2.3.5 Sustitución trigonométrica

Cálculo integral ACF-0902

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Subtema 2.3.5 Sustitución Trigonométrica

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Tenemos del Teorema de Pitágoras

Definiremos las seis funciones trigonométricas:

Ahora que puede evaluar integrales que implican potencias de funciones trigonométricas, puede utilizar la sustitución trigonométrica para evaluar integrales que implican a los radicales.

El objetivo como sustitución trigonométrica es eliminar el radical en el integrando. Esto se hace mediante el uso de las identidades pitagóricas.

Por ejemplo, para sea donde

Entonces

Observe que porque

Sustitución trigonométrica

1. Para integrales que implican sea

Entonces donde

2. Para integrales que implican

sea

Entonces donde

3. Para integrales que implican

sea

Entonces

Las restricciones sobre aseguran que la función que define la sustitución es uno a uno.

Ejemplos: Encuentre las siguientes integrales indefinidas utilizando la técnica de integración de sustitución trigonométrica

Solución: Como tenemos un radical que es una suma entonces este será la hipotenusa del triángulo rectángulo, los catetos se toman como usted quiera. Siempre debemos de encontrar el valor de la variable ¨x¨ con esto determinamos el diferencial y lo que vale el radical en términos de las funciones trigonométricas.

Recordando

Debemos sustituir en la integral el cambio de la sustitución trigonométrica:

simplificar

Esta integral ya esta dada en nuestras reglas

Ahora sustituimos el valor de secθ de acuerdo con mí triangulo rectángulo

Solución: Tenemos un radical que es una resta por lo tanto este radical es un cateto el que usted quiera, pero la hipotenusa es el primer término del radical.

Tenemos la derivada de cosu

Sustituir en la integral la sustitución trigonométrica:

Para integrar, utilizaremos identidades:

Sustituimos esta identidad en la integral:

Está integral esta dada por:

Ahora sustituimos cada valor de la función trigonométrica:

Donde

Realizamos la suma de fracciones, esta tiene el mismo denominador:

Solución: Como el radical es una resta este debe de ser un cateto y la hipotenusa debe de ser x´s.

Como en la integral tenemos x´s elevado al cuadrado, vamos a revisar como nos queda:

Por lo tanto,

simplificando

No, se puede realizar por cambio de variable, ya que no completamos el diferencial. Utilizaremos identidades:

Sustituyendo en la integral

vamos a separar en dos integrales

La primera integral se simplifica y ya esta dada la integral de la sec u.

Para la segunda integral utilizaremos identidades

Así, la integral nos queda:

integrando, tenemos

Vamos a sustituir el valor de las funciones trigonométricas, por los valores en el triángulo

Tenemos,

sustituyendo el valor de estas funciones en el resultado de la integral, tenemos:

Simplificar

Solución

Solución: Como tenemos un suma en el radical la hipotenusa es este radical

Debemos de recordar que siempre debemos ver que función trigonométrica es la variable x´s y el radical.

sustituyendo en la integral en términos de las funciones trigonométricas

simplificando, los términos del mismo color

No, tenemos ninguna integral de esta forma, realizaremos, un cambio de variable para ver si es posible completar el diferencial,

Tomamos el denominador ya que es el término difícil

Cambio de variable

Vemos que No, se completa el diferencial, por lo tanto no se puede resolver la integral utilizando un cambio de variable. Entonces utilizaremos identidade

Sustituyendo en la integral, tenemos:

simplificar

Para integrar, utilizaremos un cambio de variable

sustituyendo en la integral,

Tenemos

Entonces:

Debemos de utilizar nuevamente identidades:

Esta identidad se sustituye en la integral :

Separamos en dos integrales:

Para resolver estas dos integrales realizaremos el mismo cambio de variable :

cambio de variable

sustituyendo en la integral, nos queda:

para integrar, utilizamos la ley de los exponentes:

integrando,

simplificar, no dejar exponentes negativos, en el resultado

simplificar

Debemos de sustituir el valor de w en términos del cambio de variable

utilizando identidades, nos queda:

sustituir de acuerdo con el triángulo la función

simplificando

Resultado

Solución. Como el radical es una suma este será la hipotenusa.

