Transformaciones lineales

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Instituto Tecnológico de Lerma Ingeniería mecánica 2º semestre Maestro: Eduardo Mena Calderon. Alumna: Ingrid Selena Rodriguez Yah.

Álgebra lineal Transformciones Lìneales

Contenido

Introducción. 5.1 Definición De Transformación Lineal. 5.2 Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal. 5.3 Representación Matricial De Una Transformación Lineal. 5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación. Conclusión. Bibliografìa.

Introducción

La siguiente presentación aborda temas relacionados con la transformación lineal, el cómo es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro, como su núcleo es el conjunto de vectores que se mapean a cero; mientras que la imagen es el conjunto de todas las posibles salidas de la transformación. Asimismo se encontrarán sus aplicaciones como la reflexión, dilatación, contracción y rotación; temas fundamentales para comprender y aplicar conceptos clave del álgebra lineal.

5.1 - Definición De Transformación Lineal.

Las transformaciones lineales son las funciones sobre K-espacios vectoriales, compatibles con la con la operación y la acción de estos espacios (preservan la suma y la multiplicación por escalares). T: V → W, donde V y W son espacios vectoriales de dimensión n y m. Dado un espacio vectorial de partida V y un espacio vectorial de llegada W, una transformación lineal puede ser representada mediante una matriz A.

5.2 Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal.

Núcleo Imagen

5.3 - Representación Matricial De Una Transformación Lineal.

La representación matricial es una forma de escribir una transformación lineal (dado un espacio vectorial de partida V y un espacio vectorial de llegada W) mediante el uso de una matriz, simplificando el cálculo y la manipulación. Usualmente los vectores se escriben como renglones (x,y,z) pero si los escribimos como columnas entonces la transformación lineal T(x,y,z)=(ax+by+cz,dx+ey+fz,gx+hy+iz) puede escribirse como el producto de una matriz con el vector.

Ejemplo

5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación.

En esencia, la reflexión es una transformación que invierte la posición de un objeto a lo largo de un plano específico. La matriz depende del plano elegido y se puede construir utilizando fórmulas específicas. Cuando se aplica una reflexión lineal a un vector, cada componente del vector se refleja respecto a la línea o plano de reflexión, en dos dimensiones.

5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación.

Una dilatación es una transformación que se aplica a un vector; se estira o comprime en función del factor de escala. Si el factor de escala es mayor que 1, se produce una ampliación y si el factor de escala es entre 0 ò 1, se produce una contracción. Se caracteriza por multiplicar las coordenadas de un vector por un factor de escala, manteniendo el centro de dilatación como punto fijo.

5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación.

Una contracción es una transformación que reduce la escala de un vector en relación con un punto fijo llamado centro de contracción y un factor de escala determinado, se caracteriza por multiplicar las coordenadas de un vector por un factor de escala menor que 1.

5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación.

Una rotación es una transformación que gira un objeto o vector alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación, siguiendo un ángulo determinado, se realiza mediante una transformación lineal conocida como "rotación lineal". Se caracteriza por aplicar una matriz de rotación específica a las coordenadas de un vector, lo que resulta en un cambio en su orientación.

Conclusión

En conclusión, las transformaciones lineales estudian los espacios vectoriales, ya que permiten comprender cómo los vectores se transforman bajo una función lineal; asimismo posibilitan identificar patrones, relaciones y propiedades geométricas en los espacios vectoriales ya que conservan la suma de vectores y la multiplicación por escalares. Por otra parte, también existe la representación matricial de estas, lo que facilita su estudio y cálculo. Las propiedades algebraicas de las matrices permiten realizar operaciones y manipulaciones que ayudan a comprender cómo se transforman los vectores, para sus futuras aplicaciones.

Representación esquemática del tema

Bibliografía

5.1 Definición De Transformación Lineal. 5.2 Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal. 5.3 Representación Matricial De Una Transformación Lineal. 5.4 Aplicación De Las Transformaciones Lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción Y Rotación.

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