LE PROPORZIONI
Prof. Zanga
Riprendiamo il lavoro effettuato sulla riduzione in scala dell'aula.
COMPITO AUTENTICO
a piccoli gruppi eterogenei
Prendi le misurazioni e disegna una mappa della tua classe con una scala di riduzione a tuo piacimento. Dovrai disegnare in modo appropriato e con le giuste dimensioni in scala tutto l'arredamento presente nell'aula. Ti servono: 1 metro, fogli di carta, matita, penne, colori e tanta precisione.
Per rappresentare l'aula abbiamo dovuto effettuare misurazioni diverse, ma il rapporto che c'era tra un oggetto e la sua rappresentazione era sempre costante (e corrispondeva alla scala di riduzione scelta). Ad. esempio, con una scala 1 : 100 Se due o più rapporti sono uguali, posso scrivere una proporzione. 1 cm : 100 cm = 2 cm : 200 cm (si legge: 1 cm sta a 100 cm come 2 cm sta a 200 cm)
1 cm : 100 cm 2 cm : 200 cm 3 cm : 300 cm
La proporzione è dunque l'uguaglianza tra due rapporti.
Una proporzione è inversa di una proporzione data se ciascun antecedente è scambiato con il suo conseguente. Es. data la proporzione 15 : 45 = 20 : 60 la sua inversa sarebbe 45 : 15 = 60 : 20
a : b = c : d b : a = d : c
Ricorda di invertire i termini di ENTRAMBI i rapporti!
a : b = b : c
medio proporzionale.
Una proporzione si dice continua quando i termini medi sono tra loro uguali. Ad esempio: 30 : 60 = 60 : 120 12 : 6 = 6 : 3
Ciascuno dei due medi in una proporzione continua si chiama medio proporzionale.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto dei termini estremi. Se a : b = c : d allora b ⋅ c = a ⋅ d
Questa proprietà è molto utile anche per verificare se quattro numeri possono formare una proporzione. Dati quattro numeri a, b, c, d, essi formano in quest'ordine una proporzione se e solo se b ⋅ c = a ⋅ d
Altre proprietà delle proporzioni
1. Proprietà del permutare
Data una proporzione, è possibile scambiare i due medi tra loro, oppure i due estremi tra loro, oppure sia i due medi che i due estremi e si ottiene ancora una proporzione.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
2. Proprietà dell'invertire
La proprietà dell'invertire stabilisce che se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
3. Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma deegli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
4. Proprietà dello scomporre
In una proporzione in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza tra i primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza tra gli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
Subtítulo
Subtítulo
Determinare il termine incognito di una proporzione
PROBLEMA Anna ha organizzato una piccola festa a casa. Vorrebbe comprare 12 bottiglie di aranciata per 8 persone. La voce però si è sparsa e gli invitati ora diventano 14. Quante bottiglie di aranciata dovrà comprare? Prova a scrivere il problema sotto forma di proporzione.
Determinare il termine incognito di una proporzione
Anna ha organizzato una piccola festa a casa. Vorrebbe comprare 12 bottiglie di aranciata per 8 persone. La voce però si è sparsa e gli invitati ora diventano 14. Quante bottiglie di aranciata dovrà comprare?
12 : 8 = x : 14
12 ⋅ 14 = 8 ⋅ x
applico la proprietà fondamentale
Se 8 volte x vale 168, per trovare quanto vale x dovrò dividere per 8
168 = 8 ⋅ x
x = 168/8 = 21
Determinare il termine incognito di una proporzione
Scrivendo la proporzione con i rapporti in forma di frazione, si applica la regola detta "del prodotto in croce". NB: E' esattamente la stessa cosa dell'applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni (a seconda del libro di testo troverai un metodo o l'altro).
Determinare il termine incognito di una proporzione
Osserva cosa accade con una proporzione continua con medi incogniti:
x ⋅ x = 4 ⋅ 9
4 : x = x : 9
Come posso scrivere x ⋅ x? Clicca sotto per scoprirlo
x ⋅ x = 36
x = √36 = 6
x2 = 36
Lo stesso avverrebbe anche con estremi incogniti equivalenti! Prova a fare un esempio!
