el punto a. Para evaluar límites bilaterales, se pueden utilizar diversas técnicas, como la simplificación algebraica, el uso de propiedades de límites y reglas de cálculo, y la aplicación de teoremas y propiedades específicas del cálculo. En resumen, los límites bilaterales permiten analizar cómo se comporta una función en un punto específico al considerar tanto el lado izquierdo como el derecho de dicho punto. Estos límites son fundamentales en el cálculo y se utilizan para comprender el comportamiento asintótico, la continuidad y otros aspectos relevantes de las funciones.