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2.3.3 Por partes
María Gricelda Paman
Created on July 12, 2023
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Transcript
Cálculo Integral ACF-0902
Bienvenido al
Subtema 2.3.3 Por partes
Integración por partes
En esta sección estudiaremos una técnica de integración importante que recibe el nombre de integración por partes. Esta técnica se puede aplicar a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que implican productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como
La integración por partes se basa en la fórmula para la derivada de un producto.
Donde son funciones derivables de Cuando son continuas, se pueden integrar ambos lados de esta ecuación para obtener
Al reescribir esta ecuación, obtenemos el siguiente teorema
Teorema 1 Integración por partes
Si son funciones de que tienen derivadas continuas, entonces:
Reglas para la integración por partes:
1. Si tenemos integrales
El cambio de variable va a ser
2. Para integrales de la forma
3. Para integrales de la forma
O puede ser al revés solo que el término que tomo como u debe de conservarse en la próxima integral que realice.
Resolver las siguientes integrales por el método de integración por partes
Solución :En este caso, es más difícil de integrar que . Sin embargo, la derivada de es más simple, mientras que la derivada de no. Por lo tanto, debe hacer que .
Ahora, la integración por partes produce
Solución: En este caso, es más simple de derivar, por lo tanto, debe hacer que
Solución: En este caso, es más difícil de integrar que . La derivada de es más simple. Por lo tanto, debemos hacer que .
Solución: En este caso, es más difícil de integrar que . Sin embargo, la derivada de es más simple, por lo tanto, debe hacer que .
Solución: Tenemos
La integral que tenemos es una integral racional,
El grado de , entonces realizaremos un cambio de variable
Por lo tanto,
Solución: Tenemos
Solución: Tenemos
Como el grado de se debe efectuar la división
Recordando que:
Solución: Tenemos
La integral en rojo se realiza nuevamente por el método de integración por partes. Está se resolvió en el ejercicio 1
Solución: Los factores y son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de se hace más simple, mientras que la derivada de no. Por lo tanto, debe hacer que .
Primer uso de la integración por partes. Vamos a integrar:
Nuevamente por la técnica de integración por partes
Por lo tanto,
Método tabular Este método funciona bien para integrales de la forma
Utilizar el método Tabular . Encuentre
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Solución: Comience como es costumbre haciendo
A continuación, genere una tabla con tres columnas, como se muestra en seguida:
La solución se obtiene mediante la adicción de los productos con el signo de los elementos diagonales:
Integrales cíclicas (se repiten)
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Solución: Para esta integral no importa quien sea u o dv solo que el término que sea u deberá ser también u en la siguiente integración por partes.
integraremos nuevamente por integración por partes la integral con *
Resolver por separado esta integral
La única condición es que mi u debe de ser la misma función que tomamos al inicio de la integral, es decir una función trigonométrica.
Nota importante: Debemos de revisar que este integral es la que estamos resolviendo en un inicio. Por ser la misma integral se le denomina cíclica ya que esta se repite.
Esta integral es la misma que teníamos al inicio, por esto se le llama una integral cíclica,(se repite), pasaría sumando del lado izquierdo de la igualdad
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