Modificando el triángulo de Pascal

Modificando el triángulo de Pascal

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El triángulo de Pascal

Cambiando una diagonal

Cambiando dos diagonales

Diagonales no constantes

Cambiando la operación

El triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes del binomio de Newton orrdenados en forma de triángulo. Se construye de arriba abajo, a los lados de cada fila se pone siempre 1 y los demás números son la suma de los dos que tienen encima. Está relacionado con la combinatoria de tal forma que el número en la posición m de la fila n (empezando por 0 en abos casos) es igual a ⁿCₘ.

El triángulo de Pascal : Dimensiones

En la tercera diagonal del triángulo de Pascal encontramos unos números muy especiales: los números triangulares. Representan la cantidad de puntos que se necesitan para construir triángulos, y el n-ésimo número triangular es la suma de los números naturales desde 1 hasta n. La cuarta diagonal representa los números priamidales de base triangular, es decir, la suma de los primeros n números triangulares. Si sumamos los números naturales (segunda diagonal), que se podrían considerar objetos de una dimensión (líneas), aparecen los objetos de dos dimensiones (triángulos), y la suma de estos genera objetos de tres dimensiones (pirámides). La quinta diagonal representa los objetos de cuatro dimensiones, y así sucesivamente.

Cambiando una diagonal: Números poligonales

Si cambiamos los unos de una de las dos diagonales laterales por otro número que se repita, también aparecen objetos de 2 dimensiones, de 3, de 4, etcétera, en las diagonales. Centrémonos en la tercera diagonal que empieza por 1. Si hemos elegido usar el 2, aparecen los números cuadrados, que representan los puntos que hacen falta para construir un cuadrado. Por consiguiente, en la cuarta diagonal aparecen las pirámides de base cuadrada. Si usamos el 3, aparecen los números pentagonales, si usamos el 4, los hexagonales, y así sucesivamente.

Cambiando una diagonal: Términos generales

Cambiando dos diagonales: El mismo número

Hemos visto lo que pasa si cambiamos una de las diagonales laterales del triángulo de Pascal, pero, ¿qué pasa si cambiamos las dos? Si las cambiamos por el mismo número, el resto de números se multiplican por ese mismo número.

Cambiando dos diagonales: Números distintos

Si cambiamos las dos diagonales usando números distintos concretos, no parece haber muchos patrones, así que vamos a pasar a la forma general para ver si realmente hay alguno.

Cambiando dos diagonales: Patrones generales

Cuando cambiamos cada diagonal por un número genérico, obtenemos el siguiente triángulo, que al separarlo en dos, uno con la n y otro con la k, genera dos triángulos cuyos coeficientes constituyen el triángulo de Pascal original acompañado de ceros a un lado o al otro. Al sumarlos, aparece el triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal es recursivo y autorreferente.

Diagonales no constantes

Hemos visto lo que pasa si cambiamos los unos de las diagonales laterales del triángulo de Pascal por otro número, que se mantiene igual en toda la diagonal. Ahora vamos a cambiarlos por una sucesión de números: los números naturales. Fijaos en los números resaltados en azul (segunda diagonal). 2=2+0, 4=4+0, 7=6+1, 11=8+3, 16=10+6, 22=12+10. Son los números pares, pero al n-ésimo número par se le suma el (n-2)-ésimo número triangular. Además, si pintas los números pares de un color y los impares de otro, sale un patrón simétrico interesante.

Cambiando la operación

Vamos a cambiar ahora la operación con las que se construye el triángulo, de suma a multiplicación. Para obtener un mejor resultado, también cambiaremos las diagonales, ya que si usamos el uno, todos los números serían uno. En este caso, los exponentes generan el triángulo de Pascal original, ya que empezamos con 2 elevado a 1 (o n elevado a 1) y los exponentes se suman al multiplicar potencias.

¡gracias!