SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Método Gauss-jordan, Jacobi y Gauss-Seidel.

Índice

Introducción

Método de Gauss-Jordan

Métodos de aproximaciones sucesivas.

Conclusiones

Referencias

Introducción

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación que puede expresarse en la forma ax + by + cz + … = d, donde a, b, c, … y d son constantes y x, y, z, … son las variables. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables. El objetivo es encontrar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

+ INFO

Método de Gauss-Jordan.

2.1. Método de Gauss-Jordan:

El método de Gauss-Jordan es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss para convertir la matriz aumentada del sistema en una matriz escalonada reducida por filas. El método consiste en realizar operaciones elementales de fila en la matriz aumentada del sistema para convertirla en una matriz escalonada reducida por filas. La solución del sistema se puede leer directamente de la matriz escalonada reducida por filas.

La fórmula general del método de Gauss-Jordan es la siguiente:

1. Se escribe la matriz aumentada del sistema.
2. Se utiliza la eliminación de Gauss para convertir la matriz aumentada en una matriz escalonada por filas.
3. Se utiliza la eliminación de Gauss-Jordan para convertir la matriz escalonada por filas en una matriz escalonada reducida por filas.
4. Se lee la solución del sistema directamente de la matriz escalonada reducida por filas.

+ INFO

Métodos de aproximaciones sucesivas

3.1 Método de Jacobi.

El método de Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método se basa en la idea de despejar cada variable en términos del resto y utilizar los valores obtenidos en la iteración anterior para calcular los nuevos valores. La fórmula general del método de Jacobi es la siguiente:

1. Se despeja cada variable en términos del resto.
2. Se utilizan los valores obtenidos en la iteración anterior para calcular los nuevos valores.

+ INFO

3.2 MÉTODO DE gAuss-seidel

El método de Gauss-Seidel es otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es similar al método de Jacobi, pero utiliza los valores más recientes calculados en lugar de los valores antiguos. La fórmula general del método de Gauss-Seidel es la siguiente:

1. Se despeja cada variable en términos del resto.
2. Se utilizan los valores más recientes calculados en lugar de los valores antiguos.

La principal diferencia entre el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi es que el método de Gauss-Seidel utiliza los valores más recientes calculados en lugar de los valores antiguos. Esto hace que el método de Gauss-Seidel converja más rápido que el método de Jacobi.

+ INFO

3.3 PROGRAMAS PARA RESOLVER ECUACIONES ALGEBRAICAS

Existen varios programas para resolver ecuaciones algebraicas. Algunos de ellos son:

• Symbolab: es una calculadora de álgebra en línea que puede resolver ecuaciones, desigualdades, ecuaciones de la recta y sistemas de ecuaciones paso por paso.

• Wolfram|Alpha2: es un motor de búsqueda que puede resolver ecuaciones utilizando las funciones Solve y Reduce de Wolfram Language.

• Solve Equations: es una aplicación de Android diseñada para estudiantes y profesionales para resolver ecuaciones de manera rápida y eficiente.
• MINIMATH: es una calculadora en línea de expresiones algebraicas y ecuaciones.
• Microsoft Math Solver: es una aplicación que puede resolver problemas matemáticos y actúa como una calculadora.

3.4 Relajaciones y programación del método gauss-seidel.

Las relajaciones son una técnica utilizada para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel. La programación del método Gauss-Seidel implica escribir un programa que implemente el algoritmo. Podemos reescribir cada ecuación en términos de las otras dos variables: Ahora, podemos utilizar los valores más recientes calculados para calcular los nuevos valores. Supongamos que comenzamos con los valores iniciales x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0. Entonces, podemos calcular los nuevos valores como sigue: Podemos continuar este proceso hasta que se alcance la convergencia deseada.

conclusión

CONCLUsIÓN

• Los sistemas de ecuaciones lineales son importantes porque se utilizan para modelar una amplia variedad de problemas en la ciencia y la ingeniería.
• Los métodos de Gauss-Jordan, Jacobi y Gauss-Seidel son algoritmos útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
• El método de Gauss-Jordan es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss para convertir la matriz aumentada del sistema en una matriz escalonada reducida por filas.
• El método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel son métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Las relajaciones son una técnica utilizada para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel

Referencias y sitios sugeridos

• Superprof. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/sistemas-ecuaciones-lineales.html
• Ejercicios Inglés Online. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.ejerciciosinglesonline.com/sistemas-de-ecuaciones-lineales/
• Universo Formulas. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.universoformulas.com/matematicas/algebra/sistemas-de-ecuaciones-lineales/
• Matemáticas Física Química. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.matematicasfisicaquimica.com/algebra/sistemas-de-ecuaciones-lineales/
• Disfruta las Matemáticas. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sistemas-ecuaciones-lineales.html
• Varsity Tutors. (s.f.). Sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/systems-of-linear-equations

• YouTube. (2018). Método Jacobi para sistemas lineales - Ejemplo resuelto paso a paso [Video]. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.youtube.com/watch?v=J7vz7L9vzZ0
• YouTube. (2018). Método Gauss-Seidel para sistemas lineales - Ejemplo resuelto paso a paso [Video]. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.youtube.com/watch?v=6jQJZgK5fXw
• YouTube. (2018). Método Gauss-Seidel para sistemas lineales - Ejemplo resuelto paso a paso [Video]. Recuperado el 15 de agosto de 2022, de https://www.youtube.com/watch?v=Z5V9FJdQGjw

Ejemplo de la formula del método

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan: x + y + z = 6 2x - y + z = 3 x + y - z = 2 Solución: Escribimos la matriz aumentada del sistema: [1 1 1 | 6] [2 -1 1 | 3] [1 1 -1 | 2] Utilizamos la eliminación de Gauss para convertir la matriz aumentada en una matriz escalonada por filas: [1 1 1 | 6] [0 -3 -1 | -9] [0 0 -2 | -4] Utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan para convertir la matriz escalonada por filas en una matriz escalonada reducida por filas: [1 0 0 | 2] [0 1 0 | 3] [0 0 1 | 2] Leemos la solución del sistema directamente de la matriz escalonada reducida por filas: x = 2, y = 3, z = 2.

Ejemplo del procedimiento

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Seidel: Solución: 1. Despejamos cada variable en términos del resto: 1. Utilizamos los valores más recientes calculados en lugar de los valores antiguos.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. La solución de un sistema de ecuaciones lineales se puede encontrar mediante la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan o mediante métodos iterativos como el método de Jacobi o el método de Gauss-Seidel. Las ecuaciones lineales pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. La solución de una ecuación lineal se puede encontrar mediante la eliminación de términos o mediante métodos iterativos como el método de Newton-Raphson.

Ejemplo de la formula del método

Un ejemplo de aplicación del método de Jacobi sería el siguiente: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Jacobi: Solución: 1. Despejamos cada variable en términos del resto: 2. Utilizamos los valores obtenidos en la anterior para calcular los nuevos valores.