Fare le proporzioni è molto utile nella vita di ogni giorno! La prof. Zanga domattina avrà come ospiti a colazione la sua nipotina con quattro amichetti. Vuole assolutamente preparare un waffle gigante a forma di cuore utilizzando la ricetta tramandata dalla nonna. Farina: 140 g Uova: 2 Zucchero: 90 g Burro: 110 g Lievito in polvere: 1 g Il problema è che questa ricetta è per 2 persone! Puoi aiutare la prof. a calcolare le dosi corrette per 5 persone?
Una delle possibili soluzioni è calcolare quanti ingredienti servono per ciascuna persona e poi moltiplicarli per il numero di persone desiderato. Divido quindi tutti gli ingredienti per 2 e moltiplico il valore trovato per 5 persone 140 g : 2 = 70 g 70 g x 5 = 350 g farina 2 uova : 2= 1 uovo 1 uovo x 5 = 5 uova 90 g : 2 = 45 g 45 g x 5 = 225 g zucchero 110 g : 2 = 55 g 55 g x 5 = 275 g burro 1 g : 2 = 0,5 g 0,5 g x 5 = 2,5 g lievito
Ma...è possibile farlo anche in modo più immediato! Dobbiamo rispettare il rapporto tra ciascun ingrediente e il numero di persone! Proviamo a scrivere delle proporzioni! Il rapporto ingrediente/persone deve essere sempre lo stesso, quindi: 140 g : 2 = x : 5 (140 g ⋅ 5) : 2 = 350 g farina 2 uova: 2 = x : 5 (2 uova ⋅ 5) : 2 = 5 uova 90 g : 2 = x : 5 (90 g ⋅ 5) : 2 = 225 g zucchero 110 g : 2 = x : 5 (110 g ⋅ 5) : 2 = 275 g burro 1 g : 2 = x : 5 (1 g ⋅ 5) : 2 = 2,5 g lievito
PROBLEMI - In un banchetto di nozze, il rapporto tra il numero degli invitati della sposa e il numero degli invitati dello sposo è 5/6. Se gli invitati della sposa sono 40, quanti sono quelli dello sposo?
- Il rapporto tra due numeri è 5/7. Se il numero maggiore è 56 quanto vale il numero minore?
- In una gita scolastica il rapporto tra il numero dei maschi e il numero delle femmine è 4\5. Sapendo che i maschi sono 28, quanti sono complessivamente i partecipanti alla gita?
Attenzione: questi problemi possono essere risolti anche con il metodo dei "segmentini"! Proviamo però a risolverli anche applicando le proprietà delle proporzioni. Confronta i due metodi per scoprire se ottieni gli stessi risultati
- Determina due numeri il cui rapporto è 4/7 e la cui somma è 55.
- Determina due numeri il cui rapporto è 7/5 e la cui differenza è 6.
- Gli allievi di una classe mista sono 25 e le allieve sono 2/3 dei maschi. Quante femmine e quanti maschi frequentando quella classe?
- Giovanni possiede 27 figurine più di Carlo. Sapendo che Giovanni ha 13/4 delle figurine di Carlo, calcola quante ne possiede ognuno di loro.
Parlando di somma o differenza, che proprietà delle proporzioni ti vengono in mente?
Harry Potter deve trasformare se stesso e i suoi 7 compagni di dormitorio in studenti di Sepreverde, per poter entrare in segreto nel loro quartier generale. Utilizzando le proporzioni, calcola gli ingredienti per preparare la pozione Polisucco sufficiente per tutti quanti. Ecco la ricetta dal libro di Pozioni: Ingredienti per 3 persone: Mosche crisopa (stufate 21 giorni prima della preparazione) : 126 g Sanguisughe: 9 Corna di Bicorno sbriciolate: 372 g Erba Fondente (da raccogliere durante la luna piena): 27 g Centinodia: 135 g Pelle di Girilacco: 1,5 g Un capello della persona in cui ci si vuole trasformare
Proporzioni e valori nutrizionali
Proporzioni e informazioni nutrizionali Se ogni mattina Matteo mangia 60 g di Abbracci, quanta energia, grassi, etc... assumerà? Scrivi delle proporzioni per calcolare i valori di ciascun parametro.
A GRUPPI
COMPITO AUTENTICO
Scegli una ricetta con un numero di ingredienti compreso tra 5 e 10. 1) Utilizzando le proporzioni, determina le dosi di ciascun ingrediente per 1 persona. 2) Calcola, utilizzando le informazioni che puoi trovare in internet, la quantità di energia, proteine, carboidrati e grassi che apporta ogni ingrediente così come il valore totale per l'intera ricetta.
fine !
LE PROPORZIONI
daniela.zanga12345
Created on July 13, 2023
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LE PROPORZIONI
Prof. Zanga
Riprendiamo il lavoro effettuato sulla riduzione in scala dell'aula.
COMPITO AUTENTICO
a piccoli gruppi eterogenei
Prendi le misurazioni e disegna una mappa della tua classe con una scala di riduzione a tuo piacimento. Dovrai disegnare in modo appropriato e con le giuste dimensioni in scala tutto l'arredamento presente nell'aula. Ti servono: 1 metro, fogli di carta, matita, penne, colori e tanta precisione.
Per rappresentare l'aula abbiamo dovuto effettuare misurazioni diverse, ma il rapporto che c'era tra un oggetto e la sua rappresentazione era sempre costante (e corrispondeva alla scala di riduzione scelta). Ad. esempio, con una scala 1 : 100 Se due o più rapporti sono uguali, posso scrivere una proporzione. 1 cm : 100 cm = 2 cm : 200 cm (si legge: 1 cm sta a 100 cm come 2 cm sta a 200 cm)
1 cm : 100 cm 2 cm : 200 cm 3 cm : 300 cm
La proporzione è dunque l'uguaglianza tra due rapporti.
Una proporzione è inversa di una proporzione data se ciascun antecedente è scambiato con il suo conseguente. Es. data la proporzione 15 : 45 = 20 : 60 la sua inversa sarebbe 45 : 15 = 60 : 20
a : b = c : d b : a = d : c
Ricorda di invertire i termini di ENTRAMBI i rapporti!
a : b = b : c
medio proporzionale.
Una proporzione si dice continua quando i termini medi sono tra loro uguali. Ad esempio: 30 : 60 = 60 : 120 12 : 6 = 6 : 3
Ciascuno dei due medi in una proporzione continua si chiama medio proporzionale.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto dei termini estremi. Se a : b = c : d allora b ⋅ c = a ⋅ d
Questa proprietà è molto utile anche per verificare se quattro numeri possono formare una proporzione. Dati quattro numeri a, b, c, d, essi formano in quest'ordine una proporzione se e solo se b ⋅ c = a ⋅ d
Altre proprietà delle proporzioni
1. Proprietà del permutare
Data una proporzione, è possibile scambiare i due medi tra loro, oppure i due estremi tra loro, oppure sia i due medi che i due estremi e si ottiene ancora una proporzione.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
2. Proprietà dell'invertire
La proprietà dell'invertire stabilisce che se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
3. Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma deegli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
4. Proprietà dello scomporre
In una proporzione in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza tra i primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza tra gli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
La nuova proporzione che si ottiene è equivalente alla prima?
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Determinare il termine incognito di una proporzione
PROBLEMA Anna ha organizzato una piccola festa a casa. Vorrebbe comprare 12 bottiglie di aranciata per 8 persone. La voce però si è sparsa e gli invitati ora diventano 14. Quante bottiglie di aranciata dovrà comprare? Prova a scrivere il problema sotto forma di proporzione.
Determinare il termine incognito di una proporzione
Anna ha organizzato una piccola festa a casa. Vorrebbe comprare 12 bottiglie di aranciata per 8 persone. La voce però si è sparsa e gli invitati ora diventano 14. Quante bottiglie di aranciata dovrà comprare?
12 : 8 = x : 14
12 ⋅ 14 = 8 ⋅ x
applico la proprietà fondamentale
Se 8 volte x vale 168, per trovare quanto vale x dovrò dividere per 8
168 = 8 ⋅ x
x = 168/8 = 21
Determinare il termine incognito di una proporzione
Scrivendo la proporzione con i rapporti in forma di frazione, si applica la regola detta "del prodotto in croce". NB: E' esattamente la stessa cosa dell'applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni (a seconda del libro di testo troverai un metodo o l'altro).
Determinare il termine incognito di una proporzione
Osserva cosa accade con una proporzione continua con medi incogniti:
x ⋅ x = 4 ⋅ 9
4 : x = x : 9
Come posso scrivere x ⋅ x? Clicca sotto per scoprirlo
x ⋅ x = 36
x = √36 = 6
x2 = 36
Lo stesso avverrebbe anche con estremi incogniti equivalenti! Prova a fare un esempio!
