Introducció a les funcions

INTRODUCCIÓ A LES FUNCIONS

Institut Dertosa

ÍNDEX

Concepte de funció

Característiques de les funcions

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables, una d’independent i una altra de dependent, de manera que a cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la variable dependent. Habitualment es pren la “x” com a variable independent i la “y” com a variable dependent. Les funcions s’expressen com y = f(x), que indica que el valor de la variable “y” (dependent) està en funció del valor de la variable “x” (independent).

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ. Formes d'expressar una funció

Una funció es pot expressar mitjançant:

Un enunciat Exemple:En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Taula de valors Es pot expressar una funció a través d’una taula de valors en la que hi ha dades de les dues magnituds o variables que es relacionen, la independent (x) i la dependent (y).

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ. Formes d'expressar una funció

Un gràfic

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ. Formes d'expressar una funció

Expressió analítica o fórmula

L'expressió analítica d’una funció és la fórmula matemàtica que indica la relació existent entre la variable independent (x) i la variable dependent (y). És la manera més precisa i operativa d’expressar una funció, ja que és una relació matemàtica que permet calcular fàcilment el valor de la variable dependent (y) per a cada valor de la variable independent (x). En aquest exemple la variable independent (x) és el número de classes pràctiques realitzades, mentre que la variable dependent (y) és el cost, en euros, del carnet de conduir. Llavors, l’expressió analítica de la funció correspondrà a la relació o fórmula matemàtica següent:

y = 150 + 14·x

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ

IMPORTANT:Perquè sigui una funció a cada valor de x només li pot correspondre un valor de y.

És funció. Quan la x és 4, la y té un únic valor, quan la x és -1, la y té un altre únic valor. I així per totes les x.

No és funció perquè, per exemple, quan la x és 2, la y té dos valors.

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ

De forma intuïtiva, podem saber si un gràfic és funció o no de la següent manera. Fem línies verticals imaginàries als gràfics, i si aquestes línies tallen el gràfic per més d’un punt, no serà funció; si cada línia imaginària talla sols un cop el gràfic, serà funció.

Cap línia talla el gràfic per dos punts alhora, per tant és funció.

Talla el gràfic per dos punts, per tant no és funció.

1. CONCEPTE DE FUNCIÓ. Imatges i antiimatges

La imatge d'un element x és l'element y que li fa correspondre la funció.Donada una y, la seva x corresponent s'anomena antiimatge.

2. CARACTERÍSTIQUES DE LES FUNCIONS

1. Domini

Conjunt de nombres de l’eix X que tenen imatge (per als quals està definida la funció). S'escriu D(f) o Dom (f).

D(f)=[-10 , 10]

2. Recorregut

Conjunt format per totes les imatges (nombres de l’eix Y que defineixen la funció). S'escriu R(f) o Im(f).

R(f)=[0 , 4]

Domini i recorregut

Domini i recorregut

Domini i recorregut

Domini i recorregut

Domini i recorregut

Domini i recorregut

3. Punts de tall

Punts d'intersecció amb els eixos.

Punts de tall Eix OX (d'abscisses): (-3 , 0) i (10 , 0) Eix OY (d'ordenades): (2,5 , 0)

3. Punts de tall

Si no tenim el gràfic i tenim la funció de forma algebraica calcularem els punts de tall amb els eixos de la següent manera:

L'eix OY (d'ordenades) té equació x = 0, calcularem la imatge del 0:

L'eix OX (d'abscisses) té equció y = 0, igualarem la funció a 0:

4. Continuïtat

La primera idea de funció contínua és la que pot ser representada d’un sol traç, sense aixecar el llapis del paper.Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una discontinuïtat.

Exemple de funció discontínua

Exemple de funció contínua

TIPUS DE DISCONTINUÏTAT

Les tres funcions dibuixades a sota són discontínues en x=2, però tenen diferents tipus de discontinuïtat.

Asimptòtica o infinita

Evitable

De salt

Presenta un salt.

La funció no està definida en aquest punt, o si ho està queda separat, hi ha un "forat" a la gràfica.

La funció no està definida i el seu valor creix (o decreix) quan ens apropem al punt.Hi ha una asímptota.

5. Creixement i decreixement

Una característica de les funcions que es pot visualitzar fàcilment en les gràfiques és la monotonia.Si quan augmentem el valor de x augmenta el valor de y=f(x), la gràfica "puja" i es diu que la funció és creixent. Si pel contrari quan augmentem x disminueix y, la gràfica "baixa", i la funció decreix.

5. Creixement i decreixement

La funció creix a l'interval (0 , 10)La funció decreix a l'interval (16 , 25) La funció és constant a l'interval (10 , 16)

6. Màxims i mínims relatius

Si, pel contrari, la funció és decreixent a l’esquerra i creixent a la dreta hi ha un mínim relatiu.

Donada una funció contínua en un punt x=a, es diu que presenta un màxim relatiu, si a l’esquerra d’aquest punt la funció és creixent i a la dreta la funció és decreixent.

6. Màxims i mínims relatius

Màxim relatiu al punt (6 , 7) Mínim relatiu al punt (20 , 1)

7. Simetria

Una funció f(x) és simètrica respecte a l’eix Y (funció parell) si f(-x) = f(x) Una funció f(x) és simètrica respecte de l’origen de coordenades (funció imparell) si f(-x) = - f(x)

ESTUDI D'UNA FUNCIÓ