MAPA MENTAL CALCULO VECTORIAL SEMANA 6

Se dice que f alcanza su valor mínimo absoluto m en un punto 00 P(x,y)D=∈ cuando 00 mf(x,y)f(x,y) (x,y)D=≤∀∈. • Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto 00 P(x,y)D=∈ cuando 00 f(x,y)f(x,y) (x,y)≤∀ perteneciente a un entorno de 00 (x,y)

Extremos para funciones de dos o más variables

f (a,b) es mínimo relativo, si f (a,b) ≤ f (x,y) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)

Máximos y mínimos para funciones de dos variables independientes

Extremos Relativos

Extremos Relativos M r f (a, b) es máximo relativo, si f (a,b) ≥ f (x, y) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)

Sea D una región del plano. Sea f:DR→. • Se dice que f alcanza su valor máximo absoluto M en un punto 00 P(x,y)D=∈ cuando 00 Mf(x,y)f(x,y) (x,y)D=≥∀∈. • Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto 00 P(x,y)D=∈ cuando 00 f(x,y)f(x,y) (x,y)≥∀ perteneciente a un entorno de 00 (x,y

(a,b) es mínimo absoluto, si f (a,b) ≤ f (x,y) para todo (x,y) perteneciente al dominio de f.

Extremos Absolutos

El criterio de la segunda derivada

f (a, b) es máximo absoluto, si f (a,b) ≥ f (x, y) para todo (x,y) perteneciente al dominio de f

El criterio de la segunda derivada parcial nos dice cómo verificar si este punto crítico es un máximo local, mínimo local o un punto silla. Específicamente, empiezas por calcular esto:

Punto crítico

Decimos que (a,b) es un punto crítico de f si se verifica una de las siguientes afirmaciones: 1) f x (a, b) = 0 y f y (a, b) = 0 2) f x (a, b) o f y (a, b) no existen

Funciones vectoriales

Conf=(f1,f2,...,fm).Cadafisonfuncionesescalares,fi:IRn→IRylesllamaremosfunciones componentesoproyeccionesdelafunci´onvectorialf.

f (a,b) es mínimo relativo, si f (a,b) ≤ f (x,y) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)

Funcionesvectoriales:l´ımitey continuidad.

Las funciones vectoriales

juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva.

Unafunci´onvectorialesunaaplicaci´onf:D⊂IRn→IRmtalqueacadavector x=(x1,x2,...,xn)lehacecorresponderunvectory=(y1,y2,...,ym),esdecir,y=f(x). Utilizaremoslasiguientenotaci´on:    y1=f1(x1,x2,...,xn) y2=f2(x1,x2,...,xn) ... ym=fm(x1,x2,...,xn)

Ejemplo1.2.1Seaf:D⊂IR3→IR2,conf(x,y,z)=(ln(xz),y2−4).Lasfuncionescomponentesde fson: f1:D1⊂IR3→IR;f1(x,y,z)=ln(xz) f2:D2⊂IR3→IR;f2(x,y,z)=y2−4

Se llama función vectorial a cualquier función de la forma donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

Sistemas de coordenadas tridimensionales

r(t)=<f(t), g(t) r(t)=<f(t), g(t), h(t)>

Gradiente,divergenciayrotacional

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal x y el eje vertical y. Podemos añadir una tercera dimensión, el eje z, que es perpendicular al eje x y al eje y. Llamamos a este sistema el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

Camposescalares.UncampoescalarenRnesunafunciónf:Ω→R,dondeΩesun subconjuntodeRn.UsualmenteΩseráunconjuntoabierto.Paran=2tenemosuncampo escalarenelplano,quetendrálaforma(x,y)7→f(x,y).Paran=3tendremosuncampo escalarenelespacio,dadoporunaexpresión(x,y,z)7→f(x,y,z).

Definicióndegradiente.SeafuncampoescalardefinidoenunabiertoΩ⊆Rnysea a=(a1,a2,...,an)∈Ω.Supongamosquefesdiferenciableenelpuntoa,conloqueexisten lasnderivadasparcialesdefena:

Gradienteenelplano.Parauncampoescalarplano(x,y)7→f(x,y),queseadiferenciable enunpuntoa=(x0,y0),tendremos ∇f(a)=∇f(x0,y0)=∂f ∂x(a),∂f ∂y(a)=∂f ∂x(x0,y0)i+∂f ∂y(x0,y0)j

Coordenadas

f (a,b) es mínimo relativo, si f (a,b) ≤ f (x,y) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)

Coordenadaspolares

Sedefinen x=x(ρ,θ)=ρcosθ,y=y(ρ,θ)=ρsenθ, dondeρ∈[0,+∞[yθ∈[0,2π[. •Elvectordeposici´ones r=r(ρ,θ)=(ρcosθ,ρsenθ).

Sifijamosρobtenemosunaesferacentradaenelorigen.λ correspondealalongitudyφeslalatitud. •Alvariarρyfijarlasotrasdosvariablesobtenemossemirrectasquepartendelorigen.Susvectorestangentesson

Almantenerzyθconstantesyvariarρseobtienensemirrectas queempiezanenelejeZ.Susvectorestangentesson ∂r ∂ρ=(cosθ,senθ,0).

Coordenadascil´ındricas.

Sedefinen x=ρcosθ,y=ρsenθ,z=z, dondeρ∈[0,+∞[,θ∈[0,2π[yz∈R. •Elvectordeposici´ones r=r(ρ,θ,z)=(ρcosθ,ρsenθ,z).

Coordenadasesf´ericas.

Sedefinen x=ρcosφcosλ,y=ρcosφsenλ,z=ρsenφ, dondeρ∈[0,+∞[,λ∈[0,2π[yφ∈[−π/2,π/2]. •Elvectordeposici´ones r(ρ,λ,φ)=ρ(cosφcosλ,cosφsenλ,senφ).