Fare le proporzioni è molto utile nella vita di ogni giorno! La prof. Zanga domattina avrà come ospiti a colazione la sua nipotina con quattro amichetti. Vuole assolutamente preparare un waffle gigante a forma di cuore utilizzando la ricetta tramandata dalla nonna. Farina: 140 g Uova: 2 Zucchero: 90 g Burro: 110 g Lievito in polvere: 1 g Il problema è che questa ricetta è per 2 persone! Puoi aiutare la prof. a calcolare le dosi corrette per 5 persone?
Una delle possibili soluzioni è calcolare quanti ingredienti servono per ciascuna persona e poi moltiplicarli per il numero di persone desiderato. Divido quindi tutti gli ingredienti per 2 e moltiplico il valore trovato per 5 persone 140 g : 2 = 70 g 70 g x 5 = 350 g farina 2 uova : 2= 1 uovo 1 uovo x 5 = 5 uova 90 g : 2 = 45 g 45 g x 5 = 225 g zucchero 110 g : 2 = 55 g 55 g x 5 = 275 g burro 1 g : 2 = 0,5 g 0,5 g x 5 = 2,5 g lievito
Ma...è possibile farlo anche in modo più immediato! Dobbiamo rispettare il rapporto tra ciascun ingrediente e il numero di persone! Proviamo a scrivere delle proporzioni! Il rapporto ingrediente/persone deve essere sempre lo stesso, quindi: 140 g : 2 = x : 5 (140 g ⋅ 5) : 2 = 350 g farina 2 uova: 2 = x : 5 (2 uova ⋅ 5) : 2 = 5 uova 90 g : 2 = x : 5 (90 g ⋅ 5) : 2 = 225 g zucchero 110 g : 2 = x : 5 (110 g ⋅ 5) : 2 = 275 g burro 1 g : 2 = x : 5 (1 g ⋅ 5) : 2 = 2,5 g lievito
PROBLEMI- In un banchetto di nozze, il rapporto tra il numero degli invitati della sposa e il numero degli invitati dello sposo è 5/6. Se gli invitati della sposa sono 40, quanti sono quelli dello sposo?
- Il rapporto tra due numeri è 5/7. Se il numero maggiore è 56 quanto vale il numero minore?
- In una gita scolastica il rapporto tra il numero dei maschi e il numero delle femmine è 4\5. Sapendo che i maschi sono 28, quanti sono complessivamente i partecipanti alla gita?
Attenzione: questi problemi possono essere risolti anche con il metodo dei "segmentini"! Proviamo però a risolverli anche applicando le proprietà delle proporzioni. Confronta i due metodi per scoprire se ottieni gli stessi risultati
Parlando di somma o differenza, che proprietà delle proporzioni ti vengono in mente?
Harry Potter deve trasformare se stesso e i suoi 7 compagni di dormitorio in studenti di Sepreverde, per poter entrare in segreto nel loro quartier generale. Utilizzando le proporzioni, calcola gli ingredienti per preparare la pozione Polisucco sufficiente per tutti quanti. Ecco la ricetta dal libro di Pozioni: Ingredienti per 3 persone: Mosche crisopa (stufate 21 giorni prima della preparazione) : 126 g Sanguisughe: 9 Corna di Bicorno sbriciolate: 372 g Erba Fondente (da raccogliere durante la luna piena): 27 g Centinodia: 135 g Pelle di Girilacco: 1,5 g Un capello della persona in cui ci si vuole trasformare
Proporzioni e valori nutrizionali
Proporzioni e informazioni nutrizionali Se ogni mattina Matteo mangia 60 g di Abbracci, quanta energia, grassi, etc... assumerà? Scrivi delle proporzioni per calcolare i valori di ciascun parametro.
A GRUPPI
COMPITO AUTENTICO
Scegli una ricetta con un numero di ingredienti compreso tra 5 e 10. 1) Utilizzando le proporzioni, determina le dosi di ciascun ingrediente per 1 persona. 2) Calcola, utilizzando le informazioni che puoi trovare in internet, la quantità di energia, proteine, carboidrati e grassi che apporta ogni ingrediente così come il valore totale per l'intera ricetta.
fine !