Debemos de recordar que siempre debemos ver que función trigonométrica es la variable x´s y el radical.

sustituyendo en la integral,

simplificando

utilizando cambio de variable, no completamos el diferencial.

Utilizando identidades

sustituyendo en la integral, tenemos

separar en dos integrales

En la primera integral debemos de utilizar identidades en términos de senu y cos u

sustituyendo estas identidades en la integral, tenemos:

La segunda integral esta directa es

simplificar

Para resolver la primera integral utilizaremos identidades:

integrando

Además,

Falta sustituir el valor de las funcione trigonométricas con respecto a nuestro triángulo rectángulo

simplificar

Resultado

Solución: Como el radical es una resta entonces debe de ser un cateto y la hipotenusa será 4 y el otro cateto será

Debemos de recordar que siempre debemos ver que función trigonométrica es la variable x´s y el radical, en el numerador.

Sustituir en la integral

Al efectuar la multiplicación, tenemos

Sustituyendo el valor de , entonces

Para resolver esta integral necesitamos utilizar identidades en términos de la tan u

sustituyendo en la integral,

nuevamente utilizamos identidades,

Esta se separa en dos integrales:

integrar cada una

Estas integrales ya están en mis formularios:

Por lo tanto,

Nos falta sustituir estos valores del triángulo rectángulo.

Falta sustituir tanto la función tan u como el ángulo teta, para este debemos multiplicar por la función inversa de lado derecho y del lado izquierdo de la igualdad.

se elige la función inversa más sencilla

Utilizando otra notación también se puede expresar como:

Donde el -1 no es exponente nos denota función inversa.

Pudimos tomar la función , o esto es,

Ahora sustituimos el valor de las funciones trigonométricas en el resultado

Resultado

Solución: Debemos de completar cuadrados para ver qué forma tendría el radical.

Primero reescribimos el trinomio, empezando con las x´s al cuadrado.

el coeficiente de las x´s al cuadrado debe de estar solo sin ninguna constante y sin ningún signo, esto se saca de factor común a toda la expresión

Para completar cuadrados el coeficiente de la x´s se divide entre dos, este número se eleva al cuadrado y se suma y se resta para que la expresión no se altere.

Los tres primeros términos forman un binomio al cuadrado, se toma la x´s y el término independiente para formar el binomio, el signo es el que corresponde a la x´s los otros números se suman o se restan.

simplificando

simplificando

multiplicamos por el signo negativo

Veamos cómo nos quedaría la integral, reescribiendo

Como el radical es una resta este término será un cateto el que usted quiera la hipotenusa vale 3.

El término del radical esta elevado al cubo,

Sustituyendo en la integral,

simplificando

utilizando identidades

integrando

Vamos a sustituir el valor de la función trigonométrica

sustituyendo en la integral

Resultado

Esto también se puede escribir como:

Resultado

Solución: Primero debemos de completar cuadrados

reescribir

Factor el signo negativo

Para completar cuadrados el coeficiente de la x´s se divide entre dos este término se eleva al cuadrado y se suma y se resta para que la expresión no se altere.

Subtítulo

Los tres primeros términos forman el binomio al cuadrado, el signo del binomio es el que le corresponde al coeficiente de la x´s

multiplicando por el signo negativo,

Vamos a determinar el valor del radical y la x´s en términos de las funciones trigonométricas del triángulo.

Primero debemos de calcular x´s,

Sustituyendo en la integral, tenemos

simplificando

integrando

sustituyendo estos valores en términos del triángulo rectángulo

Sustituyendo en el resultado que obtuvimos de la integral

simplificando

Resultado

Resultado

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE

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