Integral definida

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Integral de Riemann Dada una función acotada en un intervalo [a; b], si: A. Partimos el intervalo [a; b] en n intervalos de igual longitud xi-xi-1 B. Consideramos en cada intervalo mi: mínimo de f en el intervalo i Mi: máximo de f en el intervalo i C. Armamos las sumas inferior y superior: Entonces: Esta definición no nos permite obtener valores de muchas integrales. Para poder obtener una forma de calcular integrales más operativa y abarcadora necesitamos revisar una serie de propiedades y conceptos asociados a la integral así definida. Podemos utilizar la definición para calcular la integral de una función constante en cualquier intervalo [a; b].

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Integral de Riemann Como ilustración, en la figura tenemos la función constante f(x)=3 en el intervalo [0; 5] y hemos hecho una partición de dicho intervalo en 8 partes de longitudes iguales. Para hacerlo de modo general, consideremos la función constante f(x)= k y un intervalo cualquiera [a; b]. Si partimos el intervalo en n subintervalos y tenemos en cuenta que el valor máximo y el valor mínimo que toma la función en cada intervalo es k (es el único valor que toma) podemos ver que: Y teniendo en cuenta que x0=a y xn=b resulta: Y dado que la suma superior es igual: A partir de esto podemos calcular: Algo que era esperable si vemos el gráfico de la función constante (en este caso la integral corresponde a la función del gráfico anterior que sirvió de ejemplo).

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Integral de Riemann Hemos asociado la integral que acabamos de definir con “área bajo curva” y esto merece alguna aclaración. Si calculamos la integral de la función constante f(x)=-2 en el intervalo [1;4] tenemos que, de acuerdo con lo obtenido arriba: lo que nos da un valor que no puede ser un área pues es negativo (es claro que no podemos tener áreas negativas). Esto nos lleva a rever la interpretación “geométrica” de la integral. El resultado de la integral no es el área A entre la curva y el eje x como en el caso anterior pero sí resulta ser -A. Es decir que, en este caso, en que la función es negativa en todo el intervalo de integración: Para generalizar el significado geométrico de una integral del tipo considerado acá podemos decir que:

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Integral de Riemann valor de la integral de cualquier función es la diferencia entre el área bajo la curva por encima del eje x y el área bajo la curva por debajo del eje: Propiedades de la integral definida si f es integrable en un intervalo I y a; b y c están en el intervalo El gráfico nos permite ilustrar esta propiedad mirando la interpretación gráfica (no estamos demostrando, eso se hace a partir de la definición, sólo ilustramos).

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Propiedades de la integral definida Esta propiedad enuncia algo que ya dijimos. Si la función en el intervalo es positiva, está por encima del eje x, entonces la integral en el intervalo es positiva. Expresamos esto al asociar esa integral con el área bajo la curva. (Puede ser cero en algunos puntos o incluso podría ser la función nula y se sigue cumpliendo esta propiedad tal como está enunciada agregando al mayor, la posibilidad del igual). Esta propiedad se demuestra utilizando las anteriores (se hará en clase presencial)

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Propiedades de la integral definida 6. Dijimos, al definir integral, que, para que se pueda intentar aplicar la definición, un requisito era que la función fuera acotada. Eso no alcanza, sin embargo, para garantizar que exista la integral (ejemplo de función acotada no derivable en clase). El siguiente teorema nos da condiciones que aseguran que la función es integrable (existe la integral) en un intervalo: Esto nos dice que basta con que sepamos que la función es continua para tener garantizado que el existe la integral (no vale la contraria). 7 – Teorema del valor medio del cálculo integral: Este teorema es muy importante y tiene muchas aplicaciones prácticas. Nos da la posibilidad de obtener “promedios” para magnitudes continuas.

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Dejamos las propiedades por un momento y definimos: Función Integral Tal como definimos la función derivada asignando a cada valor de x el valor de la derivada de la función, podemos definir la función integral, dada una función continua f, como sigue: . Donde a es una constante, x la variable funcional y t es la variable de integración. Podemos ver que: Volviendo al gráfico de f(x) = x2+1, podemos ver qué valores nos va dando la función integral que definimos utilizando a=0, es decir que nuestra función es:

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Función Integral Aunque no podemos hallar todavía ni los valores en puntos específicos como x1 y x2, ni su expresión les anticipo el gráfico de la función integral F recién señalada: La razón de que la función tome valores negativos para x<0 se asocia con otra propiedad de las integrales que no hemos mencionado aún: Es decir que si integramos sobre el intervalo en sentido contrario, el valor de la integral sólo cambia en signo. 9 – Teorema fundamental del cálculo Este teorema, así de corto de enunciar, relaciona dos de los conceptos básicos del cálculo que hasta acá no habían sido relacionados: el de integral definida con el de derivada. Enunciado en lenguaje coloquial dice que la función integral (F) es una primitiva de la función del integrando (f).

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Este teorema permite obtener varias consecuencias operativas. La más útil es la llamada Regla de Barrow (algunos la llaman “segundo teorema fundamental del cálculo” pero yo prefiero el otro nombre dado que tener dos cosas fundamentales, una subordinada a la otra me suena mal). Regla de Barrow Que nos brinda una sencilla forma de calcular integrales. Algo de cálculos Si queremos calcular: La regla de Barrow nos dice que necesitamos una primitiva de integrando para evaluarla en los extremos del intervalo de integración y restarlas. En este caso: Como la regla nos habla de cualquier primitiva, por conveniencia elegimos aquella en la que C=0 y escribimos: