Sumas de Riemann

Sumas de Riemann

El problema de determinar el área bajo una curva fue uno de los problemas que abordaron los matemáticos con interés durante bastante tiempo. La manera que se encontró para resolverlo nos remite a las aproximaciones que podemos hacer para obtener el área de una superficie de forma irregular como la que sigue

En estos casos, el recurso para medir el área consiste en superponer una cuadrícula

Sumas de Riemann

y a continuación seleccionar una superficie aproximada por exceso (mayor) y una por defecto (menor) En este caso, la superficie marcada en amarillo es de 16 cuadraditos y la roja es de 38 cuadraditos. Así, lo que podemos decir hasta acá es que el área buscada está entre 16 y 38 cuadraditos (de la medida que tenemos ahora, por ejemplo, si cada cuadradito es de 1x1 tendríamos que el área está entre 16cm2 y 38cm2. Para mejorar nuestra aproximación podemos achicar el tamaño de nuestros cuadraditos y hacerlos de 0,5x0,5, tendremos:

En este caso tenemos 90 por defecto y 134 por exceso lo que nos dice que el área buscada está entre 22,5 cm2 y 33,5 cm2. No tenemos el valor exacto, pero mejoramos nuestra aproximación.

Sumas de Riemann

Con el área bajo el gráfico de una función en un intervalo podemos hacer algo similar fabricando rectángulos convenientes por defecto y por exceso. Para eso, dividimos el intervalo en la cantidad que queremos y consideramos en cada intervalo el valor mínimo de la función. Cuando multiplicamos ese valor por la longitud del intervalo considerado obtenemos el área de un rectángulo que queda por debajo del gráfico de la función (o, a lo sumo, la iguala).Si hacemos lo mismo tomando el valor máximo en el intervalo obtendremos el área de un rectángulo que queda por encima del gráfico de la función. En la figura se observa en color rosa el gráfico de la función f(x)=x2+1, el intervalo [0; 1] dividido en dos partes iguales de 0,5 de longitud cada uno. En azul están graficados los rectángulos que se forman tomando los valores mínimos en cada intervalo y en verde los que se forman tomando os valores máximos que en este caso son: m1=1; M1= 1,25; m2=1,25; M2= 2, donde indicamos con m los valores mínimos, con M los máximos el subíndice corresponde al intervalo correspondiente.:

Sumas de Riemann

Si hacemos la suma de los rectángulos azules tendremos una aproximación por defecto del área y si sumamos los verdes un a por exceso. De manera que el área buscada estará entre ambas áreas. En las animaciones que siguen se puede variar los valores de n, el numero de intervalos en los que se divide el intervalo inicial y ver cómo la suma de las áreas por defecto y por exceso se van aproximando al área bajo la curva al aumentar n. Pueden modificarse las funciones en tanto se utilicen funciones continuas en el intervalo. Las sumas de las áreas de los rectángulos pueden escribirse analíticamente como sigue y se las llama “suma inferior de Riemann” a la que se obtiene sumando áreas de rectángulos por defecto y “suma superior de Riemann” a la que se obtiene sumando áreas de los rectángulos por exceso. M es el valor máximo en el intervalo indicado por el subíndice y m el valor mínimo en el intervalo indicado por el subíndice.

Sumas de Riemann

A esta altura debe ser claro que para que podamos armar las sumas superior e inferior la función que consideramos debe tener en todos los intervalos un máximo y un mínimo. Esa condición nos exige que la función sea acotada en el intervalo inicial que consideramos. Con esto estamos en condiciones de dar una definición de lo que se entiende por Integral de Riemann (lo que hasta acá hemos mencionado como integral definida).