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TRIGONOMETRIA

Angel Rafael

Created on June 22, 2023

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Trigonometria

Angel rafael guillermo felix

RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido. La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Su etimología proviene de trigono triángulo y metría medida.

Angulos y su medicion

Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar a OB, decimos que se genero un angulo AOB.

Medidas de angulos:

Una vuelta completa mide: 360 grados.
2π radianes (el perÌmetro de un cÌrculo de radio 1 es 2π) 360 grados ! 2π radianes x grados ! y radianes

Cuando se mide en grados, se pueden utilizar grados minutos y segundos, o grados y fraccion decimal 32.5892 = 32* 350´ 21´
Si el giro se hace en contra del mov de las manecillas del reloj, el angulo es positivo
Si el giro se hace a favor del mov de las manecillas del reloj, el angulo es negativo

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TRIGONOMETRIA DE UN TRIANGULO TRIANGULO

Resolucion de triangulos rectAngulos

Dado un triangulo rectangulo, para determinarlo completamente, basta conocer:

Dos lados
Un angulo agudo y un lado

En el segundo caso, con alguna razon trigonometrica se conoce otro lado y se aplica el primer caso.

En el primer caso, con T. Pitagoras se conoce el tercero y con cualquier razon. trigonometrica se conocen los agulos

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

Solución:

(15 cm)² = (12 cm)² + b² 225 cm² = 144 cm² + b² b² = 225 cm² - 144 cm² b² = 81 cm² b = √(81 cm² b=9

SenB: 9/15 SenB:0.6 Sen*-1: 36°52´12´´

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Se llama así a una circunferencia de radio uno y con el centro en el origen de un sistema coordenado. Se puede considerar que el punto P que se utiliza para calcular las razones trigonométricas es el de intersección de uno de los vértices un triángulo equilátero unitario con el círculo trigonométrico cuyo centro coincide con otro de los vértices del triángulo. Esta consideración permite determinar el comportamiento de los segmentos en el plano que representan gráficamente las razones seno y coseno, tal y como se muestra en la siguiente figura:

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CÌrculo unitario y razones trigonomÈtricas

Si P (x, y ) esta sobre el cÌrculo unitario y en el primer cuadrante, el segmento OP forma un angulo agudo B con el eje X, entonces, sabemos que CosB=Px/1=x, senB=Py/1=y

Asi que las coordenadas de P son (cos B, sen B)

Extendemos las defniciones de coseno y seno para cualquier angulo B considerando un punto P en el cÌrculo unitario, tal que el segmento OP forme un angulo B con el eje X

cos B = primera coord de P
sen B = segunda coord de P

Si el ·ngulo B es negativo, lo medimos a favor de las manecillas del reloj.

VALORES NOTABLES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Los valores notables de las funciones trigonométricas se obtienen a partir de sus definiciones considerando los valores de los catetos y de la hipotenusa. Por ejemplo, para calcular los valores para 30° se puede construir la siguiente figura:

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GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS

FUNCIÓN SENO

A partir del comportamiento del cateto opuesto del círculo trigonométrico unitario, la gráfica de la función seno empieza de cero en 0° , va aumentando paulatinamente hasta llegar a uno en 90° . Después va disminuyendo hasta llegar a cero en 180° . Posteriormente disminuye negativamente hasta llegar a −1 en 270° . Finalmente, va aumentando hasta regresar a cero en 360° , donde el proceso se repite indefinidamente. La siguiente figura muestra su gráfica:

y = sen x

El dominio de la función seno es el intervalo abierto (− ∞,∞) y el rango es [−1,1].

FUNCIÓN COSENO

De forma similar, el comportamiento del cateto adyacente del círculo trigonométrico unitario, la gráfica de la función coseno empieza en uno en 0° , va disminuyendo paulatinamente hasta llegar a cero en 90° . Después sigue disminuyendo hasta llegar a −1 en 180° . Posteriormente crece hasta llegar a cero en 270° . Finalmente, sigue aumentando hasta regresar a 1 en 360° . Esto se repite indefinidamente, como muestra en la gráfica siguiente:

y = cos x

El dominio de la función coseno es el intervalo abierto (− ∞,∞) y el rango es [−1,1].

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OTRAS FUNCIONES

FUNCIÓN TANGENTE y = tan x

FUNCIÓN COTANGENTE y = cot x

FUNCIÓN SECANTE y = sec x

FUNCIÓN COSECANTE y = csc x

PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una función periódica es aquella que cumple que: f (x) = f (x + p), donde p es el periodo diferente de cero. En general, una función trigonométrica presenta tres parámetros fundamentales: Amplitud (A), Frecuencia k y Fase (α) 5 . La primera es la que cambia el tamaño de la función, la segunda modifica el grado de repetición, y la última determina el desplazamiento de la función. Por ejemplo, específicamente para la función seno se tiene: f (x) = A⋅sen (kx + α). Cabe señalar que un signo (+) en la fase, implica que la función se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo (−) en la fase implica que la función se atrase (o sea, se corre a la derecha).

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Ejemplo. Trazar las gráficas de las siguientes funciones: a) f (x) = 2 ⋅sen (x)

Solución: Se aprecia como en la gráfica la amplitud es el doble (dos veces más grande) que la función f (x) = sen x , sin embargo la frecuencia y la fase no cambian

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f (x) = sen (x + π)

Solución. La gráfica muestra como la función se adelanta π unidades (por el signo +), sin embargo la amplitud y la frecuencia no cambian

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GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las funciones trigonométricas no son inyectivas, esto significa que para un cierto valor de la imagen existe un número infinito de valores de x . Esto significa que estas funciones no tienen inversa, sin embargo, pueden tenerla si se consideran ciertos intervalos donde cumplan con la definición de función y cuya tabulación para cada una se deduce a partir de los valores expuestos en la sección II.5. Esto se muestra a continuación:

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es un triángulo que no es rectángulo. Puede ser un triángulo agudo (si sus tres ángulos son menores de 90° ) o puede ser un triángulo obtuso (si uno de sus tres ángulos es mayor de 90° ). Por convención, se establece que los ángulos de un triángulo oblicuo son A , B , C y sus lados opuestos se identifican como a , b y c respectivamente.

La trigonometría de los triángulos oblicuos no es tan fácil como la de los triángulos rectángulos, pero hay dos teoremas de la geometría que son muy utilizados en trigonometría. Estos son llamados la “ley de los senos” y la “ley de los cosenos”.

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LEY DE LOS SENOS

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LEY DE COSENOS

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Aplicaciones

• En mecánica, los movimiento armónicos • Las poleas y movimientos rotativos. • La construcción de un canal pluvial. • En acústica, las ondas de radio son un ejemplo de las funciones trigonométricas: el sonido generado es la suma de las ondas producidas por ambas. • La determinación de superficies (por ejemplo en la agrimensura) y mediciones de tipo cíclicas. • La torre Eiffel, además de una bella y conocida obra de arte, es, toda ella, un compendio de propiedades matemáticas, entre otras, la de la indeformabilidad de los triángulos que constituyen su estructura.

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