Vectores en R2 y R3

Vectores

Vectores en R2 Y R3

presentado por: yokaira marte 1-16-8317 yideisi jiménez 1-16-8347

Índice

Introducción

Vectores y sus elementos

Tipos de vectores

Operaciones con vectores y sus propiedades

Vector unitario en la dirección de un vector dado

Ángulos y cosenos direcores

Ángulo entre vectores

Vectores ortogonales, paralelos

Proyección de un vector sobre otro

distancia entre dos vectores

Introducción

Vectores

A continuación estaremos tratando los vectores, tipos y elementos de un vector, en esta presentación haremos un recorrido por los aspectos más importantes de los mismos, podremos comprender mejor que son, sus tipos, las operaciones que podemos realizar con ellos además de algunas de sus propiedades entre otras características importantes.

vectores en r2 y r3

Los vectores son conjuntos de números ordenados. Cada uno de los elementos del vector se conocen como componentes y están asociados a las variables del sistema de ecuaciones lineales. Los vectores pueden tener cualquier dimensión o número de componentes ya que no están restringidos a representar variables espaiales. Si las componentes de un vector de dimensión dos son reales decimos que pertenece al espacio R2. Si el vector tiene tres componentes reales decimos entonces que pertenece al espacio R3. Existen dos propiedades importantes de los vectores en R2: Suma de los vectores: si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p+q= (p1, p2)+(Q1, Q2)=(p1+q1, p2+q2) Producto escalar: considere B y R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma B(P1,P2)=(B p1, B p2)

vectores y sus elementos

Definición de vector y sus elementos

vector

Dirección

Magnitud

Sentido

Un vector es un segmento de recta que se representa mediante una flecha y tiene características muy importantes. Nombre, punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.

Es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q.

Se representa gráficamente por una cabeza de flecha, indica hacia que lado de la dirección o línea de acción actúa el vector. Puede ser positivo o negativo.

Es la línea de acción del vector, su orientación en el plano cartesiano se define mediante el ángulo que forma el vector con el semieje x positivo en posición normal.

Tipos de vectores

los vectores pueden ser:

Vectores iguales: dos vctores son iguales cuando tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido, sin importar que no tengan el mismo origen. Vectores opuestos: son aquellos que tienen la misma dirección y la misma magnitud, pero cuentan con sentidos contrarios. Vectores asociados: son vectores eqipotentes que actúan en la misma recta. Es decir vectores fijos que tienen la misma magnitud, dirección y sentido y se encuentran en la misma recta.

vector nulo: es un vector que posee magnitud o extensión cero, en este vector todas sus componentes son cero. El vector nulo es el componente neutro de su espacio vectorial. A estos vectores no se les puede asignar dircción ni sentido. Vector unitario: son aquellos vectores cuya magnitud es exactamente la unidad. En ocasiones también podemos llamarlo vector normalizado.

Operaciones con vectores y sus propiedades.

Las operaciones que pueden hacerse con las coordenadas de un vector son: suma, resta y multiplicación por un escalar.

Resta

Suma

Para la resta de vectores se procede igual que en la suma, restando las coordenadas de forma que coincida el eje para coordenada de los vectores. Si tenemos los vectores: A (2, -3, 4) y B (3, 4, -2) C= A-B= (2-3, -3-4, 4 - (-2)) = (-1, -7, 6). Por lo tanto la resta de los vectores A y B es el vector C = (-1, -7, 6)

Para sumar dos o más vectores tendremos que sumar las coordenadas de forma que coincida el eje para cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde al eje x y la segunda al eje y. Tenemos dos vectores: A (-3, 5, 2) y B (4, -2, 3) C= A+B= (-3+4, 5-2, 2+3)= (1, 3, 5) Por lo tanto la suma de los vectores A y B es el vector C (1, 3, 5)

Multiplicación por un escalar

Para multiplicar un vector por un escalar se multiplica cada componente del mismo por el escalar. Digamos que U= (-1, 3), encuentre 7U 7U= (7 (-1), 7(3)) 7U= (-7, 21)

Propiedades de los vectores

Igualdad de vectores: Se dice que dos vectores son iguales siempre y cuando su magnitud, dirección y sentido también lo sean. Suma de los vectores: Solamente se pueden sumar dos vectores si tienen la misma unidad de medida, ejemplo fuerza con fuerza... Negativo de un vector: Un vector es negativo si tienen la misma magnitud y dirección pero su sentido es contrario. Ley conmutativa de la adición de vectores: al sumar dos vectores no importa la forma en que se sumen, la resultante de dicha adición no alterará el resultado. Propiedad de vectores libres: Los vectores no se modifican si estos se trasladan paralelamente entre si.

Vector unitario en la dirección de otro vector dado.

Para obtener un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide este por su módulo.

ángulos y cosenos directores

Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ángulos que forman icho vector con cada uno de los ejes de coordenadas.

Ángulos entre vectores

Es el ángulo más corto en el que cualquiera de los dos vectores gira sobre el otro vector de modo que ambos vectores tengan la misma dirección

fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores

Vectores ortogonales

Son dos vectores que forman un ángulo de 90 grados y su produco escalar es igual a cero.

Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es igual a cero o 180 grados

Proyección de un vector sobre otro

Es el vector producido cuando un vector se resuelve en dos vectores componentes, uno es paralelo al segundovector y el otro es perpendicular al segundo vector.

Fórmula de la proyección de un vector sobre otro

Distancia entre dos vectores

La distancia entre dos vectores esta definida por d(u,v) = //u-v//. Es decir es tomar el tamaño del vector que da la diferencia entre ellos.

Ejemplo:

Conclusión

En definitiva podemos decir que los vectores son un espacio bastante interesante y que además tienen un sin número de aplicaciones que deberíamos conocer, pues con estos podemos resolver distintas situaciones de la vida.

Muchas gracias